1、5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 考试要求1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的 意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的 几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平 面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向 量的线性运算性质及其几何意义 1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：长度为 0 的向量，记作 0. (3)单位向量：长度等于 1 个单位长度
2、的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任意向量平行 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的 运算 交换律：abb a；结合律：(ab) ca(bc) 减法 求两个向量差的 运算 aba(b) 数乘 求实数与向量a 的积的运算 | a|a|，当0 时，a 与 a 的方向相同； 当|b|，则 ab D两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 答案BC 解析由平行向量和共线向量可知，A 正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向 量，
3、所以 B 是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大 小，所以 C 是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两 个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以 D 是正确的 4(多选)下列命题正确的有() A方向相反的两个非零向量一定共线 B单位向量都相等 C若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D“若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB DC ”“四边形 ABCD 是平行四边形” 答案AD 解析方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故 A 正确； 单位向量的大小相等，但方向不一
4、定相同，故 B 错误； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和 终点，故 C 错误； A，B，C，D 是不共线的点，AB DC ，即模相等且方向相同，即平行四边形 ABCD 对边平 行且相等，反之也成立，故 D 正确 思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移 混淆 (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量 题型二 平面向量的线性运算
5、 命题点 1向量加、减法的几何意义 例 1 设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则() AabB|a|b| CabD|a|b| 答案A 解析方法一利用向量加法的平行四边形法则 在ABCD 中，设AB a，AD b， 由|ab|ab|知，|AC |DB |， 从而四边形 ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab. 故选 A. 方法二|ab|ab|， |ab|2|ab|2. a2b22aba2b22ab. ab0.ab. 故选 A. 命题点 2向量的线性运算 例 2 (2020合肥质检)在ABC 中，BD 1 3BC ，若ABa，ACb，则AD 等于() A.2 3a 1 3b B.1 3a
6、2 3b C.1 3a 2 3b D.2 3a 1 3b 答案A 解析方法一如图， 过点 D 分别作 AC， AB 的平行线交 AB， AC 于点 E， F， 则四边形 AEDF 为平行四边形，所以AD AE AF.因为BD 1 3BC ，所以AE2 3AB ，AF1 3AC ，所以AD 2 3AB 1 3AC 2 3a 1 3b，故选 A. 方法二AD AB BD AB 1 3BC AB1 3(AC AB)2 3AB 1 3AC 2 3a 1 3b，故选 A. 方法三由BD 1 3BC ，得AD AB 1 3(AC AB)，所以AD AB 1 3(AC AB )2 3AB 1 3AC 2 3
7、a 1 3b，故选 A. 命题点 3根据向量线性运算求参数 例 3 (2021河南八市联考改编)在等腰梯形 ABCD 中， AB 2DC ， 点 E 是线段BC 的中点， 若AE AB AD ，则_. 答案 5 4 解析取 AB 的中点 F， 连接 CF， 则由题意可得 CFAD， 且 CFAD.因为AE ABBEAB 1 2BC AB1 2(FC FB)AB1 2 AD 1 2AB 3 4AB 1 2AD ，所以3 4， 1 2，则 5 4. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)求已知向量的和或差 共起点的向量求和用平行四边形法则； 求差用向量减法的几何意义； 求首尾相
8、连向量的和用三角形法则 (2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求 参数的值 跟踪训练 1 (1)(2018全国)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB 等 于() A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC 答案A 解析作出示意图如图所示 EB ED DB 1 2AD 1 2CB 1 2 1 2(AB AC)1 2(AB AC ) 3 4AB 1 4AC .故选 A. (2)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB xA
9、EyAF(x，yR)， 则 xy_. 答案2 解析由题意得AE ABBEAB1 2AD ， AF AD DF AD 1 2AB ， 因为AB xAEyAF， 所以AB xy 2 AB x 2yAD ， 所以 xy 21， x 2y0， 解得 x4 3， y2 3， 所以 xy2. 题型三 共线定理的应用 例 4 设两向量 a 与 b 不共线 (1)若AB ab，BC 2a8b，CD 3(ab)求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 (1)证明AB ab，BC2a8b，CD 3(ab) BD BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB
10、 .AB，BD 共线， 又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线 (2)解kab 与 akb 共线，存在实数， 使 kab(akb)，即 kabakb， (k)a(k1)b. a，b 是不共线的两个向量， kk10，k210，k1. 思维升华 利用共线向量定理解题的策略 (1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用 (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即 A，B，C 三点共线AB ，AC 共线 (3)若 a 与 b 不共线且ab，则0. (4)OA OB OC (，为实数)，若 A，B，C 三点共线，则1. 跟踪训练 2 (1)(2021南昌
11、质检)已知 a， b 是不共线的向量， AB ab， ACab(， R)， 若 A，B，C 三点共线，则，的关系一定成立的是() A1B1 C1D2 答案A 解析AB 与AC有公共点 A，若 A，B，C 三点共线，则存在一个实数 t，使ABtAC，即 abtatb，则 t， t1， 消去参数 t，得1；反之，当1 时，AB 1 ab，此时 存在实数1 使AB 1 AC ，故AB和AC共线AB与AC有公共点 A，A，B，C 三点共线，故选 A. (2)(2020郑州模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量， AB 3e 12e2， CB ke1e2， CD 3e12ke2， 若 A，B，D 三点共
12、线，则 k 的值为_ 答案9 4 解析由题意知，A，B，D 三点共线，故存在一个实数，使得AB BD . 又AB 3e 12e2，CB ke 1e2，CD 3e12ke2， BD CD CB 3e 12ke2(ke1e2) (3k)e1(2k1)e2， 3e12e2(3k)e1(2k1)e2， 33k， 22k1， 解得 k9 4. 课时精练课时精练 1(2021湖北宜昌一中月考)已知 a，b 是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确 的是() Aab0 Bab Ca 与 b 共线反向 D存在正实数，使 ab 答案D 解析因为 a，b 是两个非零向量，且|ab|a|b|， 所以 a
13、与 b 共线同向，故 D 正确 2.如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF 等于( ) A0B.BE C.AD D.CF 答案D 解析根据正六边形的性质， 易得，BA CD EF BA AFEF BF CB CF . 3已知平面内一点 P 及ABC，若PA PBPCAB，则点 P 与ABC 的位置关系是( ) A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 BC 上 C点 P 在线段 AC 上D点 P 在ABC 外部 答案C 解析由PA PBPCAB，得PAPBPCPBPA，即PC2PA，故点 P 在线段 AC 上 4(2020唐山模拟)已知 O 是正方形 ABCD 的中心若DO
14、 AB AC，其中，R，则 等 于() A2B1 2 C 2D. 2 答案A 解析DO DA AO CB AO AB AC1 2AC AB1 2AC ，所以1，1 2，因此 2. 5(多选)下列说法中正确的是() A.AB BA0 B若|a|b|且 ab，则 ab C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D若 ab，则有且只有一个实数，使得 ba 答案AC 解析由AB ，BA互为相反向量，得ABBA0，故 A 正确； 由|a|b|且 ab，得 ab 或 ab，故 B 错误； 若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，故 C 正确； 根据向量共线基本定理可知 D 错
15、误，因为要排除零向量 故选 AC. 6(多选)设点 M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是() A若AM 1 2AB 1 2AC ，则点 M 是边 BC 的中点 B若AM 2AB AC，则点 M 在边 BC 的延长线上 C若AM BM CM ，则点 M 是ABC 的重心 D若AM xAB yAC，且 xy1 2，则MBC 的面积是ABC 面积的 1 2 答案ACD 解析若AM 1 2AB 1 2AC ，则点 M 是边 BC 的中点，故 A 正确； 若AM 2AB AC，即有AM AB ABAC， 即BM CB ， 则点 M 在边 CB 的延长线上，故 B 错误； 若AM BM CM
16、， 即AM BM CM 0， 则点 M 是ABC 的重心，故 C 正确； 如图，AM xAB yAC ， 且 xy1 2， 可得 2AM 2xAB 2yAC， 设AN 2AM ， 则 M 为 AN 的中点， 则MBC 的面积是ABC 面积的1 2，故 D 正确 故选 ACD. 7若|AB |AC|ABAC|2，则|ABAC|_. 答案2 3 解析因为|AB |AC|ABAC |2， 所以ABC 是边长为 2 的正三角形， 所以|AB AC|为ABC 的边 BC 上的高的 2 倍， 所以|AB AC|2 3. 8设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 答案 1 2 解析向
17、量 a，b 不平行，a2b0，又向量ab 与 a2b 平行，则存在唯一的实数， 使ab(a2b)成立，即aba2b，则 ， 12， 解得1 2. 9设 M 是ABC 所在平面上的一点，且MB 3 2MA 3 2MC 0，D 是 AC 的中点，则|DM | |BM | _. 答案 1 3 解析D 是 AC 的中点，MA MC 2MD ， 又MB 3 2MA 3 2MC 0， MB 3 2(MA MC )3 22MD ， 即MB 3DM ，故MD 1 3BM ， |MD | |BM | 1 3. 10已知 D，E，F 分别为ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC a，CA b，给出下列命
18、题：AD 1 2ab；BE a1 2b；CF 1 2a 1 2b；AD BE CF 0. 其中正确命题有_ 答案 解析BC a，CAb，AD 1 2AB 1 2AC 1 2(AC CB)1 2AC 1 2CB AC1 2ab，故错； BE BC1 2CA a1 2b，故正确； CF 1 2(CB CA )1 2(ab) 1 2a 1 2b，故正确； AD BE CF b1 2aa 1 2b 1 2b 1 2a0，故正确 所以正确命题序号为. 11已知 a，b 不共线，OA a，OB b，OC c，OD d，OE e，设 tR，如果 3ac,2b d，et(ab)，是否存在实数 t 使 C，D，
19、E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值， 若不存在，请说明理由 解由题设知，CD dc2b3a， CE ec(t3)atb， C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k，使得CE kCD ， 即(t3)atb3ka2kb， 整理得(t33k)a(2kt)b. 因为 a，b 不共线， 所以有 t33k0， 2kt0， 解得 t6 5. 故存在实数 t6 5使 C，D，E 三点在一条直线上 12.如图，在ABC 中，D 为 BC 的四等分点，且靠近 B 点，E，F 分别为 AC，AD 的三等分 点，且分别靠近 A，D 两点，设AB a，ACb. (1)试用 a，b 表示BC ，
20、 AD ， BE ； (2)证明：B，E，F 三点共线 (1)解在ABC 中，因为AB a，ACb， 所以BC ACABba， AD AB BD AB 1 4BC a1 4(ba) 3 4a 1 4b， BE BAAEAB1 3AC a1 3b. (2)证明因为BE a1 3b， BF BAAFAB2 3AD a2 3 3 4a 1 4b1 2a 1 6b 1 2 a1 3b， 所以BF 1 2BE ，BF与BE共线，且有公共点 B， 所以 B，E，F 三点共线 13(多选)设 a，b 是不共线的两个平面向量， 已知PQ asin b，其中(0,2)，QR 2ab.若 P，Q，R 三点共线，则
21、角的值可以为() A. 6 B.5 6 C.7 6 D.11 6 答案CD 解析因为 a，b 是不共线的两个平面向量，所以 2ab0.即QR 0，因为 P，Q，R 三点共 线，所以PQ 与QR 共线，所以存在实数，使PQ QR ，所以 asin b2ab，所以 12， sin ， 解得 sin 1 2.又(0,2)，故的值可为 7 6 或11 6 . 14(2020广东六校联考)如图，在ABC 中，AN 2 3NC ，P 是 BN 上一点，若AP tAB1 3AC ， 则实数 t 的值为() A.2 3 B.2 5 C.1 6 D.3 4 答案C 解析方法一因为AN 2 3NC ，所以AN 2
22、 5AC . 设NP NB，则APANNP2 5AC NB 2 5AC (NAAB)2 5AC 2 5AC AB AB 2 5(1)AC . 又AP tAB1 3AC ， 所以 tAB 1 3AC AB2 5(1)AC ， 得 t， 2 51 1 3， 解得 t1 6，故选 C. 方法二因为AN 2 3NC ，所以AC 5 2AN ， 所以AP tAB1 3AC tAB5 6AN ， 因为 B，P，N 三点共线， 所以 t5 61，所以 t 1 6，故选 C. 15 (2020滁州模拟)已知 A1， A2， A3为平面上三个不共线的定点， 平面上点 M 满足A1M (A 1A2 A1A3 )(
23、是实数)，且MA 1 MA 2 MA 3 是单位向量，则这样的点 M 有( ) A0 个B1 个C2 个D无数个 答案C 解析方法一由题意得，MA1 (A 1A2 A 1A3 )，MA 2 MA 1 A 1A2 ，MA 3 MA 1 A 1A3 ， MA1 MA 2 MA 3 (13)(A 1A2 A 1A3 )，如图所示，设 D 为 A 2A3的中点， (13)(A1A2 A 1A3 )是与A 1D 共起点且共线的一个向量，显然直线 A 1D 与以 A1为圆心的单 位圆有两个交点，故有两个值，即符合题意的点 M 有两个，故选 C. 方法二以 A1为原点建立平面直角坐标系， 设 A2(a，b)
24、，A3(m，n)， 则A1A2 A 1A3 (am，bn)， M(am)，(bn)， MA1 (am)，(bn)， MA2 (a(am)，b(bn)， MA3 (m(am)，n(bn)， MA1 MA 2 MA 3 (13)(am)，(13)(bn) MA1 MA 2 MA 3 是单位向量， (13)2(am)2(bn)21， A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点， (am)2(bn)20，所以关于的方程有两解， 故满足条件的 M 有两个，故选 C. 16经过OAB 的重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP mOA ，OQ nOB ， m，nR*. (1)证明：1 m 1 n为定值； (2)求 mn 的最小值 (1)证明设OA a，OB b. 由题意知OG 2 3 1 2(OA OB )1 3(ab)， PQ OQ OP nbma， PG OG OP 1 3ma1 3b， 由 P，G，Q 三点共线得， 存在实数，使得PQ PG ， 即 nbma 1 3ma1 3b， 从而 m 1 3m， n1 3， 消去得1 n 1 m3. (2)解由(1)知，1 m 1 n3， 于是 mn1 3 1 m 1 n (mn) 1 3 2n m m n 1 3(22) 4 3. 当且仅当 mn2 3时，mn 取得最小值，最小值为 4 3.
