1、集合多选题集合多选题 1对于集合 22, ,Ma axyxZ yZ ，给出如下结论，其中正 确的结论是（） A如果 21,Bb bnnN ，那么B M B若 2 ,Cc cn nN ，对于任意的cC，则c M C如果 12 ,aM aM ，那么12 a aM D如果 12 ,aM aM ，那么 12 aaM 2设集合 22 |, ,Ma axyx y=- Z ，则对任意的整数n，形如 4 ,41,42,43nnnn+ 的数中，是集合M中的元素的有（） A4nB41nC42nD43n 3 用 C A表示非空集合A中的元素个数， 定义 *A BC AC B . 已知集合 2 |10Ax x=-=
2、， 22 (3 )(2)0Bx axx xax ， 若*1A B ， 则实数a的取值可能是（） A2 2B0C1D2 2 4已知集合 =,Mx yyf x ,若对于 11 ,x yM , 22 ,xyM ,使 得 1212 0 x xy y 成立,则称集合 M 是“互垂点集”.给出下列四个集合: 2 1 ,1Mx yyx ; 2 ,1Mx y yx ; 3 , x Mx yye ; 4 ,sin1Mx yyx .其中是“互垂点集”集合的为() A 1 M B 2 M C 3 M D 4 M 5当一个非空数集G满足“如果 , a bG ,则 ,ab ab abG ,且 0b 时, a G b ”
3、时,我们称G就是一个数域,以下关于数域的说法: 0 是任何数域的元素; 若数域G有非零元素,则2019G; 集合 |2 ,Px xk kZ 是一个数域; 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 2 页 共 41 页 有理数集是一个数域; 任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有( ) ABCD 6若集合 A 具有以下性质： （1）0A，1A； （2） 若x、y A ， 则x yA ， 且0 x 时，1 A x 则 称集合 A 是“完美集” 下列说法正确的是（） A集合 1,0,1B 是“完美集” B有理数集Q是“完美集” C设集合A是“完美集”
4、，x、y A ，则x yA D设集合A是“完美集”，若x、y A ，则xy A E.对任意的一个“完美集”A，若x、y A ，且0 x ，则 y A x 7定义 ABx xA ，且 xB ， A BABBA 叫做集合的 对称差，若集合 2, 13Ay yxx ， 2 1 ,1 5 By yx x ，则 以下说法正确的是（） A 2,10B B 1,2AB C 1,25,10A B DA BB A 8设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意abP、，都有 a b、a b、ab、 a P b （除数 0b）则称数集P是一个数域例如 有理数集Q是数域；数集2,Faba bQ也是数域下列命题 是真命
5、题的是（） A整数集是数域 B若有理数集Q M ，则数集M必为数域 C数域必为无限集 D存在无穷多个数域 9若集合A具有以下性质： （1）0A，1A； （2）若x、y A ， 则x yA ，且0 x 时， 1 A x .则称集合A是“完美集”.下列说法正 确的是（） A集合 1,0,1B 是“完美集” B有理数集Q是“完美集” C设集合A是“完美集”，x、y A ，则x yA D设集合A是“完美集”，若x、y A 且0 x ，则 y A x 10给定数集M，若对于任意a，bM，有a bM+，且abM ， 则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（） A集合 4, 2,0,2,4M 为闭集合B
6、正整数集是闭集合 C集合 5 ,Mn nk kZ 为闭集合D若集合 1 A， 2 A为闭集合， 则 12 AA 为闭集合 11已知集合 2 20,Ax axxaaR ， 若集合 A 有且仅有 2 个子 集，则a的取值有（） A2B1C0D1 12给定数集 M，若对于任意 ,0a bM b ，有a bM 且 a M b ， 则称集合 M 为封闭集合.则下列说法中正确的是（） A集合 1 1,2, 2 M 不是封闭集合 B有理数集是封闭集合 C无理数集是封闭集合 D若集合 1 A、 2 A为封闭集合，且 1 RA ， 2 RA ，则 12 AA 也是封 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解
7、题研究群 416652117 第 4 页 共 41 页 闭集合 13 对任意 A，BR，记 ABx|xAB，xAB，并称 AB 为集合 A，B 的对称差.例如，若 A1，2，3，B2，3，4， 则 AB1，4，下列命题中，为真命题的是（） A若 A，BR 且 ABB，则 A B若 A，BR 且 AB，则 AB C若 A，BR 且 ABA，则 AB D存在 A，BR，使得 AB A R B R E.存在 A，BR，使得ABBA 14设 S 为实数集R的非空子集.若对任意 , x yS ，都有x yS ， xyS ，xy S ，则称 S 为封闭集.下列命题是真命题的是（） A集合 3 |,Saba
8、Z bZ 为封闭集 B若 S 为封闭集，则一定有0 S C封闭集一定是无限集 D若 S 为封闭集，则满足S TR 的任意集合 T 也是封闭集 15当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合 构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称 这两个集合成“偏食”.对于集合 1 1,1 2 A ， 2 1,0Bx axa ，若 A与B构成“全食”或构成“偏食”，则实数a的取值可以是（） A0B1C2D4 16)由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪.直到 1872 年， 德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定 义无理数(史称戴德金分割)， 并把实数理论
9、建立在严格的科学基础 上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续 2000 多 年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集 Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MNQ ，MN， M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 ,M N 为戴德 金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（） A 0 ,0Mx xNx x 是一个戴德金分割 BM没有最大元素，N有一个最小元素 CM有一个最大元素，N有一个最小元素 DM没有最大元素，N也没有最小元素 17 对任意 A，B R ， 记 |,ABx xAB xAB ， 并称AB为 集合 A， B 的对称差.例如， 若 312A ，
10、，42 3B ， ， 则1,4AB ， 下列命题中，为真命题的是（） A若 A，B R 且A BB，则A B若 A，B R 且A B ，则AB C若 A，B R 且A BA ，则A B D存在 A，B R ，使得 RR ABAB痧 18下列结论正确的是（） A不等式 2 (1)(2) 0 4 xx x 的解集为 | 4x x 或 1x B 设函数 2 ( )( , ,0)f xaxbxc a b caR， 则“0 2 b ff a ”是“方 程 ( )0f x 与 ( ( )0ff x ”都恰有两个不等实根的充要条件 C存在函数 ( )f x 满足，对任意的xR，都有 2 (4)23f xx
11、D集合 ( , )|5,6Ax yxyxy 表示的集合是(2,3),(3,2) 19 当一个非空数集 F 满足条件“若对任意 a，b F， 则a b，a b， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 6 页 共 41 页 abF，且当0b时， a F b ”时，称 F 为一个数域.以下四个关于数 域的命题中，真命题为（） A0 是任何数域的元素 B若数域 F 有非零元素，则2020 F C集合 3 ,Px xk kZ 为数域 D有理数集为数域 20设a，b，c为实数 2 1 ()()yxa xbxc ， 2 2 (1)(1)yaxcxbx ， 记集合 1
12、0,Sx yxR ， 2 0,Tx yxR ， 若 Card S 、 Card T 分 别表示集合S、T的元素的个数，则下列结论能成立的是（） A 1Card S ， 0Card T B 2Card S ， 3Card T C 2Card S ， 2Card T D 1Card S ， 1Card T 21已知 2 Ax xpxqx ， 2 111Bx xp xqx ，当 2A时，则集合B中实数x可能的取值为（） A42B32C32D42 22已知集合 1,2A ， 1,Bx mxmR ，若B A ，则实数m可 能的取值为（） A0B1C 1 2 D2 23集合 |0Axyxyaa， ， |1
13、Bxyxyxy ， ，若 AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的 为（） Aa 的值可为 2Ba 的值可为2 Ca 的值可为22Da 的值可为22 24下面关于集合的表示正确的是（） 2,3 3,2 ； ( , )11x y xyy xy ； 11x xy y ； 11x xyy xy ABCD 25已知集合 2 3100AxZ xx ， 22 240Bx xaxa .若 AB 中恰有2个元素，则实数a值可以为（） A2B1C1D2 26下列命题为真命题的是（） A 2 ,1xx R B 22 ab是ab的必要不充分条件 C集合 2 ( , )|x yyx 与集合 2 |y
14、 yx 表示同一集合 D设全集为 R，若A B ，则 RR C BC A 27设S为实数集R的非空子集若对任意x，y S ，都有x y ， xy ，xy S ，则称S为封闭集下列命题正确的是（） A自然数集N为封闭集 B整数集Z为封闭集 C集合 S=2 | ,aba b为整数为封闭集 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 8 页 共 41 页 D若S为封闭集，则一定有0 S 28已知下列各组命题，其中 p是q的充分必要条件的是（ ） A :2p m 或 6m ； 2 :3q yxmxm有两个不同的零点 B :1 fx p fx ； :q yf x 是偶函
15、数 C :p ABA ； :q AU ，B U ，U U BA痧 D :coscosp ； :tantanq 29设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a，bP， 都有 a+b，a-b，ab， a b P(b0)，则称 P 是一个数域，例如有理 数集 Q 是数域，下列命题中正确的是（） A数域必含有 0，1 两个数 B整数集是数域 C若有理数集 QM，则数集 M 一定是数域 D数域中有无限多个元素 30已知函数 f x 的定义域是 A,值域是 ,Ba b ; g x 的定义域是 C, 值域是 ,Dc d ,且实数a b c d , , 满足 ,ab cd .下列命题中,正确的有 ()
16、 A如果对任意 1 xA ,存在2 xC ,使得 12 f xg x ,那么B D ; B如果对任意 1 xA ,任意2 xC ,使得 12 f xg x ,那么a d ; C如果存在 1 xA ,存在2 xC ,使得 12 f xg x ,那么BD; D如果存在 1 xA ,任意2 xC ,使得 12 f xg x ,那么bc. 31若集合 sin21Axx ， , 42 k By ykZ ，则正确的结 论有（） AABBBRR BA痧 CA B D RR AB痧 32集合A，B是实数集R的子集，定义 |ABx xAxB且 ， *()()A BABBA 叫做集合的对称差，若集合 2 |(1)
17、1,03Ay yxx ， 2 |1,13By yxx ，则以下说法 正确的是（） A 1,5A B 2,10B C 1,2)AB D (5,10BA E. *(1,2(5,10A B 33已知集合 |4AxZ x ，B N ，则（） A集合B NNB集合AB可能是1,2,3 C集合A B 可能是 1,1 D0 可能属于 B 34已知xR，条件 2 :p xx，条件 1 :qa x ，若 p 是 q 的充分不必 要条件，则实数 a 的取值可能有（） A 1 2 B1C2D2 35下列结论中正确的是（） A集合 1,2A 的真子集有 4 个 B 2 1 log 3 436 C若函数 3 213f
18、xaxbxf， ，则 17f D 若 2 log1(0 3 a a ， 且 1)a ， 则实数 a 的取值范围是 2 0,1, 3 36给定数集M，若对于任意a，bM，有a bM+，且abM ， 则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（） A集合 4, 2,0,2,4M 为闭集合 B正整数集是闭集合 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 10 页 共 41 页 C集合 3 ,Mn nk kZ 为闭集合 D若集合 1 A， 2 A为闭集合，则 12 AA 为闭集合 37 已知集合 3 ,1 2 y Ax ya x ， 2 ,1(1)15Bx yaxay
19、 ， 若A B ，则a的值可能为（） A4或 5 2 B1C1D0 38设集合 30 ,410Mx xaxNx xx ，则下列说 法不正确的是（） A若MN有 4 个元素，则M N B若M N ，则MN有 4 个元素 C若 1,3,4MN ，则M N D若M N ，则1,3,4MN 39下列说法正确的是() A空集是任何集合的真子集 B函数 f x 的值域是 2 2 , ,则函数 1f x 的值域 3,1 C既是奇函数又是偶函数的函数有无数个 D若ABB,则A BA E.函数 f x 的定义域是 2 2 , ,则函数 1f x 的定义域为 3,1 40已知集合 |12Axx ， | 232Bx
20、axa ，下列命题正 确的是（） A不存在实数 a 使得ABB存在实数 a 使得A B C当4a 时，A B D当0 4a 时，B A E.存在实数 a 使得B A 41给定数集 M，若对于任意 , a bM ，有a bM+，且abM ， 则称集合 M 为闭集合则下列说法中不正确的是（） A集合 4, 2,0,2,4M 为闭集合 B正整数集是闭集合 C集合 |3 ,Mn nk kZ 为闭集合 D若集合 1 A， 2 A为闭集合，则 12 AA 为闭集合 E.若集合 1 A， 2 A为闭集合，且 1 A R， 2 A R，则一定存在cR， 使得 12 cAA 42定义集合运算： ,ABz zxy
21、xyxA yB ，设 2, 3 ,1,2 ,AB 则（） A当2,2xy时，1z Bx可取两个值，y可取两个值， zxyxy 对应 4 个式 子 CAB中有 4 个元素 DAB的真子集有 7 个 E.AB中所有元素之和为 4 43下列选项中的两个集合相等的有（） A 2 ,Px xn nZ ， 21 ,Qx xnnZ B 21,Px xnn N ， 21,Qx xnn N C 2 0Px xx ， 11 , 2 n Qx xn Z D 1Px yx ， ,1Qx yyx 44若集合 1Ax x ，则满足B A 的集合B可以是（） A 2,3 B 2x x C 0,1,2 D 0 x x 欢迎关
22、注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 12 页 共 41 页 参考答案参考答案，仅供参考，仅供参考 1AC 【分析】 根据集合的表示法特点， 对选项进行一一判断， 即可得答案； 【解析】 对 A， 21,bnnN， 总是有 22 21(1),1,bnnnnZ nZ ， 则B M ，故 A 正确； 对 B， 2 ,cn nN，若2cnM ，则存在 , x yZ ，使得 22 2()()xynxy xy， 因为当 , x y一个是偶数， 一个是奇数时，xy 是奇数，x y 也是奇数，所以( )()xy xy 也是奇数，显然2n是偶数， 故2 ()()nxy xy
23、，故2cnM，故 B 错误； 对 C，若 12 ,aM aM ，不妨设 2222 111222 ,axyaxy ，则 22 2222 12112212121221 a axyxyx xy yx yx yM ，故12 a aM ，故 C 正确；对 D，设 2222 111222 ,axyaxy ，则 22 2222 12112212121212 22aaxyxyxxyyx xy y，不满足集合M 的定义，故 D 错误. 故选：AC. 【点评】本题考查集合描述法特点，数论的有关知识，考查逻辑推理 能力、运算求解能力. 2ABD 【分析】将4 ,4 1,43nnn 分别表示成两个数的平方差，故都是集
24、合M 中的元素，再用反证法证明4 2nM+ . 【解析】 22 4(1)(1)nnn=+-，4nM. 22 41(21)(2 )nnn+=+-，41nM+. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 13 页 共 41 页 22 43(22)(21)nnn+=+-+，43nM+. 若42nM+，则存在 ,Zx y 使得 22 42xyn-=+， 则4 2()(),nxyxyxy+=+-+ 和x y 的奇偶性相同. 若x y 和x y 都是奇数，则( )()xy xy 为奇数，而42n是偶数，不成 立； 若x y 和x y 都是偶数，则( )()xy xy 能
25、被 4 整除，而42n不能被 4 整除，不成立，4 2nM+ . 故选 ABD. 【点评】 本题考查集合描述法的特点、 代表元元素特征具有的性质P， 考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高. 3ABD 【分析】先分析 2C A ，又由*1A B ，分析易得 1C B 或 3，即方 程 22 (3 )(2)0axx xax有 1 个根或 3 个根，分析方程 22 (3 )(2)0axx xax的根的情况，可得a可取的值，即可得答案 【解析】根据题意，已知 1A ，2，则 2C A ， 又由*1A B ，则 1C B 或 3， 即方程 22 (3 )(2)0axx xax有 1
26、个根或 3 个根； 若 22 (3 )(2)0axx xax，则必有 2 30axx或 2 20 xax， 若 2 30axx，则0 x 或30ax， 当0a 时， 0B ， 1C B ，符合题意； 当0a 时， 2 30axx对应的根为 0 和 3 a ； 故需 2 20 xax有两等根且根不为 0 和 3 a ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 14 页 共 41 页 当0时，2 2a ， 2 2a ，此时 0B ，2 2， 3 2 4 ， 3C B ，符合题意； 2 2a ，此时 0B ，2 2， 3 2 4 ， 3C B ，符合题意； 当
27、3 a 是 2 20 xax的根时，解得3a ； 3a ，此时 0B ，1， 2 ， 3C B ，符合题意； 3a ，此时 0B ，1，2， 3C B ，符合题意； 综合可得：a可取的值为 0， 3， 2， 故选：ABD 【点评】本题考查集合的表示方法，关键是依据 C A的意义，分析集 合 B 中元素的个数，进而分析方程 22 (3 )(2)0axx xax的根的情况 4BD 【分析】 根据题意知， 对于集合M表示的函数图象上的任意点 11 ,P x y ， 在图象上存在另一个点 P ，使得OP OP ，结合函数图象即可判断 【解析】由题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点 11 ,P x
28、 y ， 在图象上存在另一个点 P ，使得OP OP 在 2 1yx的图象上，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点 P ， 所以 1 M 不是“互垂点集”集合； 对1yx的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象 有交点， 所以在 2 M 中的任意点 11 ,P x y ， 在 2 M 中存在另一个 P ， 使得OP OP ， 所以 2 M 是“互垂点集”集合； 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 15 页 共 41 页 在 x ye的图象上， 当P点坐标为(0,1)时， 不存在对应的点 P ，所以 3 M 不是“互垂点集”集合； 对 si
29、n1yx 的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图 象有交点， 所以所以 4 M 是“互垂点集”集合， 故选：BD 【点评】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应 用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题 5AD 【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了 对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证. 【解析】当ab时，由数域的定义可知， 若 , a bG ，则有abG ，即0G， 故是真命题; 当0ab时，由数域的定义可知， 若 , a bG ，则有 a G b ，即1G， 若1G，则1 12G ，则2 13G ， 则1
30、 20182019G，故是真命题； 当 2,4ab 时， 1 2 a G b ，故是假命题； 若 , a bQ ，则 ,ab ab abQ ，且 0b时, a Q b ，故是真命题； 0G，当bG且 0b时，则bG ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 16 页 共 41 页 因此只要这个数不为0就一定成对出现， 所以有限数域的元素个数必为奇数，所以是真命题. 故选：AD. 【点评】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的 定义是解决该题的关键，题目着重考查学生的构造性思维，一定要读 懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题. 6BCD
31、E 【分析】根据“完美集”的定义对各选项的正误进行判断. 【解析】A 中，1B ，1 B，但是1 12B ，B不是“完美集”， 故 A 说法不正确； B 中，有理数集满足“完美集”的定义，故 B 说法正确； C 中，0A，x、y A ， 0yyA ，那么 xyxyA ，故 C 说法正确；D 中，对任意一个“完美集”A，任取x、y A ，若x、y中 有0或1时，显然xy A ，若x、y均不为0、1，而 22 2222 11111 22xyxyxy xyxyxyxy ， x、 1xA ，那么 111 11 A xxx x ， 1x xA ， 进而 2 (1)xx xxA同理， 2 yA，则 22
32、xyA， 2 xyA， 222 2()xyxyxyA 2 22 1 A xyxy ， 结合前面的算式，知xy A ，故 D 说法正确； E 中，x、y A ，若0 x ，则 1 A x ，由 D 得 y A x ，故 E 说法正确 故选：BCDE 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 17 页 共 41 页 【点评】本题考查集合中的新定义，解题时要充分结合“完美集”的定 义来理解，考查推理能力，属于难题. 7ABD 【分析】根据反比例函数的性质可判断 2,10B 是否正确；然后先分 别计算AB，BA，判断 B 选项是否正确，然后计算A B与BA， 判断
33、D 选项是否成立. 【解析】 2, 131,5Ay yxx ， 2 1 ,12,10 5 By yx x ， 故 A 正确； 定义 ABx xA 且 xB ， 1,2AB ， 5,10BA ，故 B 正确； 1,25,10A BABBA，故 C 错误； 1,25,10B ABAAB，所以A BB A，故 D 正确 故选：ABD 【点评】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于 基础题解答时，根据题意化简集合 ,A B，然后结合新定义计算法则 计算即可得出答案 8CD 【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，关键把握数 域是对加减乘除四则运算封闭 【解析】要满足对四种运算的
34、封闭，逐个检验； A.对除法如 1 2 Z 不满足，所以排除； B.当有理数集Q增加一个元素i得M， 而1 i不属于集合M， 所以M不 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 18 页 共 41 页 是一个数域,B排除； C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确； D. 把集合 2,Faba bQ 中2替换成2以外的无理数， 可得有 无数个数域，所以正确. 故选:CD. 【点评】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的 定义是解决该题的关键. 9BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x ， 1y 可判断 A 选项的正误； 利
35、用题中性质 （1）（2） 可判断 B 选项的正误； 当y A 时， 推到出 yA ， 结合性质（2）可判断 C 选项的正误；推导出xy A ，结合性质（2） 可判断 D 选项的正误. 【解析】 对于 A 选项， 取1x ， 1y ，则 2xyA ，集合 1,0,1B 不是“完美集”，A 选项错误； 对于 B 选项，有理数集Q满足性质（1） 、 （2） ，则有理数集Q为“完美 集”，B 选项正确； 对于 C 选项，若y A ，则 0yyA ， xyxyA ，C 选项正 确； 对于 D 选项，任取x、y A ，若x、y中有0或1时，显然xy A ； 当x、y均不为0、1且当x A，yA时，1xA
36、， 则 111 11 A xxx x ，所以 1x xA ， 2 1xx xxA ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 19 页 共 41 页 22 2222 11111 22 A xyxyxy xyxyxyxy ， xyA ， 所以，若x、y A 且0 x ，则 1 A x ，从而 1y yA xx ，D 选项正确. 故选：BCD. 【点评】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关 键，考查推理能力，属于中等题. 10ABD 【分析】根据新定义分别进行验证 【解析】A4 ,2MM ，但426M ，A 错； B1 *,2*NN ，但1
37、21*N ，B 错； C对于任意 , a bM ，设 12 5 ,5ak bk ， 12 ,kZ kZ ， 12 5()abkk ， 12 5()abkk ， 1212 ,kkZ kkZ ，所以 ,abM abM ，C 正确； D 1 |5 ,An nk kZ ， 2 |3 ,An nk kZ 都是闭集合，便 12 AA 不是 闭集合，如 12 5AA ， 12 3AA ，但 12 538AA ，D 错误 故选：ABD 【点评】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义“闭集合”， 然后加减运算进行验证考查元素与集合的关系，旨在考查学生的创 新意识 11BCD 【分析】根据条件可知集合A中仅有
38、一个元素，由此分析方程 2 20axxa为一元一次方程、 一元二次方程的情况， 从而求解出a的 值. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 20 页 共 41 页 【解析】因为集合A仅有2个子集，所以集合A中仅有一个元素， 当0a 时，20 x ，所以0 x ，所以 0A ，满足要求； 当0a 时， 因为集合A中仅有一个元素， 所以 2 440a ， 所以1a ， 此时 1A 或 1A ，满足要求， 故选：BCD. 【点评】本题考查根据集合中元素个数求解参数值，其中涉及到根据 集合的子集个数确定集合中元素个数，难度一般.集合中元素个数与 集合的子集个数的
39、关系：集合中有n个元素，则集合有2n个子集. 12ABD 【分析】根据封闭集合的定义逐个判断可得答案. 【解析】对于A，因为 1 21 2 M ， 2 4 1 2 M ，所以集合 1 1,2, 2 M 不是封闭集合，故A正确； 对于B，因为任意两个有理数的积仍然是有理数，任意一个有理数除 以一个非零有理数仍然是有理数，所以有理数集是封闭集合，故B正 确； 对于 C，若取2 2a ，2b ，则4ab 为有理数，所以无理数集不是 封闭集合，故C不正确； 对于D，对任意 12 ,0a bAAb ，则 1 ,0a bA b ， 2 ,0a bA b ， 因为集合 1 A为封闭集，所以 1 a bA 且
40、 1 a A b ，因为集合2 A为封闭集， 所以 2 a bA 且 2 a A b ，所以 12 a bAA 且 12 a AA b ，所以 12 AA 也 是封闭集合，故D正确. 故选：ABD. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 21 页 共 41 页 【点评】本题考查了集合的新定义，考查了理解能力，属于中档题. 13ABD 【分析】根据新定义判断 【解析】根据定义 ()() RR ABABAB痧 ， A.若A BB，则 RA BB ， R AB ，RA BB R BA ， R AB AB ，A，A 正确； B.若A B ，则 RA B ， R
41、AB ，A BAB ，B 正确； C. 若A BA ，则RA B ， R ABA ，则B A ，C 错； D.AB时，A B ，()() RR ABAB 痧 ，D 正确； E.由定义， ()() RR ABABAB痧BA ，E 错 故选：ABD 【点评】本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化 为集合的交并补运算 14AB 【分析】根据集合定义依次判断 AB 正确，取 0S 满足条件为封闭 集，排除 C，取 0S ， 0,1T ，排除 D，得到答案. 【解析】设3xab，3ycd，a b c d , , 均为整数， 则 3xyacbdS ， 3xyacbdS ， 33xyacbda
42、dbcS，故集合 3 |,SabaZ bZ 为封闭集， A 正确； S 为封闭集，取x y ，则 0 xyS ，B 正确； 取 0S 满足条件为封闭集，C 错误； 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 22 页 共 41 页 取 0S ， 0,1T ，满足S TR ，0 11 T ，故T不是封闭集，D 错误. 故选：AB. 【点评】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和 应用能力，取特殊值排除是解题的关键. 15ABD 【分析】当0a 时，B ，满足题意；当0a 时，可求得集合B， 分别令B中元素与A中元素对应相等，可确定 1a 或4满足题
43、意，由此 得到结果. 【解析】当0a 时，B ，此时B A ，A与B构成“全食”，满足题 意； 当0a 时， 11 ,B aa ， 若 1 1 a ，即 1a ，则1,1B ，此时B A ，A与B构成“全食”，满足 题意； 若 11 2a ，即4a ，则 1 1 , 2 2 B ，此时 1 2 AB ，但互不为对方子 集，A与B构成“偏食”，满足题意； 若2a ，此时 22 , 22 B ，A B ，互不为对方子集，不合题意； 综上所述：0a 或1或4. 故选：ABD. 【点评】本题考查集合中新定义运算问题的求解，关键是明确新定义 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 4166
44、52117 第 23 页 共 41 页 的含义实际为两集合之间包含关系、交集的判断，考查了集合之间的 关系与集合运算的知识. 16BD 【分析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案. 【解析】 对选项 A， 因为 0Mx x ， 0Nx x ， |0MNx xQ ， 故 A 错误； 对选项 B，设 0MxQ x ， 0NxQ x ，满足戴德金分割， 则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故 B 正确； 对选项 C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素， 则不能同时满足M NQ ，MN，故 C 错误； 对选项 D，设 2MxQ x ， 2NxQ x ，满足戴德金分割， 此时M没有最大元素，
45、N也没有最小元素，故 D 正确. 故选：BD 【点评】 本题主要考查集合的新定义， 同时考查学生分析问题的能力， 属于中档题. 17ABD 【分析】根据新定义及交并补集运算，逐一判断即可. 【解析】 解： 对于 A 选项， 因为A BB， 所以,Bx xAB xAB， 所以A B ，且 B 中的元素不能出现在A B 中，因此A，即选项 A 正确； 对于 B 选项，因为A B ，所以,x xAB xAB ， 即A B 与A B 是相同的，所以AB，即选项 B 正确； 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 24 页 共 41 页 对于 C 选项，因为A BA
46、 ，所以 ,x xAB xABA ， 所以B A ，即选项 C 错误； 对于 D 选项， 设 2Ax x ， 1Bx x ， 则A BR ， 12ABxx ， 所以 1ABx 或 2x ，又 =2 RA x x ， =1 RB x x ， = | 1 RR ABxx痧 或 2x ， = RR AB痧 ， 所以= | 1 RR ABxx痧 或 2x ， 因此 RR ABAB痧 ，即 D 正确. 故选：ABD. 【点评】本题主要考查新定义，考查了交并补集的混合运算，属于 中档题考查了学生的转化与化归能力，逻辑推理能力 18BD 【分析】根据分式不等式的解法即可判断 A；利用二次函数的性质以 及充要
47、条件的定义即可判断 B；利用特殊值可判断 C；解二元一次方 程组可判断 D. 【解析】 对于 A， 2 2 (1)(2)1240 0 4 40 xxxxx x x ， 解得4x 或 1x 或2x ， 所以不等式的解集为 | 4x x 或2x 或 1x ，故 A 不正确； 对于 B，由题意，0a ，开口向上， ( )0f x 有两个不相等的实根，最 小值必然小于0， 当取得最小值时， 2 b x a ，即 0 2 b f a ， 令 2 b f x a ，则 0 2 b ff xf a ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 25 页 共 41 页 所以
48、 ( ( )0ff x 必有两个不相等的实根， 同理 00 222 bbb fffx aaa ， 由于 2 b x a 是对称轴，0a ，开口向上， 0 2 b f a ， 所以 ( )0f x 与 ( ( )0ff x ”都恰有两个不等实根，故 B 正确； 对于 C，令 2 48x ，解得2x ，当2x 时， 231x ，当2x 时，2 37x ， 即 81f 或7，不符合函数的定义，故 C 不正确； 对于 D， 5 6 xy xy ，解得 3 2 x y 或 2 3 x y 所以 ( , )|5,6(2,3),(3,2)Ax yxyxy ，故 D 正确； 故选：BD 【点评】本题考查了分式
49、不等式的解法、二次函数的性质、函数的定 义以及集合的表示，此题综合性比较强，属于中档题. 19ABD 【分析】根据新概念数域的定义判断 【解析】若a F，则0aaF，A 正确； 若a F且0a ，则1 a F a ，由此21 1F ，3 12F ，依次类推 2020F，B 正确； |3 ,Px xk kZ ，3 ,6PP ，但 3 6 P ，P不是数域，C 错误； , a b是两个有理数，则, a ab ab ab b （ 0b）都是有理数，所以有理 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 26 页 共 41 页 数集是数域，D 正确 故选：ABD 【点评
50、】本题考查新定义，解题关键是正确理解新定义数域，即数域 中任意两个元素的和、差、积、商（分母不为 0）仍然属于数域 20ACD 【分析】方程 2 ()()0 xa xbxc的解的个数取决于 2 4bac ，至少 有一个x a ；方程 2 110axcxbx 的解得个数取决于0a 及 2 4bac ，分情况讨论举例可得答案. 【解析】A：当 0Card T 时，方程 2 110g xaxcxbx 无实根， 所以0a ， 2 40bc或0abc； 当0abc时， 3 f xx ，由 0f x 得0 x ，此时 1Card S ； 当0a ， 2 40bc时， 2 fxx xbxc ，由 0f x
