高考数学培优专题库教师版第43讲圆锥曲线小题精选.doc

1、高考数学培优专题库教师版 第四十三讲圆锥曲线小题精选第四十三讲圆锥曲线小题精选 A 组 一、选择题一、选择题 1 已知O为坐标原点，F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左焦点，,A B分别为C的左， 右顶点P 为C上一点， 且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M， 与y轴交于点E 若直线BM经过OE 的中点，则C的离心率为（） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 【答案】A 【解析】 如图取P与M重合，则由 2 (,0),(,) b AaMc a 直线 2 2 :()(0,) b b a AMyxaE caac 同理 由 2222 21 ( ,0),(,)(0,

2、)3 3 bbbb B aMcGace aacacac ,故选 A. 2如图， 12 ,F F分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线l与双曲线分别 交于点,A B，若 2 ABF为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（） A3B2 C.6D2 【答案】C 【解析】 由已知 21 2BFBFa， 12 2AFAFa，又 2 ABF为等边三角形，所以 121 AFAFBF 2a，所以 2 4BF .在 12 AFF中， 1 6AFa， 2 4AFa， 12 2FFc， 12 60F AF，由余 弦定理得 222 436162 64cos60caaaa

3、，所以 22 7ca， 2222 6bcaa，所以6 b a ， 故选 C. 3已知命题p：直线220 xy与直线26 20 xy之间的距离不大于 1，命题q：椭圆 22 22754xy与双曲线 22 916144xy有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（） Apq Bpq C.pq Dpq 【答案】B 【解析】 对于命题p，将直线l平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20 xym，联立方程组 22 41 20 xy xym ，消去y得 22 2210 xmxm .由0 得，所以2m ，椭圆上的点到直线l最 近距离为直线220 xy与l的距离d 2 26 2 101 12 ， 所以命题p为假

4、命题， 于是p为 真命题.对于命题q，椭圆 22 22754xy与双曲线 22 916144xy有相同的焦点5,0，故q为真命 题.从而pq为真命题，故选 B. 3如图， 12 ,F F分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线l与双曲线分别 高考数学培优专题库教师版 交于点,A B，且 1, 3A，若 2 ABF为等边三角形，则 12 BFF的面积为（） A1B2 C.3D2 【答案】C 【解析】 由已知 21 2BFBFa， 12 2AFAFa，又 2 ABF为等边三角形，所以 121 AFAFBF 2a，所以 2 4BF .在 12 AFF中，

5、1 6AFa， 2 4AFa， 12 2FFc， 12 60F AF，由余 弦定理得 222 436162 64cos60caaaa ，所以 22 7ca， 2222 6bcaa，所以双曲线方 程为 22 22 1 6 xy aa ，又 1, 3A在双曲线上，所以 22 13 1 6aa ，解得 2 1 2 a ，即 2 2 a . 所以 1 2 2 1 24sin1202 33 2 BF F Saaa ，故选 C. 4已知点 00 ,A xy是抛物线 2 20ypx p上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O坐标原点， 若 3 2 p AF ，2 3AO ，则此抛物线的准线方程为（） A4x

6、 B3x C.2x D1x 【答案】D 【解析】 因为 0 3 22 pp x ， 所以 0 xp， 0 2yp.又 2 2 212pp， 所以2p ， 准线方程为1x ， 故选 D. 5已知椭圆 22 :1 169 xy C的左、右焦点分别为 12 FF、，过 2 F的直线交椭圆C于PQ、两点，若 1 FP 1 10FQ ，则PQ等于（） A8B6 C. 4D2 【答案】B 【解析】 因为直线PQ过椭圆的右焦点 2 F，由椭圆的定义，在 1 FPQ中， 11 416FPFQPQa.又 11 10FPFQ，所以6PQ ，故选 B. 6设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 10,0 xy

7、 ab ab 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得 12 3PFPFb， 12 9 4 PFPFab，则该双曲线的离心率为（） A 4 3 B 5 3 C 9 4 D3 【答案】B 【解析】 由双曲线的定义可得，aPFPF2| 21 ，由bPFPF3| 21 ，abPFPF 4 9 | 21 ，则有 2 21 |)|(|PFPF 22 21 499|4aabbPFPF，即有0)3)(43(abab，即有ab43 ，即 )(9169 2222 acab，则 22 259ac ，即有ac53 ，则 3 5 e a c 故选 B 7已知双曲线 22 22 :10 0 xy Cab ab ，的左焦点为

8、 0Fc ，点M、N在双曲线C上，O是坐 标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为2cb，则双曲线C的离心率为（） A2B2 C.2 2D2 3 【答案】D 【解析】 设 00 M xy，四边形OFMN为平行四边形， 0 2 c x ，四边形OFMN的面积为2cb， 0 2y ccd，即 0 2yb， 2 2 c Mb ，代入双曲线方程得 2 21 4 e ，1e ，2 3e . 故选 D. 8已知双曲线)0( 1 2 2 22 b b yx 的左、右焦点分别为 21,F F，其一条渐近线方程为xy ，点 ), 3( 0 yP在该双曲线上，则 21 PFPF（） A12B

9、2 C0D4 【答案】C 【解析】 高考数学培优专题库教师版 双曲线的一条渐近线为 22222 ,4,4,yxbacab双曲线方程为 22 1 22 xy ， 12 2,0 ,2,0FF,将), 3( 0 yP代入得 0 1y ,当 12 3,1 ,23231 10PPFPF ;当 12 3, 1 ,2323110PPFPF ,故选 C. 9已知, ,A B P是双曲线 22 22 1 xy ab 上的不同三点，且AB连线经过坐标原点，若直线,PA PB的斜 率乘积 2 3 PAPB kk，则该双曲线的离心率e （） A 5 2 B 15 3 C. 10 2 D2 【答案】B 【解析】 设 1

10、11122 ,A x yBxyP xy，所以 222 21 222 21 2 3 PAPB yyb kk xxa ，故 2 2 2 515 1, 33 b ee a . 10已知双曲线 22 22 1(a0,b0) xy ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过 1 F作圆 222 xya的切 线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，若 2 |BC| |CF |，则双曲线的渐近线方程为（） A.3yx B.2 2yx C.( 31)yx D.( 31)yx 【答案】C 【解析】 因为过 1 F作圆 222 xya的切线分别交双曲线的左右两支于点,B C，且 2 BCCF，所以 1 2BFa

11、， 设切点为,( , )T B x y， 则利用三角形的相似可得 2ycxa aac ， 所以 22 22 , abca xy cc ， 所以 22 22 (,) abca B cc ，代入双曲线的方程，整理可得( 31)ba，所以双曲线的渐近线方程为 ( 31)yx ，故选 C. B B 组组 一、选择题 1已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 1 F， 2 F.这两条曲线在第 一象限的交点为P， 12 PFF是以 1 PF为底边的等腰三角形.若 1 | 10PF ，记椭圆与双曲线的离心率分别 为 1 e、 2 e，则 12 e e 的取值范围是（） A. 1 (

12、,) 9 B. 1 ( ,) 5 C. 1 ( ,) 3 D.(0,) 【答案】C 【解析】 设椭圆和双曲线的半焦距为 12 ,c PFm PFn，()mn，由于 12 PFF是以 1 PF为底边的等腰三 角形， 若 1 | 10PF ， 即有10,2mnc， 由椭圆的定义可得 1 2mna， 由双曲线定义可得 2 2mna， 即由 12 5,5,(5)ac ac c，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210cc，可得 5 2 c ， 既有 5 5 2 c， 由离心率公式可得 2 12 2 12 2 1 25 25 1 ccc e e aac c ， 由于 2 25 14 c ， 则由 2

13、 11 25 3 1 c ， 则 12 e e 的取值范围是 1 ( ,) 3 ，故选 C. 2过椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在 x轴上的射影恰好为右焦点 2 F，若 11 32 k，则椭圆C的离心率的取值范围是（） A 1 (0, ) 2 B 2 ( ,1) 3 C 1 2 ( , ) 2 3 D 12 (0, )( ,1) 23 【答案】C 【解析】 高考数学培优专题库教师版 由题意可知 2 22 , b AFac BF a ，所以直线AB的斜率为 2222 2 11 1 , 13 2 bace k a acaace

14、 ，即 2 2 11 13 11 12 e e e e ，解得 12 23 e，故选 C. 3抛物线 2 1 2 xy在第一象限内图像上的一点 2 ( ,2) ii aa处的切线与x轴交点的横坐标记为 1i a ，其 中*iN，若 2 32a ，则 246 aaa等于（） A21B32 C42D64 【答案】C 【解析】 抛物线 2 1 2 xy可化为 2 2yx，4yx 在点 2 ( ,2) ii aa处的切线方程为 2 24 iii yaaxa所以 切线与x轴交点的横坐标为 1 1 2 ii aa ，所以数列 2k a是以 2 32a 为首项， 1 4 为公比的等比数列，所以 246 32

15、8242aaa ，故选 C. 4设 12 ,F F分别为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦，双曲线上存在一点P使得 1212 9 3 , 4 PFPFb PFPFab，则该双曲线的离心率为（） A 4 3 B 5 3 C 9 4 D3 【答案】B 【解析】 不 妨 设 右 支 上 点P的 横 坐 标 为x， 由 焦 半 径 公 式 得 12 ,PFexa PFexa， 因 为 1212 9 3 , 4 PFPFb PFPFab，所以 22 9 23 ,() 4 exb exaab，所以(34 )(3)0baba，所 以 3 4 ab，所以 22 5 4 cabb，所以

16、5 3 c e a ，故选 B 5已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线为, l P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 4FPFQ ，则QF （） A 7 2 B 5 2 C3D2 【答案】C 【解析】 设Q到l的距离为d， 则QFd， 因为4FPFQ ， 所以3PQd， 所以直线PF的斜率为2 2， 因为(2,0)F，所以直线PF的方程为2 2(2)yx ，与抛物线 2 :8C yx的方程联立，可得1x ， 所以13QFd ，故选 D 6已知0ab，椭圆 1 C的方程为 22 22 1 xy ab ，双曲线 2 C的方程为 22 1 22 1, xy C ab 与 2 C离心率

17、之 积为 3 2 ，则 2 C的渐近线方程为（） A20 xyB20 xy C20 xyD20 xy 【答案】A 【解析】 由椭圆 1 C和双曲线 2 C的离心率之积为 3 2 ，即 1 2 3 2 ee ，所以 222244 12 1 2 22 3 2 ccababab ee aaaa ，解得 2 2 b a ，所以双曲线的渐近线方程为 2 2 yx ，即20 xy，故选 A 7 设 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ） 的两个焦点， 点P在双曲线上， 若 12 0PF PF ， 12 | | 2PFPFac （ 22 cab） ，则双曲线的离心率为（）

18、A 5 2 B 13 2 C2D1 2 2 【答案】B 【解析】 不妨设P在双曲线的右支上，设 1 |PFt ，则由双曲线的定义可得 2 |2PFta ，由题意可得 (2 )2t taac， 又 12 0PF PF ， 由 勾 股 定 理 可 得 ， 222 (2 )4ttac， 所 以 2 2 (2 )44ttacac，即为 22 0caca，由 c e a ，可得 2 10ee ，解得 5 2 e 或 高考数学培优专题库教师版 5 2 e （舍） 故选 B 8 已知 12 FF，是双曲线 22 22 10 0 xy ab ab ，的左、 右焦点， 直线ya与双曲线两条渐近线的左、 右交点分

19、别为 AB，若四边形 21 ABF F的面积为5ab，则双曲线的离心率为（） A3B2 C. 2 3 3 D5 【答案】C 【解析】 双 曲 线 的 渐近 线 方 程 为 b yx a ， 由 b ax a ， 得 2 a x b ， 即 22 (-, ) (, ) aa AaBa bb ， 所 以 2 12 2 ,2 a ABFFc b ，则四边形 21 ABF F的面积为 22 1 2 (2 )()5 2 aa Sc ac aab bb ，即 22 5abcb，即 222 5cbbcb，即 22 60cbcb，得2cb或3cb （舍） ，所以 2222 444cbca，即 22 34ca，

20、 所以双曲线的离心率为 22 3 33 c a .故选 C 9 已知抛物线 2 4yx的准线与x轴的交点记为A， 焦点为F，l是过点A且倾斜角为 3 的直线， 则F 到直线l的距离为（） A1B3 C. 2D2 3 【答案】B 【解析】 由题意，( 1,0),(1,0)AF，则过点A且倾斜角为 3 的直线l的方程为3(1)yx，点F到直线l的 距离为 2 3 3 31 .故选 B 10过抛物线yx4 2 的焦点F作一直线交抛物线于QP,两点，若线段PF与FQ的长分别为qp,， 则 qp 11 等于（） A 2 1 B2 C1D16 【答案】C 【解析】 由题意可设直线PQ的方程是1ykx， 1

21、122 ( ,),(,)P x yQ xy，由 2 1 4 ykx xy ，得 2 440 xkx， 1212 44xxkx x ， 2 1212 ()242yyk xxk， 2 12121212 (1)(1)()11y ykxkxk xxk x x ，由抛物线的定义得 2 12 244pqyyk， 2 121212 (1)(1)144pqyyyyy yk ，所以 2 2 1144 1 44 pqk pqpqk 故选 C 11抛物线xy4 2 ，直线l过的焦点1 1516 22 yx 且与抛物线交于),(),( 2211 yxByxA两点， 3 21 xx，则AB中点到y轴的距离为（） A3B

22、 2 3 C 2 5 D4 【答案】B 【解析】 因为AB中点坐标为 1212 (,) 22 xxyy ，3 21 xx，所以AB中点到y轴的距离为 12 3 22 xx .故 选 B C C 组组 一、选择题一、选择题 1 过 抛 物 线 2 40yax a的 焦 点F作 斜 率 为1的 直 线, l l与 离 心 率 为e的 双 曲 线 22 22 10 xy b ab 的两条渐近线的交点分别为,B C.若, BCF xxx分别表示,B C F的横坐标，且 2 FBC xxx ，则e （） A6B6C.3D3 【答案】D 高考数学培优专题库教师版 【解析】 由题意，知( ,0)F a，则直

23、线l的方程为yxa 因为双曲线的渐近线为 b yx a ，所以直线l与 渐近线的交点横坐标分为 22 , aa ab ab ，又 2 FBC xxx ，即 22 2 aa a ab ab ，整理，得 2 2 2 b a ，所 以 2 1 ( )3 cb e aa ，故选 D 2 过 抛 物 线 2 40yax a的 焦 点F作 斜 率 为1的 直 线, l l与 离 心 率 为e的 双 曲 线 22 22 10 xy b ab 的两条渐近线的交点分别为,B C.若, BCF xxx分别表示,B C F的横坐标，且 2 FBC xxx ，则e （） A6B6 C.3D3 【答案】D 【解析】 由

24、题意，知( ,0)F a，则直线l的方程为yxa 因为双曲线的渐近线为 b yx a ，所以直线l与 渐近线的交点横坐标分为 22 , aa ab ab ，又 2 FBC xxx ，即 22 2 aa a ab ab ，整理，得 2 2 2 b a ，所 以 2 1 ( )3 cb e aa ，故选 D 3 已知 2 F是双曲线 2 2 :1 2 y E x 的右焦点， 过点 2 F的直线交E的右支于不同两点,A B， 过点 2 F且 垂直于直线AB的直线交y轴于点P，则 2 PF AB 的取值范围是（） A 2 0, 4 B 3 0, 4 C 2 ,1 4 D 3 ,1 4 【答案】B 【解

25、析】 当直线AB的斜率不存在时，2 , 3A，2, 3 B，4AB，3 2 PF，则 4 3 2 AB PF ，故排 除 A；当2k时，直线AB为32xy，直线 2 PF为3 2 1 xy， 2 3 , 0，P，设 11, y xA， 22, y xB联立得 022 32 22 yx xy ，化简得0734 2 xx，由韦达定理得7, 34 2121 xxxx， 故 2 3 5 2 PF，10AB，故 4 2 20 15 2 AB PF ，故排除 C，D，故选 B 4抛物线 2 1 1 :0 2 Cyxp p 的焦点与双曲线 2 2 2: 1 3 x Cy的右焦点的连线交 1 C于第一象限的点

26、 M，若 1 C在点M处的切线平行于 2 C的一条渐近线，则p （） A 3 8 B 3 16 C 4 3 3 D 2 3 3 【答案】C 【解析】 设抛物线的焦点F与双曲线的右焦点 2 F及点M的坐标分别为),(),0 , 2(), 2 , 0( 002 yxMF p F,故由题 设 可 得 在 切 点M处 的 斜 率 为 0 1 x p , 则 3 31 0 x p , 即px 3 3 0 , 故) 6 1 , 3 3 (ppM, 依 据 ),(),0 , 2(), 2 , 0( 002 yxMF p F共线可得 3 1 4 p ,所以 3 34 p,故应选 C 5双曲线 22 22 10

27、,0 xy ab ab 的实轴为 12 A A，虚轴的一个端点为B，若三角形 12 A A B的面积 为 2 2b，则双曲线的离心率为（） A 6 3 B 6 2 C2D3 【答案】B 【解析】 双曲线实轴 12 A A的长度为2a,虚轴的一个端点为B,坐标为(0, )b(假设在x轴上方),则 12 1 2 2 A A B Sa bab ,而 12 2 2 A A B Sb ,所以2ab,在双曲线中, 222 cab,所以 22 3cb,离心 高考数学培优专题库教师版 率 36 22 cb e ab ,选 B 6已知, ,A B P是双曲线 22 22 1 xy ab 上的不同三点，且AB连线

28、经过坐标原点，若直线,PA PB的斜 率乘积 2 3 PAPB kk，则该双曲线的离心率e （） A 5 2 B 15 3 C 10 2 D2 【答案】B 【解析】 设 111122 ,A x yBxyP xy，所以 222 21 222 21 2 3 PAPB yyb kk xxa ，故 2 2 2 515 1, 33 b ee a 7已知 1 F、 2 F分别是双曲线C： 22 22 1 xy ab 的左、右焦点，若 2 F关于渐近线的对称点恰落在以 1 F 为圆心， 1 |OF为半径的圆上（O为原点） ，则双曲线的离心率为（） A3B3 C2D2 【答案】D 【解析】 由已知有, 12

29、(,0),( ,0)FcF c,设双曲线的一条渐近线方程为: b l yx a ,即0bxay,则点 2 F到l 的距离为 22 bc b ab ,设点 2 F关于渐近线的对称点为M,交渐近线于A,则 2 MFl, 11 MFOFc, 因 为,O A分 别 为 122 ,FF F M的 中 点 , 所 以 1 OA MF, 且 1 1 2 OAMFc, 在 2 Rt AOF 中, 0 22 1 90 , 2 OAFOFc OAc所以 2 3 2 AFc,又 2 AFb,所以 31 , 22 bc ac,离心率 2 c e a ,选 D. 8已知双曲线 2 2 1 2 x y 与不过原点O且不平

30、行于坐标轴的直线l相交于,M N两点，线段MN的 中点为P，设直线l的斜率为 1 k，直线OP的斜率为 2 k，则 12 k k （） A 1 2 B 1 2 C2D-2 【答案】A 【解析】 设 112200 ,M x yN xyP xy， 则 22 22 12 12 1,1 22 xx yy， 根 据 点 差 法 可 得 1212 1212 2 xxxx yyyy ， 所以直线l的斜率为 01212 1 12120 22 xyyxx k xxyyy ， 直线OP 的斜率为 0 2 0 y k x ， 00 12 00 1 22 xy k k yx ，故选 A. 9已知双曲线 2 2 1 2

31、 x y 与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于,M N两点，线段MN的 中点为P，设直线l的斜率为 1 k，直线OP的斜率为 2 k，则 1 2 k k （） A 1 2 B 1 2 C2D-2 【答案】A 【解析】 设 112200 ,M x yN xyP xy， 则 22 22 12 12 1,1 22 xx yy， 根 据 点 差 法 可 得 1212 1212 2 xxxx yyyy ， 所以直线l的斜率为 01212 1 12120 22 xyyxx k xxyyy ， 直线OP 的斜率为 0 2 0 y k x ， 00 1 2 00 1 22 xy k k yx ，故选 A

32、. 10已知双曲线 22 1xy，点 1 F， 2 F为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若 12 60FPF，则 三角形 12 FPF的面积为（） A2B2 2C3D2 3 【答案】C 【解析】 12 2 1 3 tan30 tan 2 F PF b S ,故选 C. 高考数学培优专题库教师版 11已知双曲线 2 2 1 3 y x 的左、右焦点分别为 12 ,F F，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使 21 12 sin sin PF F e PFF ，则 221 F P F F 的值为（） A3B2 C3D2 【答案】B 【解析】 双曲线 2 2 1 3 y x 的左、右焦点分别为 1

33、2 ,F F，可得 21 =24F Fc ，在 12 PFF中，由正弦定理得 1 23 122 sin 2 sin PFPF F e PFFPF ，又 12 2,PFPF结合这两个条件得 12 4,2PFPF，由余弦定理 可得 212212 11 cos,4 22 44 F F F PF F F P ,故选 B 12设A为椭圆 22 22 10 xy ab ab 上一点，点A关于原点的对称点为,B F为椭圆的右焦点，且 AFBF，若, 12 4 ABF ，则该椭圆离心率的取值范围为（） A 2 0, 2 B 2 ,1 2 C 6 0, 3 D 26 , 23 【答案】D 作 图， 设 左 焦点 为N， 易知 四 边 形AFNB是 矩形 ， 根 据椭 圆 的 定义2AFANa， ABFANF ，所以22 cos2 sinacc，所以 211 2sincos 2sin 4 c e a ， 因为, 12 4 ABF ，所以 3 sin,1 2 ，从而该椭圆离心率的取值范围为 26 , 23 ，故选 D.