1、7.3.2离散型随机变量的方 差 学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参 加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X,Y的分布列 分别为 X90100110 P0.10.80.1 Y95100105 P0.30.40.3 那么最好选择哪名同学呢? 一、离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. Xx1x2xn Pp1p2pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X)2,(x2-E(X)2, ,(xn-E(X)2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方 关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的
2、 偏离程度,我们称 D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn = (xi-E(X)2pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称 为随机变量X的标准差,记为(X). 名师点析随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其 均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差 越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值 越分散. 微思考 随机变量的方差与样本的方差有何不同? 提示:样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机 变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程
3、度,因此它是一个常量而非变量. 微练习 已知离散型随机变量X的分布列如下表. X-1012 Pabc 若E(X)=0,D(X)=1,则a=,b=. 二、离散型随机变量的方差的性质 一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X). 微练习 已知X的分布列如下表. X-101 P 若Y=3X-1,则D(Y)的值为() A.-1B.5C.10 D.20 答案:B 求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差 例1袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个 (n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号. (1)求X的分布列、均值和方差; (2)若Y=a
4、X+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值. 解:(1)X的分布列为 (2)由D(Y)=a2D(X),得a22.75=11, 解得a=2. 又E(Y)=aE(X)+b, 所以当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2; 当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4. 反思感悟 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤: 2.已知随机变量=a+b求D()时,注意D()=D(a+b)=a2D()的应 用,这样既避免求随机变量的分布列,又避免繁杂的计算,简化计算 过程. 变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、 黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3
5、个小球, 记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方 差. 离散型随机变量的方差的应用离散型随机变量的方差的应用 例2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的 种类和数量也大致相同,两个保护区内每个季度发现违反保护条例 的事件次数的分布列分别为: 甲: X0123 P0.30.30.20.2 乙: Y012 P0.10.50.4 试评定这两个保护区的管理水平. 解:甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为 E(X)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3, D(X)=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3-1
6、.3)20.2=1.21. 乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为 E(Y)=00.1+10.5+20.4=1.3, D(Y)=(0-1.3)20.1+(1-1.3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41. 因为E(X)=E(Y),D(X)D(Y),所以两个保护区内每个季度发现违反 保护条例的事件的平均次数相同,但甲保护区内违反保护条例的事 件次数相对分散且波动较大,乙保护区内违反保护条例的事件次数 更加集中和稳定.相对而言,乙保护区的管理更好一些. 反思感悟 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平 均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与 离散的程度
7、.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水 平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要 求不同,应视具体情况而定. 变式训练2甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了 对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从他们中各取等 量的样品检查它们的抗拉强度指数如下. X110120125130135 P0.10.20.40.10.2 Y100115125130145 P0.10.20.40.10.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉 强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好. 解:E(X)=1100.1+1200.
8、2+1250.4+1300.1+1350.2=125, E(Y)=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125, D(X)=0.1(110-125)2+0.2(120-125)2+0.4(125-125)2 +0.1(130-125)2+0.2(135-125)2=50, D(Y)=0.1(100-125)2+0.2(115-125)2+0.4(125-125)2+ 0.1(130-125)2+0.2(145-125)2=165. 由于E(X)=E(Y)120,而D(X)D(Y), 故甲厂的材料稳定性较好. 离散型随机变量的均值与方差的综合离散型随机变量的均值与
9、方差的综合 典例如图,左边为国外的著名数学家,右边为国籍,且4位数学家的国 籍均不相同,老师为了激发学生了解数学史的热情,在班内进行数 学家和其国籍的连线游戏,参加连线的同学每连对一个得1分,连错 得0分. 高斯法国 笛卡尔 挪威 阿贝尔 英国 牛顿德国 假定某学生对这些数学家没有了解,只是随机地连线,试求该学生 得分X的分布列、均值和方差. 解:该学生连线的情况有都连错、连对一个、连对两个、连对四个, 故其得分X的可能取值为0,1,2,4. 方法点睛 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤: 第1步,确定随机变量的所有可能值; 第2步,求每一个可能值所对应的概率; 第3步,列出离散型随机
10、变量的分布列; 第4步,求均值和方差. 跟踪训练小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排 球队.游戏规则为:以O为起点,从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个 点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X的分布列、均值和方差. (2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2时,有2种情 形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形. 所以X的分布列为 1.已知随机变量满足P(=1)=0.3,P(=2)=0.7,则E()和D(
11、)的值分 别为() A.0.6和0.7B.1.7和0.09 C.0.3和0.7D.1.7和0.21 解析:E()=10.3+20.7=1.7,D()=(1-1.7)20.3+(2-1.7)2 0.7=0.21. 答案:D 2.(2020西安高三检测)若随机变量的分布列如下,其中m(0,1),则 下列结论正确的是() 01 Pmn A.E()=m,D()=n3 B.E()=m,D()=n2 C.E()=1-m,D()=m-m2 D.E()=1-m,D()=m2 解析:依题意,n=1-m,则E()=0m+1n=n=1-m, D()=0-(1-m)2m+1-(1-m)2(1-m)=m-m2. 答案:C 3.(2020浙江高三期末)已知随机变量X的分布列是 答案:A 4.编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名学 生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是,求E()和D().
