1、高考真题 （2019全国 II 卷（文） ）若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则 p= A2 B3 C4 D8 【解析】因为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点(,0) 2 p 是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，所以 2 3() 2 p pp， 解得8p ，故选 D 【答案】D （2019全国 III 卷（文） ）设 12 FF，为椭圆 22 :+1 3620 xy C的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若 12 MF F为等腰三角形，则M的坐标为_. 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc ， 112 2
2、8MFFFc 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy，则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy ， 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ，解得 0 15y ， 2 2 0 15 1 3620 x ，解得 0 3x （ 0 3x 舍去） ， M的坐标为3, 15 【答案】3, 15 （2019全国 II 卷（文） ）已知 12 ,F F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐 标原点 （1）若 2 POFV为等边三角形，求 C 的离心率； （2）如果存在点 P，使得 12
3、PFPF，且 12 F PF的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围. 【答案标记】【答案标记】 【解析】 （1）连结 1 PF，由 2 POFV为等边三角形可知：在 12 F PF中， 12 90FPF ， 2 PFc， 1 3PFc， 于是 12 23aPFPFcc， 故椭圆 C 的离心率为 2 3 1 13 c e a ； （2）由题意可知，满足条件的点( , )P x y存在，当且仅当 1 216 2 yc，1 yy xc xc ， 22 22 1 xy ab ， 即16c y 222 xyc 22 22 1 xy ab 由以及 222 abc 得 4 2 2 b y c ，又
4、由知 2 2 2 16 y c ，故4b ； 由得 2 222 2 () a xcb c ，所以 22 cb ，从而 2222 232abcb ，故 4 2a ； 当4b ， 4 2a 时，存在满足条件的点P. 故4b ，a 的取值范围为4 2,). 【答案】 （1） 31e ； （2）4b ，a 的取值范围为4 2,). （2019天津卷（文） ）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为 B已知 3 | 2|OAOB（O为原点）. （）求椭圆的离心率； （）设经过点F且斜率为 3 4 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆
5、 心C在直线4x 上，且OCAP，求椭圆的方程. 【答案标记】【答案标记】 【解析】 （I）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有 32ab ， 又由 222 abc ，消去b得 222 3 () 2 aac，解得 1 2 c a ， 所以，椭圆的离心率为 1 2 . （II）解：由（I）知，2 ,3ac bc，故椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc ， 由题意，(,0)Fc，则直线l的方程为 3 () 4 yxc， 点P的坐标满足 22 22 1 43 3 () 4 xy cc yxc ，消去y并化简，得到 22 76130 xcxc ， 解得 12 13 , 7 c xc x ， 代入到l的方程，解得 12 39 , 214 yc yc ， 因为点P在x轴的上方，所以 3 ( ,) 2 P cc， 由圆心在直线4x 上，可设(4, )Ct，因为OCAP， 且由（I）知( 2 ,0)Ac，故 3 2 42 c t cc ，解得2t ， 因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为 2， 又由圆C与l相切，得 2 3 (4)2 4 2 3 1 ( ) 4 c ，解得2c ， 所以椭圆的方程为： 22 1 1612 xy . 【答案】 （I） 1 2 ； （II） 22 1 1612 xy .
