1、数列与中国文化 1.(2019山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年， 英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧 洲.1874 年， 英国数学家马西森指出此法复合 1801 年由高斯得到的关于同余式解 法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是 一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2 018 这 2 018 个数中， 能被 3 除余 1 且被 7 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则 此数列共有() A.98 项B.97 项C.96 项D.95 项 解析能被 3 除余 1 且被
2、 7 除余 1 的数就只能是被 21 除余 1 的数，故 an21n 20，由 1an2 018 得 1n97，又 nN*，故此数列共有 97 项. 答案B 2.(数学文化)著名的斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，满足 a1a21， an2an1an，nN*，那么 1a3a5a7a9a2 017是斐波那契数列的第 _项. 解析1a3a5a7a9a2 017a2a3a5a7a9a2 017a4a5 a7a9a2 017a6a7a9a2 017a8a9a2 017a2 016a2 017 a2 018，即为第 2 018 项. 答案2 018 3.(2019北京海淀区质检)中国古诗词中，有
3、一道“八子分绵”的数学名题：“九 百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是： 把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的 比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是() A.174 斤B.184 斤C.191 斤D.201 斤 解析用 a1，a2，a8表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列 a1，a2，a8是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996， 8a187 2 17996，解之得 a165. a865717184，即第 8 个儿子分到的绵是 184 斤. 答案B 4.(2018
4、北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法 计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度 音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与 它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音 的频率为() A. 3 2fB. 3 22fC. 12 25fD. 12 27f 解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为122的等比数列， 设此数列为an，则 a8 12 27f，即第八个单音的频率为 12 27f. 答案D 5.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “远
5、望巍巍塔 七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的 顶层共有灯() A.1 盏B.3 盏C.5 盏D.9 盏 解析设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，则依题意 S7 381，公比 q2.a1（12 7） 12 381，解得 a13. 答案B 6. 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付 38 元；第二种，第一天付 4 元，第二天付 8 元，第三天付 12 元，依此类推；第三种，第一天付 0.4 元，以后每天比
6、前一天翻一番(即增加 1 倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？ 解设该学生工作 n 天，每天领工资 an元，共领工资 Sn元，则第一种方案 an(1) 38，Sn(1)38n； 第二种方案 an(2)4n，Sn(2)4(123n)2n22n； 第三种方案 an(3)0.42n 1，Sn(3)0.4（12n） 12 0.4(2n1). 令 Sn(1)Sn(2)，即 38n2n22n，解得 n18，即小于或等于 18 天时，第一种方 案比第二种方案报酬高(18 天时一样高). 令 Sn(1)Sn(3)，即 38n0.4(2n1)， 利用计算器计算得小于或等于 9 天时，第一种方案报酬高， 所以少于
7、 10 天时，选择第一种方案. 比较第二、第三种方案，S10(2)220，S10(3)409.2，S10(3)S10(2)，Sn(3)Sn(2). 所以等于或多于 10 天时，选择第三种方案. 7.某厂 2019 年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐 月增加值相同.已知 1 月份的投资额与利润值相等， 12 月份投资额与利润值相等， 则全年的总利润与总投资 N 的大小关系是() A.NB.N C.ND.不确定 解析投入资金逐月值构成等比数列bn，利润逐月值构成等差数列an，等比 数列bn可以看成关于 n 的指数式函数，它是凹函数，等差数列an可以看成关 于 n 的一次式函
8、数.由于 a1b1，a12b12，相当于图象有两个交点，且两交点间 指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润a1a2a12比 总投资 Nb1b2b12大，故选 A. 答案A 8(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红 光点点倍加增， 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是： 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯() A1 盏B3 盏 C5 盏D9 盏 解析：选 B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前 7 项的和 S7381， 公比 q2，依题意，得 S7a112
9、7 12 381，解得 a13. 9数学建模一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 KB，然后每 3 分钟自身复 制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存 64 MB(1 MB210KB) 解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且 a12，q2， an2n，2n64210216，n16，即病毒共复制了 16 次 所需时间为 16348(分钟) 答案：48 10.(1)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不 为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为： “有一个人
10、走了 378 里路， 第一天健步行走， 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一 半，走了 6 天后到达目的地”则此人第 4 天和第 5 天共走了() A60 里B48 里 C36 里D24 里 (2)(2019北京东城区模拟)为了观看 2022 年的冬奥会，小明打算从 2018 年起，每年的 1 月 1 日到银行存入 a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期 存款本息均自动转为新一年的定期到 2022 年的 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利 息全部取出，则可取回_元 解析(1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1 2的等比数列a n， 设等比数列的首项为 a1，则a 1 1 1 26 11 2 378， 解得 a1192，所以 a41921 824，a 5241 212， 则 a4a5241236，即此人第 4 天和第 5 天共走了 36 里 (2)2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为 a(1p)4a(1p)3a(1p)2a(1p) a1p11p 4 11p a p(1p) 5(1p) a p(1p) 51p 答案(1)C(2)a p(1p) 51p
