1、公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 专题专题 7.2 外接球和内切球解析版外接球和内切球解析版 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分
2、享更多资料，下载 Word 版本！ 考向一考向一 高过外心高过外心 【例 1】 （2019湖北高考模拟（文） ）已知正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球 面上，2PAAB，则球O的表面积为（） A2B4C8D16 【答案】C 【解析】正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，PAAB2， 连结AC，BD，交于点O，连结PO， 则PO面ABCD，OAOBOCOD 22 11 222 22 AC， OP 22 422PBOB ，O是球心，球O的半径r 2 ， 球O的表面积为S4r 28故选：C 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分
3、高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 【举一反三】 1 （2019广东高考模拟（文） ）在三棱锥PABC中.2PAPBPC.1ABAC， 3BC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A8B 16 3 C 4 3 D 32 3 27 【答案】B 【解析】因为1,3ABACBC，由余弦定理可求得 2 3 BAC ， 再由正弦定理可求得ABC的外接圆的半径 1 2 2sin 3 BC r ， 因为2PAPBPC，所以 P 在底面上的射影为ABC的外
4、心 D，且 3PD ， 设其外接球的半径为R，则有 222 1( 3)RR，解得 2 3 3 R ， 所以其表面积为 2 416 44 33 SR ，故选 B. 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 考向二考向二 高不过心高不过心 【例 2】 （1） （2019天津高考模拟（理） ）长方体 的 8 个顶点在同一个球面上，且，则球的表面积为_ （2）
5、 （2019湖北高考模拟（文） ）已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为 3，外接球表 面积为16，则正三棱柱 111 ABCABC的体积为（） A. 3 3 4 B. 3 3 2 C. 9 3 4 D. 9 3 2 （3） （2019山东高考模拟（文） ）已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点， 四边形ABCD为梯形，/ /ADBC，2ABDCAD，4BCPA，PA 面ABCD， 则球O的体积为（） A 64 2 3 B16 2 3 C16 2D16 【答案】 （1） （2）D（3）A 【解析】 （1）因为长方体的 8 个顶点在同一个球 面上， 公众号公众号： 渝城高中数学渝城
6、高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 所以球的直径等于长方体的对角线长， 设球的半径为，因为， 所以，球的表面积为，故答案. （2）正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为 3,故底面的外接圆的半径为： 0 3 ,23. sin60 rrr外接球表面积为16 2 42RR 外接球的球心在上下两个底面的外心 MN 的连线的中点上，记为 O 点，如图所示 在三角形 1 OMB中，
7、222 1111 3,2MBrOBRMBOMOB 解得1,2OMMNh故棱柱的体积为： 139 3 323. 222 VSh 故答案 为：D. （3）取BC中点E，连接,AE DE BD / /ADBC且 1 2 ADBCEC四边形ADCE为平行四边形 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ AEDC，又 1 2 DCBC 1 2 DEBC AEDE
8、BEEC E为四边形ABCD的外接圆圆心 设O为外接球的球心，由球的性质可知OE 平面ABCD 作OFPA，垂足为F四边形AEOF为矩形，2OFAE 设AFx，OPOAR 则 2 2 444xx，解得：2x 442 2R 球O的体积： 3 464 2 33 VR 本题正确选项：A 【举一反三】 1 （2019新疆高考模拟（理） ）已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面垂直， 1 2, 4 AABCBAC ，则三棱柱 111 ABCABC外接球的体积为（） A12 3B8 3C6 3D4 3 【答案】D 【解析】设ABC的外接圆圆心为 1 O， 111 ABC的外接圆圆心为 2 O， 球的
9、球心为O，因为三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面垂直， 所以球的球心为 12 OO的中点，且直线 12 OO与上、下底面垂直，且 1 2 22 2 sin 4 OC ， 1 1OO ，所以在 1O Rt OC中， 123OC ，即球的半径为 3，所以球的体积为 3 4 4 3 3 R，故选 D。 2 （2019遵义航天高级中学高考模拟（文） ）四棱锥PABCD的底面为正方形ABCD， PA 底面ABCD，2AB ， 若该四棱锥的所有顶点都在体积为 9 2 的同一球面上， 则PA 的长为（ ） A3B2C1D 1 2 【答案】C 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 6083969
10、16608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 【解析】 连接 AC、BD 交于点 E，取 PC 的中点 O，连接 OE，可得 OEPA, OE底面 ABCD，可得 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即 O 为球心，设球半径为 R， 可得 2 11 8 22 RPCPA，可得 3 2 419 8 322 PA ，解得 PA=1,故选 C. 3 （2019四川高考模拟（理） ）四棱锥ABCDE的各顶点都在同一球面上，A
11、B 底面 BCDE，底面BCDE为梯形，60BCD ，且 2ABCBBEED，则此球的表面 积等于（） A25B24C20D16 【答案】C 【解析】如图， 由已知可得，底面四边形BCDE为等腰梯形， 设底面外接圆的圆心为G，连接BG，则 2 24 sin30 BG ， 2BG，又2AB ，设四棱锥外接球的球心为O， 则 5OA ，即四棱锥外接球的半径为 5 此球的表面积等于 2 4520故选：C 考向三考向三 找高作心找高作心 【例 3】（1）（2019 江西高考模拟 （文） ） 在三棱锥中， 平面平面， 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中
12、数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为 _ （2） （2019湖南高考模拟（文） ）在四面体ABCD中，ABD与BDC都是边长为 2 的 等边三角形，且平面ABD 平面BDC，则该四面体外接球的体积为_ 【答案】 （1）(2) 20 15 27 【解析】 （1） 如图所示，作中点，连接、，在上作三角形的中心，过点作 平面的垂线，在垂线上取一点，使得。 因为三棱锥底面是一个边长为的
13、等边三角形，为三角形的中心， 所以三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂线上， 因为，、两点在三棱锥的外接球的球面上，所以点即为球心， 因为平面平面，为中点，所以平面 ， ， 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 设球的半径为，则有， ，即 ，解得， 故表面积为。 (2)取BDC的外心为 1 O，设O为球心，连接 1 OO，则 1 OO 平面BDC，
14、取BD的中点 M， 连接AM， 1 O M， 过O做OGAM于点G， 易知四边形 1 OO MG为矩形， 连接OA， OC，设OAR， 1 OOMGh.连接MC，则 1 O，M，C三点共线，易知 3MAMC ，所以 1 3 3 OGMO ， 1 2 3 3 CO .在Rt AGO和 1 Rt OOC中， 222 GAGOOA ， 222 11 OCOOOC，即 2 2 2 3 3 3 hR ， 2 22 2 3 3 hR ，所以 3 3 h ， 2 5 3 R ，得 15 3 R .所以 3 420 15 = 327 O VR 球 . 【举一反三】 1 （2019湖南高考模拟（文） ）已知四棱
15、锥SABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的 各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于_. 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 【答案】 101 5 【解析】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图， 因为平面SAB 平面ABCD，连接 AC,BD 交于 E，过 E 作面 ABCD 的垂线与过三角形 ABS 的外心作面 ABS 的垂线交于 O，
16、即为球心，连接 AO 即为半径， 令 1 r为SAB外接圆半径，在三角形 SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则 cos 2 3 SBA, sin 5 3 SBA ， 1 39 2 sin5 r SBA ， 1 9 2 5 r ，又 OF=1 2 AD , 可得 222 1 RrOF，计算得， 2 81101 1 2020 R ，所以 2 101 4 5 SR. 故答案为 101 . 5 3（2019河南高考模拟（理） ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几 何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（） 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 6
17、08396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ A19 57 54 B 22 66 54 C 19 3 D 22 3 【答案】A 【解析】何体是底面为矩形，高为 3的四棱锥，且侧面 PAB 垂直底面 ABCD，如图所示： 还原长方体的长是 2，宽为 1，高为 3 设四棱锥的外接球的球心为 O，则过 O 作 OM 垂直平面 PAB，M 为三角形 PAB 的外心，作 ON 垂直平面 ABCD，则 N 为矩形
18、ABCD 的对角线交点， 113 ,3 233 OMON 所以外接球的半径 22 22222 3121919 ()() 321212 RONANR 所以外接球的体积 3 419 57 354 VR 故选 A 考向四考向四球心在边上球心在边上 【例 4】（2019 福建高考模拟 （文） ） 在三棱锥PABC中， 22 2ACAB ， 10BC ， 90APC ，平面ABC 平面PAC，则三棱锥PABC外接球的表面积为（） A4B5C8D10 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916
19、608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 【答案】D 【解析】 过 P 点作PNAC，结合平面 ABC平面 PAC 可知，PNABC 平面，故 PNAB，结合ABAC可知，ABPAC 平面，所以ABPC，结合PCPA 所以PCPAB 平面,所以 0 90CPB ，故该外接球的半径等于 10 22 BC ，所以球的 表面积为 2 2 10 =4410 2 SR ，故选 D。 【举一反三】 1（2019 横峰中学高考模拟 （文） ） 已知三棱锥ASBC的体积为 2 3 3 ， 各顶点均在以SC 为直径球面上，
20、2,2ABACBC，则这个球的表面积为_。 【答案】16 【解析】由题意，设球的直径2 , ,SCR A B是该球面上的两点，如图所示， 因为2,2ABACBC，所以ABC为直角三角形， 设三棱锥SABC的高为h，则 112 3 22 323 h ，解得 2 3h ， 取BC的中点M，连接OM，根据球的性质，可得OM 平面ABC， 所以 3OM , 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：60839691660839691
21、6分享更多资料，下载 Word 版本！ 在直角OMC中， 2222 ( 3)12OCOMMC , 即球的半径为2R ， 所以球的表面积为 22 44216SR . 考向五考向五 嵌套模型嵌套模型 【例 5】 （1） （2019辽宁高考模拟（文） ）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等， 其外接球的表面积是4，则其侧棱长为（） A. 3 3 B. 2 3 3 C. 2 2 3 D. 2 3 （2） （2019广东高考模拟（理） ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体 积是（） A 2 3 B 3 2 C3D4 3 【答案】 （1）B（2）B 【解析】 （1）三棱锥的三条侧棱两两
22、互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接 球，因为外接球的表面积是4，所以球的半径为 1， 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 所以正方体的对角线的长为 2，设侧棱长为 a,则 222 22 2,3 33 aaaa . 所以侧棱长为 2 3 3 故选：B （2）根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的 故：该几
23、何体的外接球为正方体的外接球， 所以：球的半径 222 1113 22 r ，则： 3 433 322 V .故选：B 【举一反三】 1 （2019山东高考模拟（理） ）某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几 何体的外接球的表面积是（） A.B. C.D. 【答案】A 【解析】由三视图可得该几何体为如下图（一）所示三棱锥， 其中， 因为的中点到所有顶点的距离相等，所以为外接球球心. 因为所以外接球半径为：，则表面积为：.选 A. 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 60839691
24、6608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 2 （2019天津高考模拟（文） ）已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB 平 面BCD，2ABBDCD，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面 积为（） A3B2 3C4 3D12 【答案】D 【解析】2BDCD且BCD为直角三角形BDCD 又AB 平面BCD，CD 平面BCDCDAB CD平面ABD由此可将四面体ABCD放入边长为2的正方体中，如下图所示： 正方体的外接球即为该四面体的外接球O 正方体外接球半径为体对角线的一半，即 22
25、2 1 2223 2 R 球O的表面积： 2 412SR本题正确选项：D 考向六考向六最值最值 【例 6】 （2019广东高考模拟（文） ）在三棱锥PABC中，PA 平面ABC， 2,30 APC SABC ，则三棱锥PABC的外接球体积的最小值为 () A4B 4 3 C64D 3 32 【答案】D 【解析】如图所示，设ACx，由APC的面积为 2，得 4 PA x ， 因为 0 30ABC ，ABC外接圆的半径rx， 因为PA 平面ABC，且 4 PA x ， 所以O到平面ABC的距离为 12 2 dPA x ， 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396
26、916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 设球O的半径为 R，则 222 2 4 2 22Rrdx x ， 当且仅当 2x 时等号成立， 所以三棱锥PABC的外接球的体积的最小值为 3 432 2 33 ，故选 D. 【举一反三】 1 （2019广西高考模拟（理） ）已知A B C， ，三点都在表面积为100的球O的表面上， 若4 360ABACB，.则球内的三棱锥OABC的体积的最大值为（） A8 3B10 3C12 3D1
27、6 3 【答案】C 【解析】 2 41005RR， ，在ABC中，24 sin AB rr ACB ，球心O到平 面ABC的距离 22 3dRr ，设ABC的角ABC， ，所对的边分别为abc， ，由 222 2coscababC ， 得 22 482ababababab （当且仅当ab时取 “=” ） ， 即48ab， 13 sin12 3 24 ABC SabCab ， 故三棱锥OABC体积的最大值为 11 12 3312 3 33 ABC Sd 最大 ，选 C. 2 （2018河南信阳高中高考模拟（理） ）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图 的长、宽、高分别为2，a，b，且 5
28、20,0 2 abab，则此三棱锥外接球表面积的 最小值为（） 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ A. 17 4 B. 21 4 C.4D.5 【答案】B 【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体 1111 ABCDABC D的四 个顶点，即为三棱锥 11 A CB D，且长方体 1111 ABCDABC D的长、宽、高分别为
29、2, , a b， 此三棱锥的外接球即为长方体 1111 ABCDABC D的外接球， 且球半径为 22222 24 22 abab R ， 三棱锥外接球表面积为 2 22 2 22 421 4451 24 ab aba ， 当且仅当1a ， 1 2 b 时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为 21 4 故选 B 3 （2019东北育才学校高考模拟（理） ）已知三棱锥PABC中，侧棱 2,5,3PAPBPC,当侧面积最大时，三棱锥PABC的外接球体积为_ 【答案】 32 3 【解析】 三棱锥PABC的侧面积为： 103 23 5 sinsinsin 222 APBAPCBPC APB，APC，B
30、PC相互之间没有影响 当上述三个角均为直角时，三棱锥PABC的侧面积最大 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 此时PA，PB，PC两两互相垂直 以PA，PB，PC为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥PABC的外接球 外接球半径 1 2592 2 R 三棱锥PABC的外接球的体积： 3 432 33 VR本题正确结果： 32 3 考向七考向七 内
31、切球内切球 【例 7】 （2018全国高考模拟（理） ）如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积 为（ ） A 25 4 B 25 16 C 1125 4 D 1125 16 【答案】D 【解析】 把此三棱锥嵌入长宽高分别为：20 2416， ，的长方体 1111 ABCDABC D中 三棱锥BKLJ即为所求的三棱锥 其中 1 9KC ， 11 12C LLB， 1 16B B 11 11 KCLB C LB B ，则 11 KC LLB B ，90KLB 故可求得三棱锥各面面积分别为： 150 BKL S，150 JKL S，250 JKB S，250 JLB S 故表面积为 800S
32、表 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 三棱锥体积 1 V1000 3 BKL SJK 设内切球半径为r，则 315 4 V r S 表 故三棱锥内切球体积 3 41125 316 Vr 球 故选D 【举一反三】 1 （2015四川高考模拟（理） ）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切 球的表面积为 1 S，外接球的表面积为 2 S
33、，则 1 2 S S （ ） A.1:2B.1:3C.1:4D.1:8 【答案】C 【解析】 如图： 由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r 则： 2 1 2 2 lRr， 2 1 22 2 r Rr ，解得2Rr 故30ADC，90DCB 则 1 2 BC BD ， 1 2 r r 内 外 故 1 2 1 4 S S 故选C 2 （2019河北高考模拟（文） ）一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为 4 ， 则圆锥的内切球的表面积为() A8B 2 4(22) 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分
34、享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ C 2 4(22)D 2 32(22) 49 【答案】B 【解析】由题意，作出圆锥截面图，如图所示， 因为母线长为 2，圆锥的母线与底面的夹角为 4 ，所以圆锥底面半径与高均为 2， 设内切球的半径为r，则利用圆锥的轴截面， 根据等面积法，可得 11 2 22(222 2) 22 r，解得 22r ， 所以该圆锥内切球的表面积为 22 4(22)4(22)，故选 B. 3 （2019东北育才学校高考模拟（理） ）将半径
35、为 3，圆心角为 2 3 的扇形围成一个圆锥， 则该圆锥的内切球的表面积为 （） AB2C3D4 【答案】B 【解析】将半径为 3，圆心角为 2 3 的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为R， 则有 2 2R3 3 ，所以R1， 设圆锥的内切球半径为r， 结合圆锥和球的特征，可知：内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h，因为圆锥母 线长为 3，所以h 9 12 2 ， 所以有 3 rR hr ，解得 2 r 2 ，因此内切球的表面积为 2 S42r .故选 B 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q
36、 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 1 （2019云南省玉溪第一中学高考模拟（文） ）三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面， 且 1 ,2ABBC ABBCAA,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面 积为（） A48B32C12D8 【答案】C 【解析】由于底面是直角三角形，其外心是斜边的中点，设上下底面的外心为 1 ,D D，由于 三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面，故球心O位于 1 DD的中点处，画出图像如下图所 示.设球的半径为r，则
37、 22 1 23rOCODCD ，故球的体积为 2 412r ，故选 C. 2 （2019山东高考模拟（文） ）中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉 时期的数学成就， 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD ，1ED ，若鳖牖PADE的体 积为 l，则阳马PABCD的外接球的表面积等于（） 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 6
38、08396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ A17B18 C19D20 【答案】A 【解析】由题意，因为PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD ，1ED ， 又由鳖牖PADE的体积为1，所以 111 2 11 332 p AEDAED VPA SPA ， 解得3PA，而阳马PABCD的外接球的直径是以,AD AB AP为宽，长，高的长方体的 体对角线，所以 2222 244917RADABAP（） ，即 2 417R ， 球的表面积为 2 417R 故选：A 3 （2019山西高
39、考模拟（文） ）已知正方形ABCD的边长为2,CD边的中点为E，现将 ,ADEBCE分别沿,AE BE折起， 使得,C D两点重合为一点记为P， 则四面体P ABE 外接球的表面积是（） A 17 12 B 19 12 C 19 3 D 17 3 【答案】C 【解析】如图,PEPA PEPBPE平面PAB,1,PEPAB是边长为2的等边三 角形. 设H是 ABP 的中心，OH 平面,PAB O是外接球球心，则 11 22 OHPE. 2 3 3 PH ，则 2222 19 12 ROPOHPH， 故四面体PABE外接球的表面积是 2 19 4 3 SR . 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中
40、数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 4 （2019湖南师大附中高考模拟（理） ）一个几何体的三视图如图所示，其轴截面的面积为 6，其中正视图与侧视图均为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积为 （） A. 65 3 B. 65 4 C. 65 12 D. 【答案】B 【解析】该几何体为一个圆台，上下底面圆的半径分别为1,2， 设其高为h，由轴截面的面积为 6，得 24 6 2 h （）
41、 ，解得2h ， 设圆台外接球的半径为 R， 由题意得 2222 122RR ，解得 2 65 16 R ， 外接球的表面积为 2 65 4 4 SR，故选 B. 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 5 （2019河北高考模拟（理） ）已知、是球表面上的点，平面， ，则球的表面积为（） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】平面， 四面体的外接球
42、半径等于以长宽高分别，三边长的长方体的外接球 的半径 ，即 球的表面积故选：C 6 （2019四川高考模拟（文） ）如图，边长为 的正方形中，点分别是的 中点，将，分别沿，折起，使得、三点重 合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为() A.B.C.D. 【答案】B 【解析】由题意可知是等腰直角三角形，且平面 三棱锥的底面扩展为边长为 1 的正方形， 然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为： 球的半径为， 球的表面积为故选： 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 6083969166083969
43、16高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 7 （2019山东高考模拟（文） ）某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都 在球的球面上，则球的表面积是： （） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】由三视图还原几何体如图， 可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，侧棱长为 2 把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为 该三棱柱外接球的半径为：则球 O 的表面积是：412故选：C 8 （2019山
44、东高考模拟 （理） ） 已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上， 且，且三棱锥的体积为，则球的体 积为（） A.B.C.D. 【答案】D 【解析】由 O 为球心，OAOBOCR， 可得 O 在底面 ABC 的射影为ABC 的外心， 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ AB6，可得ABC 为 AC 斜边的直角三角形， O 在底面 ABC 的射影为斜边
45、 AC 的中点 M， 可得OMABBCOM124，解得 OM2， R2OM2+AM24+1216， 即R4， 球O的体积为R364 故 选：D 9 （2019山东省郓城第一中学高考模拟（文） ）一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱 长为 2，则该四面体外接球的表面积为（） A6B12C32D48 【答案】B 【解析】由题得几何体原图如图所示， 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分
46、享更多资料，下载 Word 版本！ 其中 SA平面 ABC,BC平面 SAB,SA=AB=BC=2, 所以 AC=2 2,2 3SC , 设 SC 中点为 O,则在直角三角形 SAC 中，OA=OC=OS= 3, 在直角三角形 SBC 中，OB= 1 3 2 SC , 所以 OA=OC=OS=OB= 3, 所以点 O 是四面体的外接球球心，且球的半径为 3. 所以四面体外接球的表面积为 2 43 =12 .故选：B 10（2019陕西高考模拟 （理） ） 已知在三棱锥PABC中，1PAPBBC， 2AB ， ABBC，平面PAB 平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 （）
47、 A 3 2 B 2 3 C2D3 【答案】D 【解析】根据题意,AC为截面圆的直径, 3AC 设球心到平面ABC的距离为d,球的半径为R。 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 1,2PAPBAB=PAPB 平面PAB 平面ABC， P到平面ABC的距离为 2 2 由勾股定理可得 22 2 22 312 222 Rdd 骣骣 骣 琪琪 琪=+=+
48、- 琪 琪琪 桫 桫桫 2 3 0, 4 dR=球的表面积为 2 43R 故选 D。 11 （2019安徽高考模拟（文） ）已知三棱锥DABC的体积为 6，在ABC中，2AB ， 4AC ，60BAC，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O 的表面积等于（） A 32 3 B 64 3 C43D42 【答案】C 【解析】在ABC中，由余弦定理得 22 2cos2 3BCABACAB ACBAC 222 +ABBCACABC 是直角三角形 设三棱锥DABC的高为h 则三棱锥体积 11 2 2 36 32 Vh ，解得 3 3h 取AC边的中点为 1 O，则 1 O为ABC外接圆
49、圆心 连接 1 OO，则 1 OO 平面ABC，如下图所示： 则 1 3 3 22 h OO 则 2 22 2 3 343 2 2222 hAC ROA 球O的表面积 2 443SR 本题正确选项：C 公众号公众号： 渝城高中数学渝城高中数学会会 608396916608396916高中数学资料分高中数学资料分享享 Q QQ Q 群群： 608396916608396916 欢迎关注微信公众号加入（QQ 群） ：608396916608396916分享更多资料，下载 Word 版本！ 12 （2019江西高考模拟（文） ）已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的 所有母线和底面都相切
50、，则球与圆锥的表面积之比为（） A 2 3 B 4 9 C 2 6 9 D 8 27 【答案】B 【解析】设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r， 由题意知， 圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形， 球的大圆是该该等边三角形的内切圆， 所以 r=R，S球的表面积= 2 22 34 44 33 rRR ， S圆锥表面积 22 23RRRR . 所以球与圆锥的表面积之比为 2 2 4 4 3 39 R R 故选：B 【点睛】 13 （2019四川高考模拟）已知三棱锥 P-ABC 中，PA=4，AB=AC=2 3，BC=6，PA面 ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（） A16B32 C64D
