1、课时作业课时作业 37数列的热点问题数列的热点问题 一、选择题 1(2021湖南常德模拟)某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防规 定每人每天早晚八时各服一次， 现知每次药量为 220 毫克， 若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 60%. 某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留(D) A220 毫克B308 毫克 C123.2 毫克D343.2 毫克 解析：设第 n 次服药后，药在体内的残留量为 an毫克，则 a1220，a2220a1(160%)2201.4 308，a3220a2(160%)343.2. 2(2021湖北四地
2、七校联考)据有关文献记载：我国古代一座 9 层塔共挂了 126 盏灯，且相邻两层中的 下一层灯数比上一层灯数都多 n(n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的 13 倍，则塔的底层共有灯(C) A39 盏B42 盏C26 盏D13 盏 解析：设顶层有 x 盏灯，则底层有(x8n)盏，故 x8n13x,8n13xx12x，x2 3n.所以 x(xn) (x2n)(x3n)(x8n)126,9x(1238)n126,9x36n126，故 92 3n36n126， 解得 n3，故 x32 32，所以底层有灯 13226(盏)故选 C. 3(2021河南名校联考)已知数列an是以 1 为首项，2 为公差的等
3、差数列，bn是以 1 为首项，2 为公 比的等比数列设 cnabn，Tnc1c2cn(nN*)，则当 Tn2 020 时，n 的最大值是(B) A8B9 C10D11 解析：an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，an2n1.bn是以 1 为首项，2 为公比的等比 数列， bn2n 1.T nc1c2cnab1ab2abna1a2a4a2n1(211)(221) (241)(22n 11)2(1242n1)n212n 12 n2n 1n2.T n2 020，2n 1 n22 020，解得 n9.则当 Tn0，| 2 的部 分图象如图所示，Sn为数列an的前 n 项和，则 S2 019的值为
4、(B) A1B0 C.1 2 D1 解析：由函数图象可知T 4 7 12 3 4，即 T 2 2.将点 7 12，1的坐标代入 f(x)的解析式可得 sin 27 1217 6 3 2 2k，kZ， 32k，kZ.又| 2， 3， f(x)sin 2x 3 ， anf n 6 sin n 3 3 .2 3 6， an是以 6 为最小正周期的周期数列 又 a1sin2 3 3 2 ，a2sin0，a3sin4 3 3 2 ，a4sin5 3 3 2 ，a5sin20，a6sin7 3 3 2 ，S60， S2 019336S6a1a2a30. 7(2021湖北联考)设数列an的前 n 项和为 S
5、n，且 a11，anSn n 2(n1)(nN*)，则 nSn2n2的最 小值是(A) A1B2 C.2 3 D3 解析： anSn n 2(n1)， 当 n2 时， SnSn1Sn n 2(n1)， n1Sn n Sn12(n1)， (n1)Sn nSn12n(n1)，Sn n Sn1 n12.又 S1 1 a11， 数列 Sn n 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，Sn n 12(n1)2n1，Sn2n2n，nSn2n2 2n3n22n22n33n2.令 y2x33x2， x1， 则 y6x26x6x(x1)0， 且 y不恒为 0， 数列nSn 2n2是一个递增数列，当 n1 时，n
6、Sn2n2有最小值 121.故选 A. 8 (2021东北三省四市模拟)已知定义在0， )上的函数 f(x)满足 f(x)1 2f(x2)， 且当 x0,2)时， f(x) x22x.设 f(x)在2n2,2n)上的最大值为 an(nN*)， 且数列an的前 n 项的和为 Sn.若对于任意正整数 n， 不等式 k(Sn1)2n9 恒成立，则实数 k 的取值范围为(C) A0，)B. 1 32， C. 3 64，D. 7 64， 解析：当 2n2x2n 时，0 x22n0，解得 n11 2 ，令112n 2n 1 11 2 ，考虑到 nN*，故有当 n5 时，cn单调递增，当 n6 时，cn单调
7、递减， 又 c5c6，故数列cn的最大值为 c6 3 26 3 64，所以 k 3 64. 二、填空题 9(2021揭阳模拟)已知公差不为 0 的等差数列an中，a2a416，a11，a21，a41 成等比数列， 把各项按如图所示排列： a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9 a10a11a12a13a14a15a16 a17a18a19a20a21a22a23a24a25 则从上到下第 10 行，从左到右的第 11 个数的值为 275. 解析：设数列an的首项为 a1，公差为 d，由题意可得 a1da13d16， a1d12a11a13d1， 解得 d3， a12， 则数列an的通项公式为
8、 ana1(n1)d3n1.第 10 行第 11 个数为 a92，所求值为 a92 3921275. 10(2021山西晋城一模)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括 在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题现有一货物堆，从上向下查， 第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第 n 层货物的个数为 an，则数列an的通项公式 annn3 2 ，数列 n n2an的前 n 项和 Sn 2n 3n9. 解析：由题意可知 a12，a2a13，a3a24，anan1n1， 累加可得 an234(n1)nn3
9、 2 ， n n2an 2 n2n32 1 n2 1 n3 . Sn2 1 3 1 4 1 4 1 5 1 n2 1 n3 2 1 3 1 n3 2n 3n9. 11 (2021河南驻马店模拟)在数列an中， a11， an0， 曲线 yx3在点(an， a3n)处的切线经过点(an1,0)， 下列四个结论：a22 3；a 31 3； 错误错误!i65 27；数列a n是等比数列其中所有正确结论的编号是 . 解析：y3x2，曲线 yx3在点(an，a3n)处的切线方程为 ya3n3a2n(xan)， 则a3n3a2n(an1an)an0，an12 3a n， 则an是首项为 1，公比为2 3的
10、等比数列，a 22 3，a 34 9， 错误错误!i1 2 3 4 12 3 65 27.故所有正确结论的编号是 . 三、解答题 12(2021北京西城区月考)已知等比数列an满足 a3a210，a1a2a3125. (1)求数列an的通项公式； (2)是否存在正整数 m，使得 1 a1 1 a2 1 am1？若存在，求 m 的最小值；若不存在，请说明理由 解：(1)设等比数列an的公比为 q， 则 a3a2a1q2a1q10， a1a2a3(a1q)3125， 由得 q3，a15 3. 数列an的通项公式为 ana1qn 15 33 n153n2. (2)假设存在正整数 m，使得 1 a1
11、1 a2 1 am1. 由(1)知 an53n 2，1 an 1 5 1 3 n2， 数列 1 an是首项为3 5，公比为 1 3的等比数列， 1 a1 1 a2 1 am 3 5 1 1 3 m 11 3 9 10 1 1 3m1，32 m1，显然不成立 因此不存在正整数 m，使得 1 a1 1 a2 1 am1. 13(2021山东泰安质检)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2a512，S416. (1)求an的通项公式 (2)数列bn满足 bn 1 4Sn1，T n为数列bn的前 n 项和，是否存在正整数 m，k(1mm1， 3m2 4m12m2m， m1， 整理得 2m2m1
12、4m12m20， m1， 解得 1m1 6 2 .又 mN*，m2，k12， 存在 m2，k12 满足题意 14(2021江西九江一模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 An，Bn是圆 x2y2n2上两个动点，且满足 OAn OBn n 2 2 (nN*)， 设 An， Bn到直线 x 3yn(n1)0 的距离之和的最大值为 an.若数列 1 an的前 n 项和 Snm 恒成立，则实数 m 的取值范围是(B) A. 3 4，B. 3 4， C. 3 2，D. 3 2， 解析：由OAn OBn n 2 2 ，得 nncosAnOBnn 2 2 ，所以AnOBn120.设线段 AnBn的中点为
13、Cn，则 |OCn|n 2，所以 C n在圆 C：x2y2n 2 4 上，点 An，Bn到直线 x 3yn(n1)0 的距离之和等于点 Cn到该 直线的距离的两倍点 Cn到该直线距离的最大值为圆心 C 到该直线的距离与圆 C 的半径之和，而圆 C：x2 y2n 2 4 的圆心 C(0,0)到直线 x 3yn(n1)0 的距离为 d |nn1| 12 32 nn1 2 ， 所以 an2 nn1 2 n 2 n2 2n ， 所 以 1 an 1 n22n 1 2 1 n 1 n2， 所 以Sn 1 a1 1 a2 1 a3 1 an 1 2 11 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 n 1 n
14、2 1 2 11 2 1 n1 1 n2 3 4 1 2 1 n1 1 n2 3 4，所以 m 3 4. 15(2021山东东营月考)已知常数 a0，数列an的前 n 项和为 Sn，a11，anSn n a(n1) (1)求数列an的通项公式； (2)若 bn3n(1)nan，且bn是递增数列，求实数 a 的取值范围； (3)若 a1 2，c n an an2 016，对于任意给定的正整数 k，是否存在正整数 p，q，使得 c kcpcq？若存在， 求出 p，q 的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由 解：(1)由 anSn n a(n1)知 nanSna(n1)n， (n1)an1S
15、n1an(n1)，则 nan1nan2an，即 an1an2a. an是以 1 为首项，2a 为公差的等差数列， an12a(n1) (2)由题意知 bnbn1，即 3n(1)nan3n 1(1)n1a n1， 由(1)知 an12a(n1)，则(1)n1a(2n1)3 n1 2n1恒成立， 令 f(n)3 n1 2n1，则 f(n2)f(n) 3n 21 2n3 3 n1 2n1 44n33n4 2n32n1 f(3)f(5)， af(1)4. 若 n 为偶数，则 a0，即 g(2)g(4)g(6)， ag(2)8 3. 综上所述，实数 a 的取值范围是 4，8 3 . (3)由(1)及题意知 ann，则 cn n n2 016. 假设对任意 kN*， 总存在正整数 p， q， 使 ckcpcq， 则 k k2 016 p p2 016 q q2 016， 则 p kq2 016 qk . 令 qk1，则 pk(k2 017)(或 q2k，则 p2k2 016；) 存在满足题意的 p，q，且 qk1 时，pk(k2 017)(或 q2k 时，p2k2 016，)
