1、课时作业课时作业 48直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1(2021成都检测)已知 a，b 是两条异面直线，直线 c 与 a，b 都垂直，则下列说法正确的是(C) A若 c平面，则 a B若 c平面，则 a，b C存在平面，使得 c，a，b D存在平面，使得 c，a，b 解析：对于 A，直线 a 可以在平面内，也可以与平面相交；对于 B，直线 a 可以在平面内，或者 b 在平面 内；对于 D，如果 a，b，则有 ab，与条件中两直线异面矛盾 2(2021陕西宝鸡模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，E 为线段 CD 上的一点，则“AEBD
2、” 是“AE平面 PBD”的(C) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：因为 PD平面 ABCD，且 AE平面 ABCD，所以 PDAE，又 AEBD，且 PDBDD，所以 AE平 面 PBD.故“AEBD”是“AE平面 PBD”的充分条件；又由 AE平面 PBD，且 BD平面 PBD，可得 AEBD， 故“AEBD”是“AE平面 PBD”的必要条件，综上可得“AEBD”是“AE平面 PBD”的充要条件 3(2021湘赣皖十五校联考)棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 PCBD1，则动点 P 的轨迹所
3、围成的图形的面积为(C) A. 3B3 2 C. 3 2 D1 解析：如图，连接 BD.易证 BD1平面 ACB1，得动点 P 的轨迹所围成图形为AB1C，AB1C 是边长为 2的正 三角形，其面积 S 3 4 ( 2)2 3 2 . 4如图，在三棱锥 PABC 中，已知 PA底面 ABC，ABBC，E，F 分别是线段 PB，PC 上的动点，则下列说 法错误的是(B) A当 AEPB 时，AEF 一定是直角三角形 B当 AFPC 时，AEF 一定是直角三角形 C当 EF平面 ABC 时，AEF 一定是直角三角形 D当 PC平面 AEF 时，AEF 一定是直角三角形 解析： 由 PA底面 ABC
4、， 得 PABC， 又 ABBC， PAABA， 所以 BC平面 PAB， BCAE.又 AEPB， PBBC B，所以 AE平面 PBC，所以 AEEF，故 A 正确；当 EF平面 ABC 时，因为 EF平面 PBC，平面 PBC平面 ABCBC，所以 EFBC，故 EF平面 PAB，AEEF，故 C 正确；当 PC平面 AEF 时，PCAE，又 BCAE， PCBCC，所以 AE平面 PBC，又 EF平面 PBC，所以 AEEF，故 D 正确故选 B. 5(2021北京房山区质检)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为棱 AB 的中点，动点 P 在侧面 BCC1B1上运 动，若
5、 APD1M，则动点 P 的轨迹为(B) A两个点 B线段 C圆的一部分 D抛物线的一部分 解析： 如图， 取 B1B 的中点 E， CB 的中点 F， 连接 AE， EF， AF， DM.在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 易证 DMAF， DD1AF，则有 AF平面 DMD1，AFMD1，同理 MD1AE，则 MD1平面 AEF.又点 P 在侧面 BCC1B1上运动，故 动点 P 的轨迹为线段 EF.故选 B. 6已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9 4，底面是边长为 3的正三角形，若 P 为底面 A 1B1C1的中 心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为(B
6、) A.5 12 B 3 C. 4 D 6 解析：如图，取正三角形 ABC 的中心 O，连接 OP，则PAO 是 PA 与平面 ABC 所成的角因为底面边长为 3， 所以 AD 3 3 2 3 2，AO 2 3AD 2 3 3 21.三棱柱的体积为 3 4 ( 3)2AA19 4，解得 AA 1 3，即 OPAA1 3.所以 tanPAOOP OA 3，因为直线与平面所成角的范围是 0， 2 ，所以PAO 3. 二、填空题 7如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，给出下列结论： AD平面 PBC； 平面 PAC平面 PBD； 平面 PAB平面 PAC； 平
7、面 PAD平面 PDC. 其中正确结论的序号是. 解析：由四边形 ABCD 为正方形，可得 ADBC，AD平面 PBC，BC平面 PBC，AD平面 PBC，正 确在正方形 ABCD 中，ACBD，PA底面 ABCD，BD底面 ABCD，PABD，PAACA，BD平面 PAC，BD平面 PBD，平面 PAC平面 PBD，正确PA底面 ABCD，PAAB，PAAC，BAC 为二面角 BPAC 的平面角，显然BAC45，故平面 PAB平面 PAC 不成立，不正确在正方形 ABCD 中， CDAD，PA底面 ABCD，PACD，PAADA，CD平面 PAD，CD平面 PCD，平面 PAD平 面 PDC
8、，正确综上可得，正确 8(2021广西来宾质检)在四棱锥 SABCD 中，底面四边形 ABCD 为矩形，SA平面 ABCD，P，Q 分别是线段 BS，AD 的中点，点 R 在线段 SD 上，若 AS4，AD2，ARPQ，则 AR4 5 5 . 解析：如图，取 SA 的中点 E，连接 PE，QE，则 PEAB.因为 SA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 SAAB， 又 ABAD，ADSAA，所以 AB平面 SAD，所以 PE平面 SAD，又 AR平面 SAD，所以 PEAR. 又 ARPQ，PEPQP，且 PQ，PE平面 PEQ，所以 AR平面 PEQ. 因为 EQ平面 PEQ，所以 A
9、REQ.因为 E，Q 分别为 SA，AD 的中点，所以 EQSD，所以 ARSD.在直角三 角形 ASD 中， AS4，AD2， 所以 SD AS2AD2 1642 5.因为 SASD1 2ASAD 1 2ARSD，所以 AR ADAS SD 24 2 5 4 5 5 . 9 (2021福建漳州适应性测试)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4， 点 P 是 AA1的中点， 点 M 在侧面 AA1B1B 上，若 D1MCP，则BCM 面积的最小值为8 5 5 . 解析：如图所示，取 AB 中点 N，AD 中点 Q，连接 D1Q，QN，B1N，B1D1，由于 CP 在平面 ABCD 内
10、的射影为 AC，QNAC，所以 QNCP，由于 CP 在平面 ADD1A1内的射影为 DP，D1QDP，所以 D1QCP，由 QNCP， D1QCP， D1QQNQ， 得 CP平面 D1QNB1， 要使 CPD1M， 点 M 必须在平面 D1QNB1内， 又点 M 在侧面 AA1B1B 上，所以点 M 在平面 D1QNB1与平面 AA1B1B 的交线上，即 MB1N，当 BMB1N 时，BM 最小，此时BCM 面积的 最小值为8 5 5 . 10(2021湖北襄阳五中、夷陵中学联考)三棱锥 SABC 中，点 P 是 RtABC 斜边 AB 上一点，给出下列四个命 题： 若 SA平面 ABC，则
11、三棱锥 SABC 的四个面都是直角三角形； 若 ACBCSC2，SC平面 ABC，则三棱锥 SABC 的外接球表面积为 12； 若 AC3，BC4，SC 5，S 在平面 ABC 上的射影是ABC 内心，则三棱锥 SABC 的体积为 2； 若 AC3，BC4，SA3，SA平面 ABC，则直线 PS 与平面 SBC 所成的最大角为 45. 其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：对于，因为 SA平面 ABC，所以 SAAC，SAAB，SABC，又 BCAC，SAACA，所以 BC 平面 SAC，又 SC平面 SAC，所以 BCSC，故四个面都是直角三角形，正确；对于，若 AC
12、BCSC2， SC平面 ABC， 三棱锥 SABC 的外接球可以看作棱长为 2 的正方体的外接球， 2R2 3， 外接球表面积为 12， 正确；对于，设ABC 的内心是 O，连接 SO，则 SO平面 ABC，连接 OC，则有 SO2OC2SC2，又内切圆 半径 r1 2(345)1，所以 OC 2，则 SO 2SC2OC2523，故 SO 3，三棱锥 SABC 的体积 V 1 3S ABCSO1 3 1 234 32 3，不正确；对于，SA3，SA平面 ABC，则直线 PS 与平面 SBC 所成的 角最大时，P 点与 A 点重合，在 RtSCA 中，tanASC3 31，ASC45，即直线 P
13、S 与平面 SBC 所成的最大 角为 45，正确 三、解答题 11如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1. 求证：(1)AB平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1平面 A1BC. 证明：(1)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1. 因为 AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C. (2)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1AB，所以四边形 ABB1A1为菱 形，所以 AB1A1B.因为 AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC.又因为 A1
14、BBCB，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC，又因为 AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC. 12(2021陕西西安模拟)在平行四边形 ABCD 中，AB3，BC2，过 A 点作 CD 的垂线交 CD 的延长线于点 E， AE 3.连接 EB 交 AD 于点 F，如图，将ADE 沿 AD 折起，使得点 E 到达点 P 的位置，如图. (1)证明：直线 AD平面 BFP； (2)若 G 为 PB 的中点，H 为 CD 的中点，且平面 ADP平面 ABCD，求三棱锥 GBCH 的体积 解：(1)证明：如题中图，在 RtBAE 中，AB3，
15、AE 3， AEB60且 BE2 3.ADE 是直角三角形， DE AD2AE21，AE AB DE AE 3 3 . AEDBAE90，BAEAED， EADABE906030， DABABEDABEAD90，BEAD， 故在题图中，PFAD，BFAD，PFBFF， AD平面 BFP. (2)平面 ADP平面 ABCD，且平面 ADP平面 ABCDAD，PF平面 ADP，且由(1)知 PFAD， PF平面 ABCD. 如图，取 BF 的中点为 O，连接 GO，则 GOPF，且 GO1 2PF， GO平面 ABCD，即 GO 为三棱锥 GBCH 的高， GO1 2PF 1 2PAsin30 3
16、 4 . CH1 2DC 3 2， SBCH1 2CHAE 1 2 3 2 3 3 3 4 ， VGBCH1 3S BCHGO1 3 3 3 4 3 4 3 16. 13(2021豫西南五校联考)已知矩形 ABCD，AB2，BC2 2，将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行 翻折，在翻折过程中，(B) A存在某个位置，使得直线 BD 与直线 AC 垂直 B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C存在某个位置，使得直线 BC 与直线 AD 垂直 D对任意位置，三对直线“AC 与 BD”“CD 与 AB”“AD 与 BC”均不垂直 解析：矩形在翻折前和翻折后的图形如图(1)(2
17、)所示 在图(1)中，过点 A 作 AEBD，垂足为 E，过点 C 作 CFBD，垂足为 F，由边 AB，BC 不相等可知点 E，F 不 重合； 在图(2)中， 连接 CE， 对于选项 A， 若 ACBD， 又知 BDAE， AEACA， 所以 BD平面 ACE， 所以 BDCE， 与点 E，F 不重合相矛盾，故选项 A 错误；对于选项 B，若 ABCD，又知 ABAD，ADCDD，所以 AB平面 ADC，所以 ABAC，由 ABAB，所以不存在这样的直角三角形，故选项 C 错误；由以上可知选项 D 错误故选 B. 14(2021江西赣州联考)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为
18、 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF 2 2 ，则下列结论： EF平面 ABCD； 平面 ACF平面 BEF； 三棱锥 EABF 的体积为定值； 存在某个位置使得异面直线 AE 与 BF 所成的角为 30. 其中正确的是.(写出所有正确的结论序号) 解析：由正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF 2 2 知，在中，由 EFBD， 且 EF平面 ABCD，BD平面 ABCD，得 EF平面 ABCD，故正确；在中，如图， 连接 BD， CF， 由 ACBD， ACDD1， 可知 AC平面 BDD1B1， 而 BE平面 BDD1B1，
19、 BF平面 BDD1B1， BEBF B，则 AC平面 BEF.又因为 AC平面 ACF，所以平面 ACF平面 BEF，故正确；在中，三棱锥 EABF 的体 积与三棱锥 ABEF 的体积相等，三棱锥 ABEF 的底面积和高都是定值，故三棱锥 EABF 的体积为定值，故正确； 在中， 令上底面中心为 O， 当 E 与 D1重合时， 此时点 F 与 O 重合， 则两异面直线所成的角是OBC1， 可求解OBC1 30，故存在某个位置使得异面直线 AE 与 BF 所成的角为 30，故正确 15(2021河南名校联考)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1(侧棱垂直于底面，且底面三角形 ABC 是等边三角
20、形)中， BCCC1，M，N，P 分别是 CC1，AB，BB1的中点 (1)求证：平面 NPC平面 AB1M； (2)在线段 BB1上是否存在一点 Q 使 AB1平面 A1MQ？若存在，确定点 Q 的位置；若不存在，请说明理由 解：(1)证明：因为 N，P 分别是 AB，BB1的中点，所以 NPAB1， 又因为 NP平面 AB1M，AB1平面 AB1M，所以 NP平面 AB1M. 因为 M，P 分别是 CC1，BB1的中点，四边形 BB1C1C 为平行四边形，所以 CMPB1，且 CMPB1， 所以四边形 CMB1P 是平行四边形，所以 CPMB1. 又因为 CP平面 AB1M，MB1平面 A
21、B1M，所以 CP平面 AB1M. 又因为 NPCPP，NP平面 NPC，CP平面 NPC，所以平面 NPC平面 AB1M. (2)在线段 BB1上存在一点 Q，它就是点 B，使得 AB1平面 A1MQ. 如图，连接 A1Q，MQ，过点 A 作 AKBC，垂足为 K，连接 B1K. 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1中，BCCC1，底面三角形 ABC 是等边三角形，所以四边形 ABB1A1是正方形，所 以 AB1A1Q.易证MCQKQB1，所以MQCKB1Q，所以MQCQKB1KB1QQKB190，所以 QMKB1. 因为 AKBC，三棱柱 ABCA1B1C1为正三棱柱，所以 AK平面 BB1C1C.又因为 QM平面 BB1C1C，所以 AK QM. 又因为 AKKB1K，AK平面 AKB1，KB1平面 AKB1，所以 QM平面 AKB1. 又因为 AB1平面 AKB1，所以 QMAB1. 又 A1QQMQ，A1Q平面 A1MQ，QM平面 A1MQ， 所以 AB1平面 A1MQ.
