1、课时作业课时作业 14导数与函数的单调性导数与函数的单调性 一、选择题 1函数 f(x)x22lnx 的单调减区间是(A) A(0,1B1，) C(，1(0,1D1,0)(0,1 解析：f(x)2x2 x 2x22 x (x0)，令 f(x)0，即2x 22 x 0，解得 0 x1，故选 A 2函数 f(x)cosxx 在(0，)上的单调性是(D) A先增后减B先减后增 C单调递增D单调递减 解析：易知 f(x)sinx1，x(0，)，则 f(x)0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( A) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：f(x)3 2x 2a，当
2、 a0 时，f(x)0 恒成立，故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件 4(2021河北联考)函数 f(x)|x|ln|x| x2 的图象大致为(A) 解析：函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)因为 f(x)f(x)，所以 f(x)是偶函数，排除 C 和 D当 x0 时， f(x)xlnx x2 ，f(x)x 32lnx1 x3 ，令 f(x)0，得 0 x0，得 x1.所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1， )上单调递增，排除 B故选 A 5(2021山东济南质检)若函数 f(x)2x2lnx 在其定义域的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数 k 的
3、取值范围是(C) A1，)B1,2) C 1，3 2D 3 2，2 解析：f(x)4x1 x 2x12x1 x (x0)， 令 f(x)0，得 x1 2；令 f(x)0，得 0 x 1 2. 由题意得 k10， k11 2k1， 得 1k0，且 a1，函数 f(x) ax，x1. 当 x1 时，f(x)x24 xalnx， 则 f(x)2x 4 x2 a x 2x3ax4 x2 ， 则 2x3ax40 在1，)上恒成立， a4 x2x 2在 x1，)上恒成立， 由于 y4 x2x 2在1，)上单调递减， ymax2，则 a2.当 x1 时，a145. 综上，实数 a 的取值范围是2,5故选 B
4、 7(2021郑州预测)函数 f(x)是定义在(0，)上的可导函数，f(x)为其导函数，若 xf(x)f(x)ex(x2)且 f(3) 0，则不等式 f(x)0 的解集为(B) A(0,2)B(0,3) C(2,3)D(3，) 解析：令 g(x)xf(x)，x(0，)，则 g(x)xf(x)f(x)ex(x2)，可知当 x(0,2)时，g(x)xf(x)是减函数， 当 x(2，)时，g(x)xf(x)是增函数又 f(3)0，所以 g(3)3f(3)0.在(0，)上，不等式 f(x)0 的解集就是 xf(x)0 的解集，又 g(0)0，所以 f(x)bcBcba CbcaDcab 解析：因为函数
5、 yx在(0，)上单调递增，所以 3e.构造函数 f(x)lnx x ，则 f(x)1lnx x2 ，当 x(0，e) 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(e，)时，f(x)ln ，所 以 ee.综合可知：3ee，所以 bca.故选 C 二、填空题 9若幂函数 f(x)的图象过点 2 2 ，1 2 ，则函数 g(x)exf(x)的单调递减区间为(2,0) 解析：设幂函数 f(x)x，因为图象过点 2 2 ，1 2 ，所以1 2 2 2 ，2，所以 f(x)x2，故 g(x)exx2，则 g(x) exx22exxex(x22x)，令 g(x)0，得2x0，故 f(x)在(0，)上单调递增
6、；当 a1 时，由 f(x)exa0，得 xlna， 当 0 xlna 时，f(x)lna 时，f(x)0， f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增综上，当 a1 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增 13(2021湖北联考)已知函数 f(x) eax x1. (1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的单调区间 解：(1)当 a1 时，f(x) ex x1，则 f(x) exx2 x12 . f(0) e0 011，f(0) e002 012 2，
7、 所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y(1)2(x0)，即 y2x1. (2)函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)，由函数 f(x) eax x1，得 f(x) eaxaxa1 x12 . 当 a0 时，f(x) 1 x120 时，xa1 a 1， 所以 x，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，1)1，a1 a a1 a a1 a ， f(x)0 f(x)极小值 所以 f(x)的单调递减区间为(，1)， 1，a1 a，单调递增区间为 a1 a ， .当 a0 时，xa1 a 0 或 f(x)0，f(x)单调递增，此时 f(x)无极大值 当 x 2，时，设 g(x
8、)f(x)，则 g(x)sinxlnx2cosx x sinx x2 0，f()ln0， 所以在 2，内存在唯一的 x0 2， 使得 f(x0)0. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 2，x 0 x0(x0，) f(x)0 f(x)极大值 此时 f(x)有唯一的极大值 综上，f(x)在(1，)内的极大值的个数为 1. (2)由(1)可知 f(x)sinxa x cosxlnx. 当 a1，x 2，时，f(x)1 时，因为x 2，lnxlnlne22， 且 cosx2cosx.所以当 x 2，时，f(x)sinxa x 2cosxsinxa2xcosx x . 设 h(x)sinx2xcosxa，x 2， 则 h(x)cosx2cosx2xsinx3cosx2xsinx0，h()2a. 当2a0，即 a2时，h()0，x 2，h(x)0，即 f(x)0，f(x)在 2，内单调递增，不符合题意 当2a0，即1a0，h()0，即 f(x)0，所以 f(x)在 2，x 1 内单调递增，不符合题 意 所以当 a1 时，f(x)在 2，内不单调递减 综上，实数 a 的取值范围为(，1
