1、 人教人教A A版普通高中课程标准教科书版普通高中课程标准教科书数学必修第一册数学必修第一册 函数概念起始课函数概念起始课 荆州中学荆州中学 张云辉张云辉 根据短片，你能从中发现哪些函数关系？ x4lx= 4yx= 正比例函 数 VS 问题问题 情境情境 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持 匀速运行半小时. (1)列车行进的路程S与运行时间t的关系是什么？ (2)你能用初中所学函数概念描述S与t的函数关系吗？ (3)有人说：“根据对应关系这趟列车加速到350km/h后， 运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？ (4)如何用更精确的语言来描述S与t的函数关系呢？ (4)
2、如何用更精确的语言来描述S与t的函数关系呢？ 新教材在第一章集合与常用逻辑用语章引言 曾讲到集合的作用：为了简洁、准确地表述数学为了简洁、准确地表述数学 对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工 具具. (4)如何用更精确的语言来描述S与t的函数关系呢？ VS 和 是两个变量，而 且对于 的每一个确定值， 都有唯一确定值与之对应. tS tS 活动一活动一 仿照问题情境，分别用初中函数概念、集合语言与对应关系研究下 面三个问题实例，请以小组为单位讨论. 工人工资 空气质量 指数 恩格尔系数 活动二活动二 VS 对比发现，自我点评两种刻画函数的方法.
3、关于数学概念的生成，本书主编，人教社章 建跃博士曾说：“数学的概念应该怎么获得？可数学的概念应该怎么获得？可 以从大量同类事物的不同例证中找到它们的共同以从大量同类事物的不同例证中找到它们的共同 的关键特征的关键特征. ” 活动三活动三 请以小组为单位，讨论并归纳出问题情境及上述3个问题用集合语 言与对应语言描述函数的共同点，并将讨论的结果填写在学案上. 问题 情景 问题问题1 1问题问题2 2问题问题3 3 对于数集 中的任一时刻 按照对应关系 ， 在数集 中都有唯一确定的路程 和它对应. At 350St= BS 对于数集 中的任一天数 按照对应关系 ， 在数集 中都有唯一确定的工资 和它
4、对应. Ad 350wd= Bw 对于数集 中的任一时刻 按照曲线所给定的对应关系， 在数集 中都有唯一确定的数 和 它对应. At BI 对于数集 中的任一年份 按照表格所给定的对应关系， 在数集 中都有唯一确定的恩格尔 系数 和它对应. A y B r 活动四活动四根据共同特征，以初中函数概念为基础，以小组为单位，讨论 如何用集合语言与对应关系对函数概念重新下定义. 人民教育出版社出版的义务教育教科书八年级（下册） （教育部2013年审定）就是这么给出的： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ， 并且对于 的每一个确定的值, 都有唯一确定的值与其对 应，那么我们就说 是自变量，
5、是 的函数.如果当 时 ，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值. xy xy xyxa= y b=ba x 735ct=- 105Gh=- 0.122yx=+ 550yx= -+ ykxb=+ (),0k bk 为常数， 初中抽象一次函数的过程 语言基础：语言基础：A A、B B是两个非空数集是两个非空数集 f 解析式解析式 图图 象象 表表 格格 记为 伽利略（Galileo Galilei） 在1717世纪早期世纪早期，由于天文学和航海事业的发展， 科学家以解释地球和天体运动作为研究课题，推动 了函数函数概念的发展.1638年意大利科学家伽利略 （Galileo Galilei）第一个提出
6、了函数或称为变第一个提出了函数或称为变 量关系的这一理念量关系的这一理念. 莱布尼茨（Gottfried Leibniz） “functionfunction（函数）（函数）”作为数学术语， 是微积分奠基人之一、德国哲学家、数学家 莱布尼茨（Gottfried Leibniz）在他1673 年的手稿切线的逆方法或函数方法 （Methodus tangentium inversa seu de functionibus）中首次使用. 莱布尼茨微分学手稿 李善兰(1811-1882) 中文的中文的“函数函数”一词是1859年中国中国 清代数学家李善兰李善兰在翻译代微积拾 级时，由“function
7、”创译的.他给 出的理由是“凡此变数中函彼变数者，凡此变数中函彼变数者， 则此为彼之函数则此为彼之函数”，即“函”为包含 之意. 代微积拾级 伯努利（Johann Bernoulli） 17181718年年，瑞士数学家伯努利（Johann Bernoulli）在 关于等周问题的一篇论文中，把函数定义函数定义为：一个变量的 函数是指由这个变量和某些常量以任何一种方式组成的量. 这是历史上第一个正式发表的明确的函数定义. 伯努利和大数定律 欧拉（Leonhard Euler） 17551755年年，瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler） 在微分学原理的序言中进一步给出了函数的定义
8、函数的定义： 当变量以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变 量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的 函数. 这就是人们通常称为函数定义的“变量说变量说”. 狄利克雷（Dirichlet） 在1837年，德国数学家狄利克雷狄利克雷再次拓展了函数的定义， 他指出：“对于在某个区间上的每一个确定的x的值，y都有 一个确定的值，那么y叫做x的函数”，从依赖依赖到对应对应， 人们认为函数概念、函数本质定义已经形成，这就是人们常 说的经典函数定义经典函数定义. 康托尔（Cantor） 在19世纪，随着德国数学康托尔创立集合论，美国 数学家维布伦用“集合集合”与“对应对应”给出了近代函
9、数定义，当然随着物理学等科学研究的需要，函数的 概念还在进一步发展，真诚的希望，在座的同学们， 也能像这些科学家一样，继续为函数概念的发展做出 新的贡献. 辨析辨析1 1 A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 A中元素的“任意性” B中元素的唯一性 辨析辨析2 2 定义域、对应关系、值域称为函数的三要素定义域、对应关系、值域称为函数的三要素 用函数的定义重新认识一次函数、二次函数、反比例函数， 指出它们的定义域、值域、对应关系. 应用一应用一 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析
10、式 来描述. 应用二应用二 ()10yxx=- 感悟一感悟一请从知识、方法、思想、应用等方面构建本节课的学习结构图. 函数的概念函数的概念 初中函数“变量说” 生活实例 再认识 抽象 应用 特殊到一般特殊到一般 科学发展科学发展 未来 三要素 知识增加知识增加 感悟二感悟二 本章章引言有这样一段话， 说明函数概念及其反应的思想方函数概念及其反应的思想方 法不仅是进一步学习数学的基础，法不仅是进一步学习数学的基础， 也是学习其它学科的基础，更是也是学习其它学科的基础，更是 解决问题的工具解决问题的工具. 学学姐姐带带我认识函数我认识函数 大家知道历史上很多的数学家也是哲学家，如罗素、毕达哥拉斯、
11、 莱布尼茨等等，可见数学和哲学关系密切. 2018年某大学自主招生考试题目就是：“谈谈数学与哲学的关 系”.今天我们学习的函数概念的本源与哲学中的“运动”，函数三要 素与哲学中的“联系”，函数表示与哲学中的“辩证法”等等. 1.函数概念本源与哲学中的“运 动”. 哲学讲“运动”，指的是宇宙间一切事物、现象的变化和过程.辩 证唯物主义认为，运动是物质不可分离的根本属性，物质的任何形态都 处于运动中，运动是物质存在最根本的形式.函数是研究自然科学中物 质的变化现象的，并试图用量化的方式记录物质运动的存在形式。因此 只有承认物质的运动、变化这一现实，函数才有存在的必要，从这个意 义上讲，哲学中的运动
12、和物质的辩证关系为函数概念提供了生存土壤. 2.函数三要素与哲学中的“联系”. “联系”是一个普遍的哲学概念，指的是一切事物内部中的各部分， 诸多要素之间的相互依存、相互影响和相互制约关系.辩证法认为联系 是普遍存在的，世界就是一个普遍存在的有机整体. 函数定义中的定义域、对应关系、值域是函数的三要素，显然，它 们相互依赖，缺一不可. 3.函数表示与哲学中的“辩证法”. 本节课给出的前四个问题四个问题，代表了函数在中学阶段的三种表示形式三种表示形式. 函数的多种表示形式是丰富多彩的社会实际的需求，体现了人们辩 证的观察世界的一种立场、观念和方法. 解析式解析式 图图 象象 表表 格格 解析式能够简明、全面的概括变量间的对应关系，将复杂的变化现象 通过一个解析式清晰的表示出来，解析法体现了“现象与本质”的辩证 关系，体现了“透过现象看本质”的方法论. 图象能直观形象地表示出函数值随着自变量的变化而变化的趋势，将 抽象的函数关系用图形具体的表示出来.图象体现了“具体与抽象”的 辩证关系. 表格不需要通过计算就可以直接得到与自变量对应的函数值，在生产 实际中应用广泛.列表体现了“动与静”的辩证关系，动态的变量关系， 采用静态的数据呈现，变化是绝对的，静止是相对的，动静结合，思想 深刻.
