1、 商丘市第一高级中学 王 威 人教A版 普通高中课程标准实验教科书 必修5 （第一课时） 3.4.1基本不等式： 2 a b ab 2002年在北京召开的第24届国际数学家大 会会场 大会会标赵爽弦图 一、课题引入 观察思考：该会标中 含有什么样的几何图 形？ 讨论：你能否在这个图 案中根据边长或面积找 出一些相等关系或不等 关系吗？ 以形助数-学生观察图案 探究1 2ab 探究2 2.四个直角三角形的四个直角三角形的 面积和面积和 S 22 ab 1.正方形正方形 的的 面积面积 S ABCD 3. 与与 有什么样的有什么样的 不等关系？不等关系？ SS SS a b H GF E D C
2、B A 22 ba 22 2abab即 思考：思考： 与与 有相等的情况吗？有相等的情况吗？S S 二、新知-发现不等式 A B C D H a b GF E 22 ba B A C D E(FGH) a b 22 ba 22 2abab 22 = 2abab 22 2abab(0,0)ab 二、新知-发现不等式 (0,0)ab ab当且仅当时，等号成立. 22 2abab (,).ab 为任意实数时，还成立吗？如何证明？为任意实数时，还成立吗？如何证明？a b, 22 2ababRR 思考：你能给出不等式 的证明吗？ 22 2abab因为 2 ()0,ab 2 ()0,ab 2 ()0,ab
3、所以 22 2.abab即 时当ba 时当ba 证明：证明： 2 ()ab， 二、新知-证明不等式 （作差法）（作差法） 22 2,abab a b（）R 当且仅当 时，等号成立.ab 一般地，对于任意实数 ，我们有 ,a b 重要不等式： 22 +2abab 二、新知-形成公式 两个实数的平方和不小于它们乘积的2倍. 文字叙述： 0,0, , , abab a b 如果我们用分别代替 重要不等式中的可得到什么结论？ 22 ()()2abab， 2 ab ab 替换后得到：替换后得到： 即 (0,0).ab 2abab ，即 二、新知-形成公式 问题一问题一 你能证明这个不等式吗？问题二问题二
4、 2 ab ab ，证明：要证 只需证_ab ， 只需证_0ab ， 只需证 2 (_)0. 式显然成立.所以原不等式成立. 当且仅当a=b时, 原不等式中的等号成立. 分析法 2 ab ab (0,0).ab证明不等式： 2 ab 2 ab ba 二、新知-证明不等式 问题二问题二 两正数的算术平均数两正数的算术平均数不不小于小于它们的它们的几何平均数几何平均数. . (0,0). 2 ab abab （当且仅当当且仅当 时时，等号成立等号成立. .） 算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数 a b 文字叙述： 二、新知-代数意义 基本不等式：基本不等式： 二、新知-几何解释 问题三 2
5、 ab ab 的几何解释 ABC D E a b O 2 ab abCD 如图, 是圆的直径, 为圆心， 点 是 上一动点, , 过点 作垂直于 的弦 , 连接 .BCb O AB AB AB C ACa ,.AD BD OD DEC OD ?CD 与 的大小关系怎样? ODCD,. 2 ab aCDODb 即 如何用 表示 _. , a b ?OD如何用 表示 _., a b 半弦长小于或等于半径长. 适用范围适用范围 文字叙述文字叙述 “=”成立条件成立条件 22 2abab 2 ab ab 两个两个正数正数的算术平均数不的算术平均数不 小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数 两个两个实
6、数实数的平方和的平方和 不小于它们积的不小于它们积的2 2倍倍 填表比较：填表比较： 二、新知-公式比较 ab 0,0ab ab , a bR 三、例题感悟 若x、y均为正数， 则当x+y=S（定值）时， 当且仅当x=y时， xy有最大大值_. 2 1 4 S 若x、y 均为正数， 则当xy=P (定值)时， 当且仅当x=y时， x+y有最小小值_. 2 P 相等相等 正正 定定 利用基本不等式求最值时注意的问题： 满足相等的条件. 一正， 二定，三相等. 两项均为正数； 和或积为定值； (1) 求函数 的最小值. 4 ( )(0)f xxx x 解：解： 4 0,0.x x 4 ( )f x
7、x x 4 2 x x 4. 当且仅当 ，即 时， 4 x x 2x 取最小值 .( )f x4 四、巩固练习 四、巩固练习 (2) 已知 ， ,且 ，求 的最大值.0 x 0y +2x y xy 解：解： 取最大值 . xy 1 0,0 xy， + =1 2 x y xy， xy1， 1xy当且仅当时， xy即1， 我的收获，我总结 五、小结 （1 1）知识：知识： 基本不等式 (0,0). 2 ab a b ab 重要不等式( ,).a b 22 2ababR 五、小结 我的收获，我总结 （当且仅当 时等号成立）ab a b 22 ba 几何解释 几何解释 代数证明 代数证明 2 ()0a
8、b 2 ()0aba b O 形数 22 2( ,)abab a b (0,0) 2 ab abab R 我的收获，我总结 （1 1）知识：知识： 五、小结 基本不等式 (0,0). 2 ab a b ab （2 2）方法及应用：）方法及应用：利用基本不等式，求最值. （3 3）思想方法：）思想方法：数形结合等. 重要不等式( ,).a b 22 2ababR 我的收获，我总结 五、小结 华罗庚寄语 数缺形时少直观， 形少数时难入微. 数形结合百般好， 隔离分家万事休. 1.课本第100页习题3.4 A组 第1、2题 ; 2.各小组查阅资料，搜集利用不等式求最值的 相关问题，并和其他同学一起研讨. 六、作业布置 感谢您的聆听！ 欢迎您的指导！ 二二年十二月
