1、 人教A版数学必修4 如果没有运算，向量只是一个如果没有运算，向量只是一个“路标路标”， 因为有了运算，向量的力量无限。因为有了运算，向量的力量无限。 请同学们回顾一下，我们已经研究了向量 的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 问题 2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量 的加法运算的？引入向量的加法后又是按照怎样 的顺序研究了这种运算的？ 物理模型概念性质运算律应用 本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量 的另外一种运算，首先来研究一个大家比较熟悉 的物理模型。 火箭弹在发射后受到哪几个力的作用？ 这几个力对火箭发射作正功还是负功？ F G F 火箭弹在发射后受到内燃 机的推力F，和火箭弹
2、的 位移方向相同. 火箭弹在发射后受到重力 G，和火箭弹的位移方向 夹角为钝角. 火箭弹在发射后受到空气 阻力F，和火箭弹的位移 方向相反. 则力 所做的功为: F cosWF S F G F WFS cosWG S WFS F F S 功是一个标量（数量），它由力和位移两个向量功是一个标量（数量），它由力和位移两个向量 来确定，这给我们一种启示，能否把来确定，这给我们一种启示，能否把“功功”看成这看成这 两个向量的一种新的运算结果呢？两个向量的一种新的运算结果呢？ 请同学们分析一下这个几个公式的特点，类比请同学们分析一下这个几个公式的特点，类比 加法和减法运算的引入过程，由此对你有什么启发？
3、加法和减法运算的引入过程，由此对你有什么启发？ 为此，我们仿照功的运算公式引入向量为此，我们仿照功的运算公式引入向量“数量积数量积” 的概念的概念 cosab a b - FSab 在功的运算公式中，将力 和位移 分别用两个非零向量 和 来替代， 将得到向量的一种新的运算平面向量的数量积 cos cos , ., ab a bab a ba ba b 已知两个非零向量 与他们的夹角为 ， 我们把数量叫做 与 的数量积 （或内积） 记作即 规定：规定： ,a ba b （1） 不能写成且“”不能省略。 （2） 两向量的数量积是一个数量（可正，可负，可零）， 而不是向量。 cosa ba b 非负
4、 非负 可正可负可 为零 有 哪 些 特 殊 的 值 呢 ？ ababa b 思考2：设 与 都是非零向量，若，则等于 多少？反之成立吗？ 3aba bab a ba a 思考 ：当 与 同向时，等于什么？当 与 反向时， 等于什么？特别地，等于什么？ a bab 从以上探究你能否发现和的大小关系？ 思考1：当 为锐角时，数量积的符号是什么？ 当 为钝角时，数量积的符号是什么？ 2 |a aaaa a 特别地：或 判断垂直的又一条件 求模的方法 , a b 设都是非零向量，则 (1)0aba b (2)aba bab aba bab 当与 同 向 时 ， 当与 反 向 时 , a bab 综上
5、所述，我们发现 例 .已知 ， 的夹角为120， 求 | 5,| 4ab ab 与与 a b 解：| | |cosa ba b 1 54() 2 10 F 如图所示，将拉力正交分解，在位移方向上的分力大小 怎么求？ 将分力大小从数学角度去看又会得到什么？向量的数量 积有没有类似的结论？ cosS F cosWF S 功等于力在位移方向上的分力大小和位移大小的乘积 一个物体在力 的作用下产生位移 ,夹角为 ，则力 所做的功为: F S cosF 力在位移方向 上的分力大小 B1O A B | |cosbba 叫做 在 方向上的投影 B1 ab 问题4:向量在方向上的投影是什么？ B O A a
6、b 1 3 |b|cosOB 问题 :可以用线段长度值表示吗？ | cosa b a | | |cosa ba b b a 在方向 上的投影 | |cos| |a bab ab 在方 向 上 的 投 影 问题6：根据投影的概念，平面向量数量积 的几何意义如何？ 请同学们回忆一下，实数的乘法有哪些运算律？类比实数 的乘法运算律，你对向量数量积的运算律有哪些猜想？ 2 () ab aba b 思考 ：对于实数 ，(） 有意义吗？ 是否可以转化为(),和？ 3, , ,()a b c abc a c b c 思考 ：对于向量有意义吗？ 它与+相等吗？为什么？ a bb a 思考1： 和相等吗？能否证
7、明？ 用向量的数量积的计 算公式 考虑 的正负，以及 ab ab (） 和 ，和 ()的 夹 角 变 化 , ,a b a bc 考虑+ 在 上的投影， 以及向量数量积的几何意义 3()abca cb c 思考 ：成立吗？ 1 B 1 A A a C Oc b B (1) (2)()()() (3)() a bb a aba bab abcb cb c 交换律: 数乘结合律: 分配律: ,a b cR , 是 任 意 三 个 向 量 ， 例例.我们知道，对任意我们知道，对任意 恒有恒有 22222 ()2()().abaabbab abab， 对任意向量对任意向量 是否也有下面类似的结论？是否
8、也有下面类似的结论？ab ， ， 22 2 22 ()2; ()(). abaa bb ababab ( (1 1) ) ( (2 2) ) , a bR 解:akbakb 与互相垂直的条件是 ak bak b （） （） =0 22 2 0.ak b 22 22 39416ab ， 2 9-160k 3 4 k 3 = 4 kakbakb 因 此 ， 当时 ，与互 相 垂 直 . .34abab ka kba kb 例 已 知， 且 与 不 共 线 ， 当 为 何 值 时 ， 向 量+与-互 相 垂 直 知知 识识 技技 能能 思思 想想 方方 法法 1. 向量数量积的物理背景，定义及几何意
9、义向量数量积的物理背景，定义及几何意义. 2. 向量数量积公式的应用及重要性质向量数量积公式的应用及重要性质. 3.数量积的运算律数量积的运算律. 1. 灵活应用数量积公式解决垂直，距离等问题灵活应用数量积公式解决垂直，距离等问题. 2. 向量数量积向量数量积是一个工具性知识点，是沟通几何是一个工具性知识点，是沟通几何 和代数的桥梁，具有很强的功能作用。和代数的桥梁，具有很强的功能作用。 1. 转化化归（将物理知识转化为数学知识）转化化归（将物理知识转化为数学知识） 2. 数形结合（灵活应用数量积的投影）数形结合（灵活应用数量积的投影） 3. 分类讨论（讨论投影、数量积的正负等）分类讨论（讨论投影、数量积的正负等） 4.4.类比的思想类比的思想( (将向量的运算类比实数的运算将向量的运算类比实数的运算) ) 1、课本P106习题1.2.3 P108习题A组1.2.3.6.8 2、拓展与提高： ()()a bcab c （1）成立吗？ (0)a bb c bac （2）成立吗？
