1、 人教A版数学必修4 本节课是人教A版必修四第二章平面向量的第4节内容，本节内容教材 共分为两课时，本节课是第一课时，主要研究数量积的概念， 向量数量积运算 是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意 义，向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛。 本节课之前已经学习了向量的概念及其线性运算和几何意义，本节课由“功” 这个物理模型抽象出平面向量数量积的概念（教学重点），研究了在特殊情况 下数量积的计算，由力的分力大小抽象出向量投影和向量数量积的几何意义， 最后用数量积的定义和几何意义对运算律进行了探究，后期将学习数量积的坐 标表示。 通过平面向量数量积的学习，加
2、深学生对数学知识之间联系的认识，体会 数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生 形成学数学、用数学的思维和意识，本节课体现了数学抽象，直观想象的核心 素养。 1.四基四基 基本知识：理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几 何意义，掌握平面向量数量积的性质与运算律； 基本技能：会用数量积的概念和几何意义解决垂直，平行， 距离等问题； 基本思想：体会将物理知识转化为数学知识的转化化归思想， 灵活应用数量积的投影等体会数形结合思想，将向量的运算类 比实数的运算的类比思想等。 2.四能四能 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生 明白数量积的物理背景，学
3、习数量积概念，随后通过学生的小 组活动，探究数量积在特殊情况下表达形式，通过设置例题让 学生练习计算数量积及公式，引导学生由力在位移上的分力值 得出投影的概念及数量积的几何意义，通过用数量积的几何意 义证明向量的分配律来进一步加深学生对投影及数量积几何意 义的理解，最后设置例题，提高学生的数学计算能力，夯实基 础，培养学生发现问题，提出问题的能力。 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系， 掌握了向量的概念及其线性运算及其几何意义，学生也学 习了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般 方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念， 然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上
4、研究性质 和运算律； 学生会产生这样的疑问平面向量之间可以进行向量 与向量的乘法运算吗？这为学生学习数量积做了很好的铺 垫，所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”， 通过学生的师生共研，小组合作探究，教师引导等环节研 究数量积的性质，运算律，完成本节知识的学习。 为了顺利实现本节课的教学目标，在教学方法的选择和教学手段的使用上，我的设 想主要有以下几点： 1、 无论是数量积的引入，还是运算律的探究，我都是引导学生在与实数运算和向 量运算律类比的基础上，进行猜想，探究得出结论，运算律的性质由教师引导学生 自然生成问题，通过学生小组探究得出结论，始终把学生作为学习活动的主体，让 学生成为学
5、习的研究者。 2、 实时生成问题串，以层层深入的问题串来推进课堂教学，同一个问题，每一个 学生都有着不同的认识角度，得到的结论也会各不相同，鼓励学生间互相讨论、交 流、协作，从而纠正偏差，提高认识，同时通过教师巡查，及时对部分小组进行指 导。 3、在探究过程中发现思路清晰，逻辑完整的小组及时鼓励，并上讲台给其他学生 演示，讲解，可以做到互通有无，纠正偏差，共同提高，让学生不断地体验到成功 的喜悦，激发学生的求知欲，发展学生思维能力，培养学生的创新精神。 4、精心设计和安排练习，知识生成后马上练习，一方面，通过练习使学生巩固所 学，检验效果，另一方面，使学生在练习中发现问题，产生兴趣，为下一个环
6、节做 好铺垫。 引导学生发现向量的线性运算的研究过程，即由力的 合成这个物理模型出发，引入向量的加法，形成向量加 法的基本概念，研究向量加法的性质以及运算律，最后 应用于解决生活中，物理中的实际问题，让学生体会研 究向量的基本方法。 引导学生通过类比任意的两个实数的加减乘除运算，任 意的两个向量都可以进行加、减、数乘运算,学生自然会 想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能, 其运算结果是什么呢？ 播放视频：中国火箭炮实弹演习培养学生 的民族自豪感和祖国认同感，培养学生的爱国情怀. 提出问题，引起学生思考，对火箭弹做简单的 受力分析，依据物理课中功的计算式，探究各个力 的方向以及对火
7、箭弹的做功情况，介绍向量夹角的 概念，为引入向量的数量积做铺垫. 以物理问题为背景，由学生所熟悉的“功”开始， 使学生初步认识两个向量的另外一种运算，顺其自然 地引入向量数量积的概念.并引导学生探究数量积公 式，概念中的要点，明确数量积这一种新运算与之前 所学的向量的线性运算的区别，通过知识发生和发展 过程的展示，使学生感受和领悟“数学化”过程及其 思想。 类比引例中的力和位移方向的特殊情况，提出 问题，通过师生互动、小组探究、交流的基本数 学活动方式培养学生的数形结合的核心素养，体 会特殊情况和一般情况的相互作用，提升逻辑推 理的核心素养。 设计例1的目的是让学生尝试对数量积定义的初 步应用
8、，即时巩固数量积的定义，理解求数量积所 需的量，同时熟悉数量积公式，体会成功，培养学 生学数学的兴趣。 由力在位移方向上的分力大小，总结功的数学 本质，教师引导学生抽象出投影的概念,研究投影 的几何表示以及正负，体会投影的作用，体会投影 是构建高位空间与低维空间之间的联系和桥梁，形 成直观想象，教师结合学生对“投影”的理解,引 导学生抽象出向量的数量积的几何意义，培养学生 数形结合的核心素养。 引导学生通过对过去所学的运算律回顾，类比 实数运算律得出数量积的运算律，体会不同运算 的运算律不尽相同，培养学生自主探究的能力， 培养学生的分类讨论思想和类比思想，引导学生 用磁条在黑板上动手动脑分析问
9、题，解决问题。 例2是数量积的性质和运算律的综合应用，体现了类比 的思想，完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似 于哪种运算？目的是培养学生通过类比这一思维模式达到 创新的目的； 例3应用了向量数量积的性质和例2的结论，主要目的是 培养学生数学运算的核心素养，在继续巩固向量性质和 运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向 量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，体会向 量数量积是一个工具性知识点，是沟通几何和代数的桥 梁。 先由学生回顾本节课学习到了哪些基础知识, 学会了哪些基本技能，教师与学生共同总结本节 学习过程中用到了哪些数学基本思想方法，并生 成作业，以补充课堂教学的不足
10、，引起学生思考， 为下节课做铺垫。 3、在探究二环节向量数量积的运算律的教学，教材上有三条， 但是学生会有疑问，三个向量的数量积有无结合律？因为本 节课容量有限，故安排在课后拓展与提高环节提出课后思考， 以便在下节课探究，让学生体会到类比是特殊到特殊的推理， 结论有可能不成立。 2、向量投影的教学，我是类比功的运算公式中分力大小抽象 出来的，并且研究了它的几何表示，由于时间的关系，处理 比较仓促，此处应该多花时间，这样学生对数量积的几何意 义的理解会更透彻。 1、向量是工具性的知识点，是连接几何和代数的桥梁，本节 课中可以借助图形帮助学生理解，把抽象的问题转化为形象 具体的问题，在探究一环节，如果有动画辅助，可以更好的 帮助学生理解数形结合的思想。
