1、 吉林省实验中学吉林省实验中学 刘哲华刘哲华 2 3 提出问题：提出问题：纤夫拉船时，身体为什么尽量纤夫拉船时，身体为什么尽量 前倾？前倾？ 创设情境创设情境 4 创设情境创设情境 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F所作的功 思考：思考：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量决定？ | |cosFsW（其中 是F与s的夹角 ） 位移S F s 5 创设情境创设情境 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F 所作的功 位移S F cos向量的数量积 | |cosFsW（其中 是F与s的夹角 ） |a |b s B b O a 6 （1）定义）定义 已知两个非零向量 和 ，O
2、是平面上的任意一点， 作 ， ， 则 （ ）叫做 向量 和 的夹角 AOB 0 新知探究新知探究 向量的夹角向量的夹角 a a Aa b b b aOA bOB 当 时，我们说 与 ， 2 7 新知探究新知探究 （2）特殊情况）特殊情况 当 时， 与 ， 显然，当 时， 与 ，同向 反向 0 = 向量的夹角向量的夹角 a a a b b b OAB ab OAB ab O A B a b 垂直记作 . ab 8 思考：思考：在正三角形ABC中，向量 与 的夹角多大？CA AB 新知探究新知探究 B C A D 2 3 夹角为BAD，大小为 CA 作 AD 9 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角
3、为 ，我们把 数量_叫做向量 与 的数量积（或内积）， 记作 ，即 |cosab 新知探究新知探究 规定：零向量与任一向量的数量积为0 向量向量的数量积的数量积 a a b b |cosa bab a b 10 新知探究新知探究 （2 2）两个向量的数量积结果是数量，而不是向量. 注意：注意： （3 3） （1 1）两个向量的数量积记作 ，不能写成 的形式（“”在向量的数量积运算中不能省略） a bab 当 时， ；0 2 0a b 当 时， ； 2 0a b 当 时， . 2 0a b 11 应用实例应用实例 例例1 已知 ， ， 与 的夹角 ， 求 . 2 3 解： 2 54cos 3 1
4、 54() 2 10 ab|4b = a b |cosa bab | 5a 12 应用实例应用实例 例例2 已知 ， ， ， 求 与 的夹角 . 解：由 ，得 cos | a b ab 54 22 12 92 因为 ，所以 3 4 0, ab | 9b =| 12a |cosa bab 54 2a b 13 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F 所作的功 位移S F | |cosFsW（其中 是F与s的夹角 ） F1 s 设 ， 是两个非零向量， ， ， 我们考虑如下变换： aAB bCD 14 新知探究新知探究 A B CDA1 B1 我们称上述变换为向量 向向量 投影， 叫做向
5、量 在向量 上的投影向量. 11 A B 过 的起点A和终点B，AB 分别作 所在直线的垂线，CD 垂足分别为A1，B1，得到 11 A B 向量投影与投影向量向量投影与投影向量 a a a a b b b b 15 新知探究新知探究 N M1O 如图，在平面内任取一点O，作 ， ， 过点M作直线ON的垂线，垂足为M1， aOM ON b a M a b 则 是向量 在向量 上的投影向量. 1 OM ab 思考：画出向量 在向量 上的投影向量. 16 新知探究新知探究 当当 为直角时，为直角时， 当当 为钝角时，为钝角时， 当当 时，时， =0 当当 时，时， = M O N M NOM1 M
6、O N OMN (M1)(M1) (M1) a a a a a b bb bb 17 新知探究新知探究 探究：探究：如图， 是向量 在向量 上的投影向量,设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 ，那么 与 ， ， 之间有怎样的关系？ 1 OM （1）当 为锐角时， 11 | eOMOM N M1 O M 于是 ， 1 ()eOMR 1 |OM |cosa 1 OM a a a a b b b e e 显然， 与 共线， 1 OM e b |cosae e 18 新知探究新知探究 （2 2）当）当 为直角时，为直角时， 0 （3 3）当）当 为钝角时，为钝角时， 1 OM 1 |OM （4
7、 4）当）当 时，时，=0（5 5）当）当 时，时，= M N O M NOM1 OM N OMN 1 OM (M1)(M1) (M1) 综上所述：综上所述：对于任意的对于任意的 ，都有，都有 0, 1 |cosaeOM a b a b ab ab |cos 2 ae |cosae 1 OM |cos0ae 1 OM |cosae |a|a 19 课堂练习课堂练习 练习练习1 1 已知 , 为单位向量，且 与 的夹角 为 ，求向量 在 上的投影向量。 3 4 a a e 解：向量 在 上的投影向量为 ae e e| 6a |cos3 2aee 20 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力
8、 F 所作的功 位移S F | |cosFsW（其中 是F与s的夹角 ） F1 1 | |FsW s F sW 1 Fs 21 提出问题：提出问题：纤夫拉船时，身体为什么尽量纤夫拉船时，身体为什么尽量 前倾？前倾？ 22 练习练习2 2 如图，AB是圆O的一条直径，并绕着圆心O旋转， C、 D是圆上的两个定点， CD=2, AB =4， 则 的最大值为 .AB CD . . A O B C 8 8 D 课堂练习课堂练习 A B 23 练习练习3 3 如图，在三角形ABC的外接圆圆O中，AB=2， 则 .AO AB . . A O B C 2 2 D 课堂练习课堂练习 24 课堂小结课堂小结 1.向量的数量积 2.向量投影 3.投影向量 25 思考：思考：设三个非零向量 ， ， ， 若 ，则可以得出什么结论？a ba c abc 26 不渴望能够一跃千里， 只希望每天能够前进一步。 课后作业课后作业 谢谢！ 2.2.课本第课本第2020页：练习页：练习1 1、2 2、3 3 1.思考题：思考题：设三个非零向量 ， ， ， 若 ，则可以得出什么结论？ abc a ba c
