1、 圆锥曲线起始课圆锥曲线起始课 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 椭圆的定义是什么？椭圆的定义是什么？ 椭圆有哪些性质？椭圆有哪些性质？ 椭圆又有哪些应用？椭圆又有哪些应用？ 思考：思考：在生活中我们可以通过什么方式得到椭圆？在生活中我们可以通过什么方式得到椭圆？ 思考：思考：从立体几何的角度，这三个得到椭圆的方式从立体几何的角度，这三个得到椭圆的方式 共同点是什么？共同点是什么？ 平面斜截圆柱得到的交线为椭圆平面斜截圆柱得到的交线为椭圆 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯发现通过改变平发现通过改变平 面的倾斜角度去截圆锥能得到面的倾斜角度去截圆锥能得到 不同的曲线，并把它们命名为不同的曲线，并把它们命
2、名为 椭圆椭圆、双曲线双曲线、抛物线抛物线，这些，这些 曲线被统称为曲线被统称为圆锥曲线圆锥曲线. 阿 波 罗 尼 奥 斯阿 波 罗 尼 奥 斯 （公元前（公元前262-190262-190） 阿波罗尼奥斯用阿波罗尼奥斯用纯几何纯几何的方法研究了圆锥曲线的性质，的方法研究了圆锥曲线的性质， 著有圆锥曲线论，将圆锥曲线的几何性质几乎网著有圆锥曲线论，将圆锥曲线的几何性质几乎网 罗殆尽，以致于以后的两千多年几何学裹足不前罗殆尽，以致于以后的两千多年几何学裹足不前. 直到直到17世纪，世纪，解析几何解析几何的诞生为研究几何问题开启了的诞生为研究几何问题开启了 一个新的思路一个新的思路. 笛卡尔笛卡尔
3、 15961650 费马费马 16011665 解析几何的两位创始人解析几何的两位创始人 平面解析几何平面解析几何 借助平面直角坐标系建立了借助平面直角坐标系建立了几何几何与与代数代数之间之间 的联系，并通过代数的方法研究几何图形的性质的联系，并通过代数的方法研究几何图形的性质. 点点 求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤： 1.建系：建立适当的直角坐标系建系：建立适当的直角坐标系 2.设点：设曲线上任意一点为（设点：设曲线上任意一点为（x, y） 3.列式：根据曲线上点所满足的数量关系条件写出等式列式：根据曲线上点所满足的数量关系条件写出等式 4.化简：用坐标（化简：用坐标（x, y）
4、表示这个等式，并化简）表示这个等式，并化简 椭圆上的点满足怎椭圆上的点满足怎 样的数量关系呢？样的数量关系呢？ 曲线曲线 坐标坐标 方程方程 5.检验：方程的解构成的坐标与曲线上的点是否一一对应检验：方程的解构成的坐标与曲线上的点是否一一对应 椭圆上的任意一个点到到两个定点的距离之和为常数。椭圆上的任意一个点到到两个定点的距离之和为常数。 两个定点两个定点F1和和F2称为椭圆的称为椭圆的焦点焦点 焦点间的距离焦点间的距离|F1F2|称为椭圆的称为椭圆的焦距焦距 椭圆的性质椭圆的性质 数学实验：画椭圆数学实验：画椭圆 你能根据椭圆的性质利用以下实验材料设计一个简单 的数学实验来画出椭圆吗？ 实验
5、材料：木板、图钉、细绳、铅笔 推导椭圆方程推导椭圆方程 思考：思考：怎样建系才能使椭圆的方程简单？ Ox y M F11 F22 方案一方案一 O x y 方案二方案二 F11 F22 M 建建 系：系： Ox y M F11 F22 设设 点：点： 椭圆上的点满足椭圆上的点满足P=M|MF1|+|MF2|=2a，则则2a2c0 设设 M( x，y )， ，设 设F1F2=2c，则有，则有F1(-c，0)、F2(c，0) 列式：列式： 化简：化简： 则：则： 22 22 +-+= 2xcyxcya 推导椭圆方程：推导椭圆方程： 22 22 += 2-+xcyaxcy 22222222 -+=-
6、acxa yaac 1 22 2 2 2 ca y a x 22 222 1 xy aac 思考：思考：观察观察右右图，你能图，你能从中从中 找找出出表示表示 的线段的线段 吗？吗？ 22 , ,a cac Ox y F1F2 P 12 PFPFa 12 OFOFc 22 POac 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 则式可化为： 令b= 22 POac 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 从上述推导过程中可以看到：从上述推导过程中可以看到： （1 1）椭圆上任意一点的坐标都满足方程；椭圆上任意一点的坐标都满足方程； （2 2）以）以方程方程的解为坐标的点都在椭圆上；的解为
7、坐标的点都在椭圆上； 故称故称为为椭圆的椭圆的标准标准方程方程. . 检验：检验： 思考：思考：焦点在y轴上的椭圆标准方程是什么？ O x y 焦点在焦点在y轴轴 F11 F22 M Ox y M F11 F22 焦点在焦点在x轴轴 axcyxcy2)()( 2222 aycxycx2)()( 2222 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y xy互换互换 椭圆的截线定义椭圆的截线定义 椭圆的轨迹定义椭圆的轨迹定义 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 旦德林球旦德林球 椭圆的应用椭圆的应用 建系推导建系推导 用代数的方法研究椭圆的几何性质用
8、代数的方法研究椭圆的几何性质 课堂小结：课堂小结： 在此过程中你有哪些收获和感悟？ 中国国家大剧院中国国家大剧院 椭圆在建筑生活中的应用椭圆在建筑生活中的应用 开普勒第一定律：每一个行星沿各自的开普勒第一定律：每一个行星沿各自的椭圆轨道椭圆轨道 环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点焦点上上. 椭圆在天体运动中的应用椭圆在天体运动中的应用 1. 1. 教材第教材第4242页练习页练习1 1、2 2、3 3、4.4. 2. 2. 思考思考: : 如果是如果是“平面斜截圆柱平面斜截圆柱”所得到的椭圆，能否类所得到的椭圆，能否类 比圆锥中的比圆锥中的“旦德林球法旦德林球法”说明椭圆上任意一点说明椭圆上任意一点 到两个定点的距离之和为常数？到两个定点的距离之和为常数？ 作业：作业：
