1、第三章第三章 函数概念与性质函数概念与性质 函数函数 函数的概念函数的概念 基本性质基本性质 幂函数幂函数 单调性（最值）单调性（最值） 奇偶性奇偶性 概念概念 表示法表示法 知识结构 一、基础知识整合 1函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照 某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意 一个数x，在集合B中都有 f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到 集合B的一个_，记作yf(x)，xA， 其中，x叫做_，x的取值范围A叫做函数 的 ；与x的值相对应的y值叫 做_，其集合f(x)|xA叫做函数的 _ 唯一确定的数 函数 自变量定义域 函数值 值域 2函数的表示方法 (
2、1)解析法：就是用_ _表示两个变量之 间的对应关系的方法 (2)图象法：就是用_ _表示两个变量之 间的对应关系的方法 (3)列表法：就是_ _来表示两个变量之 间的对应关系的方法 3构成函数的三要素 (1)函数的三要素是：_，_， _. (2)两个函数相等：如果两个函数的_相同， 并且_完全一致，则称这两个函数相等 数学表达式 图象 列出表格 定义域对应关系 值域 定义域 对应关系 （3 3）. .求函数的定义域应注意：求函数的定义域应注意： f(x)f(x)是分式，则分母不为是分式，则分母不为0 0； f(x)f(x)是整式，则定义域是是整式，则定义域是R R； 偶次方根的被开方数非负；
3、偶次方根的被开方数非负； 0 x 若若f(x)= ,f(x)= ,则定义域则定义域0|xRx 表格形式给出时表格形式给出时, ,定义域就是表格中数的集合定义域就是表格中数的集合. . 4分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这 种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数 5. 函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的 自变 量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那 么就说函数f(x)在区间D上是 如果对于定义域I内某个区间D上的 自变 量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)
4、，那 么就说函数f(x)在区间D上是 (2)单调性与单调区间 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那 么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格 的) ，区间D叫做yf(x)的 任意两个 增函数 任意两个 减函数 单调性 单调区间 （1）.偶函数的定义：偶函数的定义： 如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个 x都有都有f(-x)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. （2）.奇函数的定义：奇函数的定义： 如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一 个个x都有都有f(-x)=-f(x),那么函数那么函数f(x)就
5、叫做奇函数就叫做奇函数. （3）.几个结论几个结论: 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 函数函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条是奇函数或偶函数的一个必不可少的条 件是件是-定义域关于原点对称定义域关于原点对称,否则它是非奇非偶函数否则它是非奇非偶函数. 判断一个函数是否为奇判断一个函数是否为奇(偶偶)函数还可用函数还可用f(-x)f(x)=0 或或 .1 )( )( xf xf 6.奇偶函数定义奇偶函数定义 7.常见幂函数的性质常见幂函数的性质 y=xy=x2y=x3y=x- -1 图象图象 定义域定义域 值域
6、值域 奇偶性奇偶性 单调性单调性 公共点公共点 函数函数 性质性质 1 2 yx R RR R R 0,+) 0,+) 0,+) 0| xx R x 且且 0| yy R y 且且 奇奇奇奇 奇奇 偶偶非奇非偶非奇非偶 0,+)增增 (- -,0减减 (0,+)减减 (- -,0)减减 增增增增增增 (1,1) 类型一 函数的定义域 类型二 求函数的解析式 ( )=xf 例3 已知函数 则()ff 2 5 1, 3 , 11 + + xx xx 类型三 函数的性质及应用 探究1.如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的 单调性是怎样的？ 探究2.要保证分段函数在整个定义域内单调递
7、减，需要满足什么条件？ 解析由x1时，f(x)x22ax2a是减函数，得a1；由x1时，函数 f(x)ax1是减函数，得a0. 分段点x1处的值应满足122a12a1a1， 解得a2.所以2a0. 答案B 规律总结在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保 证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点分段点 处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x1，即需要在 此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件 ()6( )f x 例例 若若函函数数是是定定义义在在R R上上的的偶偶函函数数, ,且且在在 - ,0- ,0 上上是是增增函函数数, ,并并且且
8、 22 (21)(321),.faafaaa求求实实数数 的的取取值值范范围围 (): 解解 由由条条件件知知f f( (x x) )在在 0 0, ,+ +上上是是减减函函数数 2222 1811 212()0,3213()0 4733 aaaaaa而而 2222 (21)(321)21321faafaaaaaa由由 2 30aa03a 例7求f(x)2x24x1(1x1)的值域 解：f(x)2(x1)21， 此函数在1,1上单减，最大值f(1)7，最小值f(1)1， 值域为1,7 例8.函数f(x)的定义域为R R，且对任意x，yR R，有f(xy)f(x)f(y)，且当 x0时，f(x)
9、0时，f(x)0，对其中的x，y不断赋 值 解析(1)令yx，得fx(x)f(x)f(x)， f(x)f(x)f(0) 又f(00)f(0)f(0)， f(0)0，f(x)f(x)0， f(x)f(x)， f(x)是奇函数 (2)任取x1，x2R R，且x1x2， 则f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1) f(x1)f(x1)f(x2x1) f(x2x1) x10， 又当x0时，f(x)0， f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)， 从而f(x)在R R上是减函数 (3)f(x)在R R上是减函数 f(x)在3,3上的最大值是f(3)，最小值是f(3) f(3)f(1)f(2)3f(1)3(2)6， f(3)f(3)6. 从而f(x)在区间3,3上的最大值是6，最小值是6. 达标检测 6626 6 26 6 )(1 x x x xxfx时，当 时，等号成立。即当且仅当6 1 6 x x x x 所以，.662)(的最小值为函数xf
