1、传热学答案全册配套最完整精品课件传热学答案全册配套最完整精品课件 Salle des Actes EXERCICE 1 nquation de la chaleur: nAnalogie lectrique/thermique: qI qDU T Relec I = DU Rth = T nCondition aux limites: convection: qquation de Newton: q=hS(Tp-Tfluide) o qTgraddiv t T C Rdig par Matthieu FENOT RU1 T1 T2 U2 h Tp Tf S nHypothses: qStat
2、ionnaire qEffets de bord ngligeables monodimensionnel qConductivit du verre uniforme qCas du double vitrage: Air inter-paroi immobile EXERCICE 1 he hi hehi X 0 T1=20CT2=0C Ev SH L EXERCICE 1 n Equation de la chaleur dans le verre: nCondition aux limites en convection (Newton): o qTgraddiv t T C o qT
3、graddiv t T C stationnaire Pas de production de chaleur interne 21 TT E S TThS p 1 12 )( 0 Tx E TT xT x T TTgraddiv D EXERCICE 1 n Simple vitrage: nCircuit lectrique quivalent nCalcul des rsistances thermiques nCalcul du flux de chaleur nCircuit lectrique quivalent: Ti=20CTe=0C Sh R i i 1 Sh R e e 1
4、 Sk E R v v v Ev S + - + - EXERCICE 1 n Simple vitrage: nCircuit lectrique quivalent nCalcul des rsistances thermiques nCalcul du flux de chaleur nCalcul des rsistances thermiques: n n n WK Sh R i i /1020 5010 11 4 WK Sh R e e /1067.6 5030 11 4 WK Sk E R v v v /10 501 105 4 3 WTT RRR ei evi 7231 1 E
5、XERCICE 1 n double vitrage: nCircuit lectrique quivalent nCalcul des rsistances thermiques nCalcul du flux de chaleur nCircuit lectrique quivalent: Ti=20C Te=0C Sh R i i 1 Sh R e e 1 S Sk E R v v v 1 Ev Sk E R v v v 2 Sk E R air air air EXERCICE 1 n Calcul des rsistances thermiques: n n n n WK Sh R
6、i i /1020 5010 11 4 WK Sh R e e /1067.6 5030 11 4 WK Sk E R v v v /10 501 105 4 3 WTT RRRR ei airevi 1049 2 1 WK Sk E R air air air /106.1 50025.0 02.0 2 ENSMA EXERCICE 2 : Procd de collage nHypothses: nStationnaire nEffets de bord ngligeables problme monodimensionnel nConductivits uniformes n Procd
7、ure: Circuit lectrique quivalent nDtermination du flux nCalcul des rsistances thermiques nCalcul des potentiels ( tempratures) Ta=21C h h X 0 Ta=21C Ep El+ Ep R S TC =43CTsl Tsp Lige Plastique EXERCICE 2 hh X 0 Ta=21C Ta=21C Ep El+ Ep R S TC =43C Tsl Tsp Gnrateur de flux+ - Gnrateur de temprature Rs
8、istance TC Tsl Tsp R 2 1 + - + - Ta Ta Ra Ra RLRp EXERCICE 2 Sh Ra 1 TC Tsl Tsp R 2 1 Sh R a 1 Sk E R l l l Sk E R p p p Sh R a 1 + - + - Ra= 36 x 10-3 K / W Rp= 1.34 x 10-3 K / W RL= 21.55 x 10-3 K / W Sk E R p p p Sk E R l l l EXERCICE 2 WTT R CTRTTT R Or TT R WTT RR asp a cpspcsp p asp a ac aL R
9、4.627 1 5.43 1 1 2.383 1 1 22 1 2 21 W R 1011 21 Cot de lopration (0.10 / kWh) : 10 h 10110 kWh soit 1011 . Et enYuan ? TC Tsl Tsp R 2 1 + - + - Ta Ta Rp RaRaRL Noter Tsl =34,8C nHypothses: qStationnaire qEffets de bord ngligeables monodimensionnel (L = 0.30 m) qConductivit du mur : k(T)=k0(1+T) k0
10、= 0.2 a= 5 10-3 EXERCICE 3 he=10 W/m2 K X 0 Ti=850CTe=20C L hi = 50 W /m2 K EXERCICE 3 n Equation de la chaleur : nTransformation de KIRCHHOFF: n o qTgradTkdiv t T C stationnaire Pas de production de chaleur interne TgradTkdiv0 dkT T 0 x T Tk x T Tx T 2 2 00 x TgradTkdiv 0 0 x L L nDensit de flux: E
11、XERCICE 3 L C x T x T Tx T TkTgradTk L 0 0 2 2 x L L TT TT L k 0 00 2 1a 20 0 2 T k TkT a a 20 0 2 0 0 000 2 2 0 LLL T k TkLxen T k Tkxen a a a a L briques TT RS 0 1 O en est on ? hehi X 0 Ti=850CTe=20C L On connat Ti, Te , et les hi, he On a montr que : Mais on a aussi : 0 TTh ii eLe TTh On veut tr
12、ouver T0 et TL T0 TL L L TT TT L k 0 00 2 1a EXERCICE 3 nMthode de rsolution: i i ii h TT TTh 0 0 e eL eLe h TT TTh T0 et TL a L L TT TT L k 0 00 2 1 On suppose une valeur pour T0 et TL On calcule la densit de flux : EXERCICE On adopte: T0=820C, Tl= 170.5C et =1505 W/m2 Tableau des rsultats Comment
13、atteindre le champ des tempratures ? Tvaleur k0 T+a k0 T2 /2 x-0/(L-0)L x0,00E+004,47E-022,55E-014,43E-016,09E-017,53E-018,75E-019,75E-011,00E+00 T820800700600500400300200170,5 5,00E+024,80E+023,85E+023,00E+022,25E+021,60E+021,05E+026,00E+014,86E+01 Tlin8207,91E+026,54E+025,32E+024,24E+023,31E+022,5
14、2E+021,87E+02170,5 On dresse le tableau: Rsultats EXERCICE 4 : isolation dun tuyau Vapeur surchauffe Tube mtallique Isolant 1 Isolant 2 Tmax=316C Air ambiant 21C T1=316C rtube r1 r2 T2=100C EXERCICE 4 na) On nglige la rsistance de convection vapeur / Tube et celle de conduction travers la paroi du t
15、ube Tair =21C T1 =316C T2 =100C Ttube =649C 1 1 1 2 ln L r r R tube 2 1 2 2 2 ln L r r R hrL R e 2 2 1 airtube tube TThLrTT r r L TT r r L 2221 1 2 2 1 1 1 2 ln 2 ln 2 air tube tube TThLrTT r r L TT r r L TT r r L 2221 1 2 2 21 1 2 2 1 1 1 2 ln 2 ln 2 ln 2 tube Rintconv R On cherche r1 et r2 EXERCIC
16、E 4 n nRponse: r1= 8.27cm r2= 10 cm 212 11 2 212 2 2 212 11 2 212 11 1 1ln 1 lnln ln TT TT TTh TT r r r TT TT rr TT TT r tube air tube tube tube tube EXERCICE 4 b) Pour L =1m de tuyauterie: c) Pour 1m de tuyauterie WKR WKR WKR WK L r r R WK hLr R e i tube tube ii conv /14. 0 /39. 0 /6 . 0 /1025. 4 2
17、 ln /106 . 5 2 1 2 1 4 3 int hMJWTThLr air /98.15502 22 EXERCICE 5 : Mur avec production de chaleur (source) 3 /26 2 2 mMWTT e h q VqTTSh fs o o fs h h Tf 0 S Ts Ts e/2-e/2 q 1) On connait la temprature de surface Ts=250C On crit alors tout simplement que : flux produit = flux perdu n2) On se donne
18、comme contrainte que la temprature du mur ne doit pas dpasser Tmax=460C x L 0 0 x T Rappel du cours q dx Td q x T 2 2 2 2 0 Donc le champ de temprature est parabolique: T = ax2 +bx +c En x = 0 En x = L 0 x T L fL x T TTh 2 22 1 2L xLq h Lq TxT f Mise en uvre 3 2 max 2 max 2 2 /1.37 2 2 2 1 460 2 22
19、0 2 22 mMWq h ee TTq CT h e q eq TT T h e q x eq xT o f o f o o f o o EXERCICE6 : fil lectrique avec sa gaine plastique: n Tube de cuivre Isolant plastique Air ambiant n Procdure: nRelier T1 et avec le Circuit lectrique quivalent nRsoudre lquation de la chaleur dans le cuivre pour introduire Tmax nD
20、terminer h Te=20C e r1 T1 Te=20C T1 T2 pl pl Lk r er R 2 ln 1 1 herL R e 1 2 1 ? VqIR lectrique 2 Et dans le cuivre ? o cu qTgradkdiv t T C stationnaire 1 22 1 4 T k rrq T cu o Rappel de cours h,Tf R q q dr dT r dr d r q dr dT rdr Td 1 0 1 2 2 2)( 1 4 1 2 2 2 CrLnC rq T C rq dr dT r 111 )( 0TrTetC R
21、elation T1, Te=20C T1 T2 pl pl Lk r er R 2 ln 1 1 herL R e 1 2 1 1 1 1 eple e epl RRTT TT RR LrqRRT k rrq T o eple cu o 2 1 22 1 4 1 22 1 4 T k rrq T cu o 1eple RRTT LrqVq oo 2 1 Quavons-nous obtenu jusquici ? On peut donc en dduire pour T : Fin du calcul de I LrqRRT k rq rTT o eple cu o 2 1 2 1 max
22、 4 0 A SR I mWR mLpouretmW V q lectrique o 9.17 /74.1I 1 /316554 2 3 LrRR k r TT q epl cu e o 2 1 2 1 max 4 Variante 1 22 1 4 T k rrq T cu o Dans le cuivre, de : On peut dduire: cucu o cu o cu o Lkk L V q k rq TT odT k rq T 444 : , 4 2 1 1max 1 2 1 max On peut alors poser: CuCuCu LkGavecTTG4 ),( 1ma
23、x TmaxT1 GCu Vision du cuivre: rseau Te=20C T1 T2 pl pl Lk r er R 2 ln 1 1 herL R e 1 2 1 Tmax GCu 1 1max 2 )( eplCulectrique RRRTTIR 2 3 4 /7,5 ,9,17 10 43,5 / 485,11 / 61,10 / 874,0 /10 99, 1 1 mmAdedensitunesoitAI R WmKRRRR WmKR WmKR WmK G R lectrique eplCuT e pl Cu Cu EXERCICE 7 nSituation sans
24、ailette: eau h Te=132C e r1 T1 1 22 1 4 T k rrq T cu o Te =132C T1 T3 a Lk r er R 2 ln 1 1 2 hS R 1 3 T2 1 2 1 rL rR ugc LrqRRRT k rq rT o ce cu o 2 132 2 1 4 0 1 22 1 4 T k rrq T cu o CrT NumriquenApplicatio 7090 Te=132C Te =132C T1 T3 a Lk r er R 2 ln 1 1 2 hS R 1 3 T2 1 2 1 rL rR ugc T1=300.9C T3
25、 = 285.2C T2=291.4C Tmax =709C Uranium ContactGaine Convection R1=1/4ku RcR2 R3 T1=300.9C T3 = 285.2C T2=291.4C Tmax =709C Uranium ContactGaine Convection R1 RC R2 Re Pour L = 1 m de hauteur, 13 321 13 3 13 13 2 13 1 2 1 10 84.3 10 02.1 10 06.0 10 04.0 10 72.2 / 150391 KmWRRRRR KmWR KmWR KmWR KmWR m
26、WLrP cT c Rc = rc /S Te = 132C Situation avec ailettes: Premier cas : ailettes sous forme daiguilles qCalcul du Flux vacu par 1 aiguille a hp m mx )exp( 0 00 ahpmaQ On suppose lailette de longueur infinie Avec 0 = T3-Te, il vient: Q # 28 W qLongueur L pour justifier lhypothse de longueur infinie )(1
27、mLth Q QQ L th mL = 0.99 mL = 2.65 m =197 m-1 L = 13.4 mm qNombre daiguilles ncessaires par m2 pour que la temprature ne dpasse pas Tmax = 600C S n ailettes par unit de surface A section L suppose infinie Sa = (nS) a T3 Te Surface non ailete ailettes RS Ra )1( 1 )( 1 nahSSSh R a S ahpnS R a 1 Rsista
28、nce de la partie sans ailettes Rsistance de la partie avec ailettes Do la rsistance convective totale 1 11 aS RR R On cherche ce que Tmax 1150 aiguilles par cm2, soit 40 % de la surface EXERCICE 8 Mthode numrique en stationnaire De nombreuses symtries conduisent ninstaller que 12 noeuds h1= 17,2 W /
29、 m2 K h2= 68,7 W / m2 K = 1.72 W/mK Dx = Dy =,0,15 m = D h1 h2 Distinguons : Les nuds intrieurs (2,5,8,11) Les nuds de coin externe (12) et interne (9) Les nuds de surface (1,4,7,10 et 3, 6) Nuds intrieurs,2,5,8,11: T1+T3+T5+T5-4T2 =0 T4+T6+T8+T2-4T5 =0 T7+T9+T5+T11-4T8=0 T10+T10+T8+T8-4T11=0, soit
30、encore: T1+T3+2T5-4T2 =0 T4+T6+T8+T2-4T5 =0 T7+T9+T5+T11-4T8=0 T10+T8-2T11=0, Nud de coin externe (12) Q3 12 13 (=10) 10 Q1 Q3 Q2 )( 2 2 2 2 123 1210 2 1210 1 TTLhQ TTL Q TTL Q D D D D D 5 , 1 0 01 0 1210 D D D h etT T h T h T Q i i 05 , 2 1210 TT Nud de Coin interne 9 6 6 11 8 8 Raisonnement simila
31、ire T6+2 T8+330 -9 T9=0 Nud de paroi B C A T Q1 Q3 Q2 Q4 T D D D D D D D TT LQ TT LQ TT LQ TTLhQ C B A 2 2 )( 4 3 2 1 0 2 4 2 2 D D T h T h TTT CBA 0 2 4 2 2 D D T h T h TTT CBA Do le systme de 12 quations 2T2+2T4-7T1=0 T1+T3+2T5-4T2 =0 T2+T6+330-8T3=0 T1+2T5+T7-7T4=0 T4+T6+T8+T2-4T5 =0 T3+2T5+T9+66
32、0-16T6=0 T4+2T8+T10-7T7=0 T7+T9+T5+T11-4T8=0 T6+2T8+330-9T9=0 T7+2T11+T12-7T10=0 T10+T8-2T11=0 T10-2,5T12=0 On dmarre en initialisant toutes les tempratures 0. Puis on poursuit par un procdure de Gauss Seidel Itration012345678910111213 T10002,955,637,5698,8489,84610,51111,311,611,711,9 T20010,316,82
33、123,8225,9527,2628,42929,629,930,230,4 T3041,2546,448,349,350,0150,4350,765151,151,251,351,451,4 T40002,955,487,1498,5169,33910,110,510,911,111,311,4 T50010,316,420,223,124,8826,427,328,128,62929,229,5 T6041,2546,14849,149,6650,1350,4150,750,850,95151,151,1 T70002,624,15,846,7667,7338,268,799,099,38
34、9,549,69 T8009,1712,916,918,8921,0222,1723,32424,62525,325,5 T9036,6741,343,844,945,8646,3846,9147,247,547,647,847,948 T1000001,682,4283,5794,1514,825,185,555,765,976,08 T110004,586,459,27110,6612,313,214,114,615,115,415,6 T12000000,6730,9711,4321,661,932,072,222,32,39 T112,19 T230,93 T351,52 T411,7
35、5 T530 T651,23 T710,06 T826,12 T948,16 T106,457 T1116,29 T122,582 Converge vers: Le flux D D D 9 6 3 2 2 2 8 TT TT TT Lh = 736 W/m T 2 T 1 T 5 T 4 T 3 Tf2 L DL=L/ N S(T2-T1)/DL=0 S(T2-T1)/DL+ S(T3- T2)/DL =0 S(T3-T2)/DL+ S(T4- T3)/DL =0 S(T4-T3)/DL+ S(T5- T4)/DL =0 -S(T5-T4)/DL+hS(Tf2- T5) =0 T1=T2
36、T2=T3 T3=T4 T4=T5 T5=Tf2 Tout le mur est Tf2: vident ! T 2 T 1 T 5 T 4 T 3 L DL=L/ N 10 0 W/m 2 S(T2-T1)/DL=0 S(T2-T1)/DL+ S(T3- T2)/DL =0 S(T3-T2)/DL+ S(T4- T3)/DL =0 S(T4-T3)/DL+ S(T5- T4)/DL =0 -S(T5-T4)/DL+ S =0 T1=T2 T2=T3 T3=T4 T4=T5 T4=T5- DL/ Pas de solution stationnaire: Le flux apport ne p
37、eut pas svacuer ! T 2 T 1 T 5 T 4 T 3 Tf2, h2 L DL=L/ N Tf1, h1 W/m2 S(T2-T1)/DL + h1 (Tf1- T1)=0 S(T2-T1)/DL+ S(T3- T2)/DL =0 S(T3-T2)/DL+ S(T4- T3)/DL =0 S(T4-T3)/DL+ S(T5- T4)/DL =0 -S(T5-T4)/DL+ h2 (Tf2-T5) + S =0 T1 T2/(1+Bi1) = Bi1 Tf1/(1 + Bi1) T1- 2 T2 + T3 = 0 T2- 2 T3 + T4 = 0 T3- 2 T4 + T
38、5 = 0 -T4/(1+ Bi2) + T5 = Bi2 Tf2 /(1 + Bi2) + DL/ =0 Bi1= h1 DL / Bi2= h2 DL / AT = B A = 1 -1/(1+Bi1) 0 0 0 2 -2 1 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 - 1/(1+Bi2) 1 Bi1 Tf1/(1 + Bi1) 0 0 0 Bi2 Tf2 /(1 + Bi2) + DL/ l =0 B = Voir Tableau Excel Raisonner Rseau T 2 T 1 T 5 T 4 T 3 Tf2, h2 L DL=L/ N Tf1,
39、h1 W/m2 Q5 = S 2 1 T1 T5Tf1 + - + - Tf 2 Rv2R C Rv1 Q5 2 1 T1 T5Tf1 + - + - Tf 2 Rv2R C Rv 1 Q 5 Rv1 = 1/ h1 S Rv2 = 1/ h2 S Rc = L/ S Gv1 = 1 / Rv1 Gv2 = 1 / Rv2 Gc = S / L Gv1 (Tf1-T1) + Gc (T5-T1) = 0 Gc (T1 T5) + Gv2 (Tf2- T5) +Q5 = 0 -(Gv1 +Gc)T1 + Gc T5 = - Gv1 Tf1 Gc T1 (Gv2 + Gc)T5) = - Gv2
40、Tf2 -Q5 A T = B 1 = Gv1 (T1- Tf1) 2 = Gv2 (T5- Tf2) EXERCICE 9 TREMPE DUN CYLINDRE T(x,r,t) ? h;Tf h;Tf h;Tf h;Tf Ti X h;Tf Ti h;Tf h;Tf adiabatique 2L L Ro i f fo o TtrxT TtrLTh x trLxT TtRxTh r tRrxT r trxT x trxT r T rr T x T t T c 0, , , , , 0 ,0, 0 ,0 1 2 2 2 2 TREMPE DUN CYLINDRE h;Tf Ti h;Tf
41、h;Tf adiabatique L Ro n Adimensionnement: TREMPE DUN CYLINDRE fi f TT TT (x,r,t)=f(x,t).g(r,t) f(x,t)=(x).(t) Mur plan g(r,t)=k(r).l(t) Cylindre infini Conditions aux limites hLUUdesolutionU UUU U L x Uef k kkk k k L at U k tan cossin sin cos2 0 2 k(r)l(t) Conditions aux limites ok kk k o ko R at hR
42、JJdesolution JJ J R r Jeg o k 10 0 2 1 2 0 1 2 (X)(t) TREMPE DUN CYLINDRE nRappels: q nombre de Biot: q nombre de Fourier: n(x,r,t)=f(x,t).g(r,t): hLUUdesolutionU UUU U L x Uef k kkk k k L at U k tan cossin sin cos2 0 2 ok kk k o ko R at hRJJdesolution JJ J R r Jeg o k 10 0 2 1 2 0 1 2 hD Bi X at Fo
43、 oo RLRL o BiBiFoFo R r L x fonction, ABAQUES DE HEISSLER nAbaques: premier terme des sries de Fourier Il faut que les autres termes soient ngligeables devant le premier Fo 0.2 nGrandeurs connatre: qFoL qFoR0 qBiL qBiR0 qx/L qr/R0 86.0 hL Bi 84.0 L at Fo 47.0 0 R at Fo 15.1 o hR Bi ABAQUES DE HEISSL
44、ER nFigure 5.7: temprature au centre dun mur 0 plan / i : nFigure 5.10: temprature au centre dun cylindre infini 0 cylindre / i : nCorrection de position: (x)/ 0 plan ou (r)/ 0 cylindre cylindre fi f plan fi f fi f TT TT TT TT TT TT plan/ i cylindre/ i 2L X nLes abaques plan et cylindre CKT cylindre
45、 i plan ii cylindre i plan i 5.1386.411180,0,0 6.062.0 180,0,0 6.0 62.0 00 0 0 ABAQUES DE HEISSLER T(0,0,t=180s) CKT cylindre i plan ii cylindre i plan i 5.1386.411180,0,0 6.062.0 180,0,0 6.0 62.0 00 0 0 T(L,0,t=180s) CTL L plan LX plan i cylindre ii plan LX cylindre i plan i 103180,0, 180,0, 68.06.
46、062.0 68.0 6.0;62.0 0 00 0 00 T(L,Ro,t=180s) CKT cylindre Lx cylindre i plan Rr plan ii oRL 73346180,RoL, 68. 061. 06 . 062. 0 0 0 0 00 180, T(0,Ro,t=180s) CTR R cylindre Ror cylindre i plan ii cylindre Ror cylindre i plan i 95180, 0 ,0 180, 0 ,0 61.06.062.0 61.0 6.0;62.0 0 00 0 00 103 73 138.5 95 D
47、 = 43.5 D = 30 Ce diffrentiel de gradient thermique est de nature induire des contraintes mcaniques ! Exercice 10: Etude dun Thermocouple T0 D t Ambiant e T0 T a k = 20 W / m K = 8500 kg / m3 c = 400 J / kg K T0 = 25 C Ta = 200 C h = 400 W / m2 K Premier rflexe : valuons le nombre de Biot isothermeB
48、i R R R L hL Bi c c 13510. 2 34 3 4 4 2 3 Nous pouvons donc appliquer la mthode de la capacit localise (rsistance interne ngligeable) et la mise en quation scrit : h cD hS cV avecTT dt dT soitTThS dt dT cV a a 6 , , 1) Calcul du diamtre D pour obtenir une constante de temps = 1 s c h D vientil h cD
49、deantPar 6 : , 6 t Application numrique : D= 0,71 mm 2) La solution de 0 ) 0( ,TtTavecTT dt dT a ),/exp()( :tATTcrits a La condition initiale permet didentifier A = T0 Ta , do : )/exp( 0 t TT TT a a ou encore : )/exp( 00 tTTTT a 0 T )/exp( 00 tTTTT a T0 = 25 C Ta = 200 C a a TT TT u 0 t / u 1 0,3 7
50、2 0,1 4 3 0,0 5 4 0,0 2 0,0 1 Ecart par rapport lasympt ote UT 1C1 / 1755,2 0,1C0,1/1757,5 )/exp( 0 t TT TT u a a Exercice 11: Etude dun Fusible t Intensit (A) 0 10 k = 35 W / m K = 11300 kg / m3 c = 130 J / kg K T0 = Ta = 20 C h = 10 W / m2 K D = 1 mm L = 4 cm Tfusion = 327 C lec = 20 10 -8 Wm D L
