1、第第 1 讲讲绝对值不等式绝对值不等式 1.设函数 f(x)|2x1|x4|. (1)解不等式 f(x)2； (2)求函数 yf(x)的最小值. 解(1)法一令 2x10，x40 分别得 x1 2，x4. 原不等式可化为： x1 2， x52 或 1 2x4， 3x32 或 x4， x52. 即 x1 2， x7 或 1 2x4， x5 3 或 x4， x3， x7 或 x5 3. 原不等式的解集为 x|x7 或 x 5 3 . 法二f(x)|2x1|x4| x5 x1 2 3x3 1 2x4 x5 （x4） 画出 f(x)的图象，如图所示. 求得 y2 与 f(x)图象的交点为(7，2)，
2、5 3，2. 由图象知 f(x)2 的解集为 x|x7 或 x 5 3 . (2)由(1)的法二图象知：当 x1 2时， 知：f(x)min9 2. 2.(2017长沙一模)设，均为实数. (1)证明：|cos()|cos|sin|，|sin()|cos|cos|； (2)若0，证明：|cos|cos|cos|1. 证明(1)|cos()|coscossinsin| |coscos|sinsin|cos|sin|； |sin()|sincoscossin|sincos| |cossin|cos|cos|. (2)由(1)知，|cos()|cos|sin()|cos|cos| |cos|， 而0
3、，故|cos|cos|cos|1. 3.(2016镇江模拟)已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求|2ab|2ab| |a| 的最小值； (2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数 x 的取值范围. 解(1)|2ab|（2ab） |a| |2ab2ab| |a| |4a| |a| 4，|2ab|2ab| |a| 的 最小值为 4. (2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2 x|2ab|2ab| |a| 恒成立， 故|2x|2x| |2ab|2ab| |a| min . 由(1)可知，|2ab|2ab| |a| 的最小值为 4.
4、x 的取值范围即为不等式|2x|2x|4 的解集. 解不等式得2x2. 故实数 x 的取值范围为2，2. 4.(2017广州二测)已知函数 f(x)log2(|x1|x2|a). (1)当 a7 时，求函数 f(x)的定义域； (2)若关于 x 的不等式 f(x)3 的解集是 R，求实数 a 的最大值. 解(1)由题设知|x1|x2|7， 当 x2 时，得 x1x27，解得 x4. 当1x2 时，得 x12x7，无解. 当 x1 时，得x1x27，解得 x3. 函数 f(x)的定义域为(，3)(4，). (2)不等式 f(x)3， 即|x1|x2|a8， 当 xR 时， 恒有|x1|x2|(x
5、1)(x2)|3， 又不等式|x1|x2|a8 的解集是 R， a83，即 a5， a 的最大值为5. 5.设函数 f(x)2|x1|x1， g(x)16x28x1.记 f(x)1 的解集为 M， g(x)4 的解集为 N. (1)求 M； (2)当 x(MN)时，证明：x2f(x)xf(x)21 4. (1)解f(x) 3x3，x1，） ， 1x，x（，1） 当 x1 时，由 f(x)3x31， 得 x4 3，故 1x 4 3； 当 x1 时， 由 f(x)1x1 得 x0，故 0 x1. 所以 f(x)1 的解集为 Mx|0 x4 3. (2)证明由 g(x)16x28x14 得 16 x
6、1 4 2 4，解得1 4x 3 4.因此 N x|1 4x 3 4 ， 故 MN x|0 x3 4 . 当 x(MN)时，f(x)1x，于是 x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x)1 4 x1 2 2 1 4. 6.(2017郑州模拟)已知函数 f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2. (1)解不等式：|g(x)|5； (2)若对任意的 x1R，都有 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范 围. 解(1)由|x1|2|5，得5|x1|25， 所以7|x1|3， 解不等式得2x4， 所以原不等式的解集是x|2x4. (2)因为对任意的 x1R， 都有 x2R， 使得 f(x1)g(x2)成立， 所以y|yf(x)y|y g(x)， 又 f(x)|2xa|2x3|2xa(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以 |a3|2， 解得 a1 或 a5， 所以实数 a 的取值范围是a|a1 或 a5.
