1、课时作业(四十四)直线、平面平行的判定与性质 基础过关组 一、单项选择题 1下列关于线、面的四个命题中不正确的是() A平行于同一平面的两个平面一定平行 B平行于同一直线的两条直线一定平行 C垂直于同一直线的两条直线一定平行 D垂直于同一平面的两条直线一定平行 解析垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面。本题可以以正方体为例证明。 答案C 2若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长分别是 8,12，过 AB 的中点 E 且平行于 BD，AC 的 截面四边形的周长为() A10B20C8D4 解析设截面四边形为 EFGH，F，G，H 分别是 BC，CD，DA 的中点，
2、所以 EFGH4，FGHE6。 所以周长为 2(46)20。 答案B 3在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 上的点，且 AEEBAFFD14，H，G 分别是 BC，CD 的中点，则() ABD平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形 BEF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 CHG平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形 DEH平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形 解析如图，由条件知，EFBD，EF1 5BD，HGBD，HG 1 2BD，所以 EFHG，且 EF 2 5HG，所 以四边形 EFGH 为梯形。因为 EFBD，EF平面 BCD，BD平面 B
3、CD，所以 EF平面 BCD。因为四边形 EFGH 为梯形，所以线段 EH 与 FG 的延长线交于一点，所以 EH 不平行于平面 ADC。故选 B。 答案B 4.(2021衡水中学调研卷)如图，P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 为 AD 的中点，F 为 PC 上一 点，当 PA平面 EBF 时，PF FC( ) A.2 3 B.1 4 C.1 3 D.1 2 解析连接 AC 交 BE 于点 G，连接 FG，因为 PA平面 EBF，PA平面 PAC，平面 PAC平面 BEF FG，所以 PAFG，所以PF FC AG GC。又 ADBC，E 为 AD 的中点，所以 AG GC AE
4、 BC 1 2，所以 PF FC 1 2。 答案D 5在三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是棱 AB 的中点，动点 P 是侧面 ACC1A1(包括边界)上一点。若 EP平面 BCC1B1，则动点 P 的轨迹是() A线段B圆弧 C椭圆的一部分D抛物线的一部分 解析如图所示，分别取 AC，A1C1，A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，FN。 因为 E 为 AB 的中点，所以 NEBC 且 NE1 2BC， 同理 FMB1C1，且 MF1 2B 1C1， 所以 N，E，M，F 四点共面。 因为 MEBB1，NEBC， 所以 ME平面 BCC1B1，NE平面 BCC1B1， 而 NE
5、MEE，所以平面 NEMF平面 BCC1B1，而 EF平面 NEMF，所以 EF平面 BCC1B1， 所以要使 EP平面 BCC1B1， 则动点 P 的轨迹为线段 FN。 答案A 二、多项选择题 6设，为平面，a，b 为直线，下列条件能推出的是() Aa，b，a，b B， C， Da，b，ab 答案BD 7(2021沈阳市质量监测)已知 a，b 为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法中正确 的是() A若 a，则 a B若，则 C若 a，b，则 ab D若，则 解析若 a，则 a 可能平行于，也可能在内，故 A 不正确；若，则由面面平行的 性质知，故 B 正确；若 a，b，则由线面垂直
6、的性质知 ab，故 C 正确；若，则与 可能平行也可能相交，故 D 不正确。综上所述，故选 BC。 答案BC 8.(2021安徽江南十校素质检测)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，P，Q 分别为棱 AB， C1D1，D1A1，D1D，C1C 的中点。则下列叙述中正确的是() A直线 BQ平面 EFG B直线 A1B平面 EFG C平面 APC 与平面 EFG 相交 D平面 A1BQ平面 EFG 解析过点 E，F，G 的截面如图所示(H，I 分别为 AA1，BC 的中点)，则 BQ 和平面 EFG 相交于点 Q， 故 A 错误；因为 A1BHE，A1B平面 EFG，HE
7、平面 EFG，所以 A1B平面 EFG，故 B 正确；AP平面 ADD1A1，HG平面 ADD1A1，延长 HG 和 AP 必相交，故平面 APC 和平面 EFG 相交，故 C 正确；平面 A1BQ 与平面 EFG 有公共点 Q，故平面 A1BQ 和平面 EFG 相交，故 D 错误。故选 BC。 答案BC 三、填空题 9 在四面体ABCD中， M， N分别是ACD， BCD的重心， 则四面体的四个面中与MN平行的是_。 解析连接 AM 并延长交 CD 于点 E，连接 BN 并延长交 CD 于点 F。由重心的性质可知，E，F 重合为 一点，且该点为 CD 的中点 E。由EM MA EN NB 1
8、 2，得 MNAB。因此 MN平面 ABC 且 MN平面 ABD。 答案平面 ABC 和平面 ABD 10在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1上的点， 则点 Q 满足条件_时，有平面 D1BQ平面 PAO。 解析如图所示，当 Q 为 CC1的中点时，因为 P 为 DD1的中点，所以 QBPA。连接 DB，因为 P，O 分别是 DD1，DB 的中点，所以 D1BPO，又 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，所以 D1B平面 PAO，QB平 面 PAO，又 D1BQBB，所以平面 D1BQ平面 PAO。故当 Q 为 CC1
9、的中点时，平面 D1BQ平面 PAO。 答案Q 为 CC1的中点 11.如图，在四面体 ABCD 中，ABCD2，直线 AB 与 CD 所成的角为 90，点 E，F，G，H 分别在棱 AD，BD，BC，AC 上，若直线 AB，CD 都平行于平面 EFGH，则四边形 EFGH 面积的最大值是_。 解析因为直线 AB 平行于平面 EFGH， 且平面 ABC平面 EFGHHG， 所以 HGAB。 同理， EFAB， FGCD，EHCD。所以 FGEH，EFHG。故四边形 EFGH 为平行四边形。 又 ABCD，所以四边形 EFGH 为矩形。设BF BD BG BC FG CDx(0 x1)，则 FG
10、2x，HG2(1x)，S 四 边形EFGHFGHG4x(1x)4 x1 2 21，根据二次函数的图象与性质可知，四边形 EFGH 面积的最大值 为 1。 答案1 四、解答题 12如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是棱 AD，PC 的中点。证明：EF 平面 PAB。 证明如图，取 PB 的中点 M，连接 MF，AM。因为 F 为 PC 的中点，故 MFBC 且 MF1 2BC。由已知 有 BCAD， BCAD。 因为 E 为 AD 的中点， 即 AE1 2AD 1 2BC， 所以 MFAE 且 MFAE， 故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EFAM。又
11、AM平面 PAB，而 EF平面 PAB，所以 EF平面 PAB。 13.(2021河北唐山质检)如图， 四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形， M， N， G 分别是 AB， AD， EF 的中点。求证： (1)BE平面 DMF； (2)平面 BDE平面 MNG。 证明(1)设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE(图略)， 则 AE 必过点 O，且 O 为 AE 的中点，连接 MO， 则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO。 因为 BE平面 DMF，MO平面 DMF， 所以 BE平面 DMF。 (2)因为 N，G 分别为 AD，EF 的中点，四边形 ADEF 为平行四
12、边形，所以 DEGN。 因为 DE平面 MNG，GN平面 MNG， 所以 DE平面 MNG。 因为 M 为 AB 的中点，N 为 AD 的中点， 所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN。 因为 BD平面 MNG，MN平面 MNG， 所以 BD平面 MNG。 因为 DEBDD，BD，DE平面 BDE， 所以平面 BDE平面 MNG。 素养提升组 14在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q 分别为 AB，AD 的中点，过点 D 作平面使 B1P平面，A1Q 平面。若直线 B1D1平面M，则MD1 MB1的值为( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析如图所示，设平面
13、分别交 A1D1，C1D1于点 E，F，连接 DE，DF，EF，取 CD 的中点 G，连接 PG，C1G，连接 A1C1交 B1D1于点 N。因为四边形 ABCD 为正方形，P，G 分别为 AB，CD 的中点，所以 PG BC 且 PGBC。因为 B1C1BC 且 B1C1BC，所以 PGB1C1且 PGB1C1，则四边形 B1C1GP 为平行四边 形，所以 B1PC1G。因为 B1P平面，所以存在直线 a平面，使得 B1Pa。若 C1G平面，则 G平 面，又 D平面，则 CD平面，此时，平面为平面 CDD1C1，直线 A1Q 不可能与平面平行，所以 C1G 平面，所以 C1Ga，所以 C1G
14、平面。因为 C1G平面 CDD1C1，平面 CDD1C1平面DF，所以 DF C1G。因为 C1FDG，所以四边形 C1GDF 为平行四边形，可得 C1FDG1 2CD 1 2C 1D1，所以 F 为 C1D1 的中点，同理可证 E 为 A1D1的中点。因为 B1D1EFM，所以 MD11 2D 1N1 4B 1D1，因此，MD1 MB1 1 3。 答案B 15 (2020南昌二模)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，PD平面 ABCD， PD6， E 为 PD 中点，过 EB 作平面分别与线段 PA，PC 交于点 M，N，且 AC，则PM PA _，四边形 EM
15、BN 的面积为_。 解析延伸平面，交 AC 所在的平面 ABCD 于 RS，即平面平面 ABCDRS，又 B平面，B平面 ABCD，所以 BRS，即 R，S，B 三点共线，又 AC，由线面平行的性质定理可得 ACRS，则ARB ABR 4，即 ARAB，所以点 A 为 RD 的中点，E 为 PD 中点，则 PDRD6，DADE3，PDAADP 2，所以PADRED，所以MPEMRA，又PMERMA，PERA，所以PMERMA，则 MEMA， 过 M 作 MKPD， 交 PD 于点 K， 所以PM PA MK AD 2MK DR 2ME RE 2MA PA ， 则 PM2MA， 所以PM PA
16、2MA 3MA 2 3。所以 MN 2 3AC2 2，因为 ACBD，ACPD，BDPDD，所以 AC平面 PBD，所以 MN平面 PBD，所以 MNBE，所以四边形 EMBN 的面积为 S1 2MNBE 1 22 23 33 6。 答案 2 3 3 6 16(2021河北沧州质检)如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADCB，AD2CB4，ABC120，E 为 AD 的中点。现分别沿 BE，EC 将ABE 和ECD 折起，使得平面 ABE平面 BCE，平面 ECD平面 BCE， 连接 AD，如图。 (1)若在平面 BCE 内存在点 G，使得 GD平面 ABE，请问点 G 的轨迹是什么图形？并说明
17、理由。 (2)求平面 AED 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值。 解(1)点 G 的轨迹是直线。 理由：如图，分别取 BC 和 CE 的中点 N 和 M，连接 DM，MN，ND，则 MNBE。 又 MN平面 ABE， BE平面 ABE， 所以 MN平面 ABE。 依题意有ABE，BCE， ECD 均为边长为 2 的正三角形， 所以 MDCE。 又平面 ECD平面 BCE，则 MD平面 BCE。 又平面 ABE平面 BCE，所以 MD平面 ABE。 所以平面 NMD平面 ABE，则点 G 的轨迹是直线 MN。 (2)如图，以点 M 为坐标原点，MB 所在直线为 x 轴， MC 所在直线为 y 轴，MD 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 E(0，1,0)，D(0,0， 3)，A 3 2 ，1 2， 3， 所以EA 3 2 ，1 2， 3，ED (0,1， 3)。 设平面 AED 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nED y 3z0， nEA 3 2 x1 2y 3z0。 令 z 3，得 n( 3，3， 3)。 取平面 BCE 的一个法向量为 m(0,0，1)， 则 cosn，m nm |n|m| 5 5 ， 所以平面 AED 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值为 5 5 。
