1、第第 3 课时课时正弦函数、余弦函数的性质的综合问题正弦函数、余弦函数的性质的综合问题 学习目标1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质.2.能够解决简 单的函数性质的综合问题 导语 同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究 的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效帮助我们解决问题，整体代换思想是 我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函 数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、 对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体
2、代换的数学思想 一、形如 yasin2xbsin xc(a0)型函数的最值(值域)问题 问题 1求二次函数的最值，需要明确哪些方面？ 提示开口方向，对称轴，函数的定义域 问题 2同角三角函数的平方关系是什么？ 提示sin2cos21. 例 1函数 ycos2x2sin x2，xR 的值域为_ 答案4,0 解析因为 ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2. 又1sin x1，所以4y0， 所以函数 ycos2x2sin x2，xR 的值域为4,0 延伸探究 1 把本例中“xR”变为“x 6， 2 3 ”， 求函数的最大值和最小值及取得最值时的 x 的值 解由例题解答
3、可知 y(sin x1)2，因为 x 6， 2 3 ，所以1 2sin x1，所以当 sin x1， 即 x 2时，y max0；当 sin x1 2，即 x 6时，y min1 4. 2本例函数变为 ysin2x2cos x2，xR，求函数的值域 解因为 ysin2x2cos x21cos2x2cos x2cos2x2cos x1(cos x1)2，又 1cos x1，所以函数的值域为4,0 反思感悟求 yasin2xbsin xc(a0)型函数最值(值域)的方法 形如 yasin2xbsin xc(a0)型，可利用换元思想，设 tsin x，转化为二次函数 yat2 btc 求最值t 的范
4、围需要根据定义域来确定若 f(x)asin2xbcos xc，还需利用同角三 角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值 跟踪训练 1函数 f(x)sin2x 3cos x3 4 x 0， 2的最大值是_ 答案1 解析f(x)sin2x 3cos x3 4 x 0， 2，f(x)1cos2x 3cos x3 4，令 cos xt，则 t0,1，则 yt2 3t1 4 t 3 2 21，则当 t 3 2 ，即 x 6时，f(x)取得最大值 1. 二、正弦函数、余弦函数的对称性 问题 3正弦函数 ysin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中 心，除原点外，正弦曲线还有其他对
5、称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ 提示有，(k，0)(kZ) 问题 4正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？ 提示是轴对称图形，方程为 x 2k(kZ) 问题 5类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？ 提示对称轴方程是 xk(kZ)，对称中心的坐标为 2k，0(kZ) 例 2函数 ysin 2x 3 的图象的对称轴是直线_，对称中心是_ 答案xk 2 12(kZ) k 2 6，0(kZ) 解析要使 sin 2x 3 1，必有 2x 3k 2(kZ)，x k 2 12(kZ)， 故函数 ysin 2x 3 的图象的对称轴是直线 xk 2
6、12(kZ) 函数 ysin 2x 3 的图象与 x 轴的交点为对称中心，令 y0，即 sin 2x 3 0， 2x 3k(kZ)，即 x k 2 6(kZ) 故函数 ysin 2x 3 的图象的对称中心是 k 2 6，0(kZ) 反思感悟正弦曲线、 余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、 余弦曲线的最高点或最低点， 即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲 线、余弦曲线与 x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为 0.考查了整体代换的数学思想 跟踪训练 2求函数 y2sin 2x 4 的对称轴、对称中心 解y2sin 2x 4 2sin 2x 4 ， 令
7、2x 4 2k，kZ，得 x 3 8 k 2 ，kZ， 所以函数 y2sin 2x 4 的对称轴为 x3 8 k 2 ，kZ， 对称中心的横坐标满足 2x 4k，kZ，即 x 8 k 2 ，kZ. 所以函数 y2sin 2x 4 的对称中心为 8 k 2 ，0 ，kZ. 三、函数性质的综合应用 例 3若函数 yf(x)同时满足下列三个性质：最小正周期为；图象关于直线 x 3对称； 在区间 6， 3 上单调递增，则 yf(x)的解析式可以是() Aysin 2x 6Bysin x 2 6 Cycos 2x 6Dycos 2x 3 答案A 解析逐一验证，由函数 f(x)的周期为，故排除 B； 又因
8、为 cos 2 3 6 cos 20， 所以 ycos 2x 6 的图象不关于直线 x 3对称，故排除 C； 令 22x 6 2，得 6x 3， 所以函数 ysin 2x 6 在 6， 3 上单调递增 反思感悟研究三角函数的几个方面 整体研究三角函数的性质，我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调 性、最值、值域等几个方面综合考虑 跟踪训练 3函数 f(x)sin 2x 2 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 x 8对称，则关于函数 g(x)以下说法正确的是() A最大值为 1，图象关于直线 x 2对称 B在 0， 4 上单调递减，为奇函数 C在 3 8 ， 8 上单调递增，
9、为偶函数 D周期为，图象关于点 3 8 ，0 对称 答案B 解析函数 f(x)sin 2x 2 的图象与函数 g(x)的图象关于直线 x 8对称， 所以 g(x)f 4x sin 22x 2 sin 2x，所以 g(x)在 0， 4 上单调递减，为奇函数 1知识清单： (1)形如 yasin2xbsin xc(a0)型函数的最值(值域)问题 (2)正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心 (3)函数性质的综合运用 2方法归纳：整体代换、换元法 3常见误区：二次函数的最值问题 1已知函数 ysin(2x)的图象关于点 6，0对称，则可以是() A 6 B. 6 C 3 D. 3 答案C 解析因为函数
10、 ysin(2x)的图象关于点 6，0对称，所以 2 6k(kZ)，解得 k 3(kZ)当 k0 时， 3. 2已知函数 y4cos x 的定义域为 3，值域为a，b，则 ba 的值是() A4B42 3 C6D42 3 答案C 解析函数 y4cos x 的定义域为 3，函数在 3，上单调递减当 x 3时，y 4cos 34 1 22，即函数的最大值 b2；当 x时，y4cos 4，即函数的最小值 a 4，则 ba2(4)6. 3已知直线 x 3和 x 2 3 是曲线 f(x)sin(x)()的两条对称轴，且函数 f(x)在 2， 2 3 上单调递减，则的值是() A 2 B0C. 2 D 答
11、案A 解析由 f(x)在 2， 2 3 上单调递减可知，f 2 3 是最小值，由两条对称轴为直线 x 3和 x 2 3 可知，直线 x0 也是对称轴，且 f(0)1 为最小值，故 sin 1.又0)若 f(x)f 4 对任意的实数 x 都成立，则 f 4 _， 的最小值为_ 答案1 2 3 解析f(x)f 4 对任意的实数 x 都成立， 当 x 4时，f(x)取得最大值 1. 即 f 4 cos 4 6 1， 4 62k，kZ， 8k2 3，kZ. 0，当 k0 时，取得最小值2 3. 9已知函数 f(x) 3sin(x) 0，| 2 ，若 f(x)的图象关于点 12，0对称，且图象 上两个相
12、邻最高点的距离为. (1)求 f(x)； (2)求 f(x)的单调递增区间 解(1)依题意 T，2， f(x) 3sin(2x)， 又 f(x)的图象关于点 12，0对称， 2 12 k，kZ，得 6k，kZ， 又| 2， 6， f(x) 3sin 2x 6 . (2)令 22k2x 6 22k，kZ， 解得 3kx 6k，kZ， f(x)的单调递增区间为 3k， 6k，kZ. 10已知函数 f(x)sin2xsin xa.当 f(x)0 有实数解时，求 a 的取值范围 解1sin x1，令 tsin x，则1t1.f(x)0 有实数解，即 t2ta0 在1,1内有 实数解 at2t，t1,1
13、， 设 h(t)t2t t1 2 21 4，t1,1， 当 t1 2时，h(t) min1 4， 当 t1 时，h(t)max2， a 的取值范围是 1 4，2. 11设函数 f(x)cos x 3 ，则下列结论错误的是() Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x8 3 对称 Cf(x)的一个零点为 x 6 Df(x)在 2，上单调递减 答案D 解析f(x)的最小正周期为 2，易知 A 正确； f 8 3 cos 8 3 3 cos 31，为 f(x)的最小值，故 B 正确； f(x)cos x 3 cos x 3 ， f 6cos 6 3 cos 20，故 C 正确； 由于
14、 f 2 3 cos 2 3 3 cos 1， 为 f(x)的最小值， 故 f(x)在 2，上不单调， 故 D 错误 12已知函数 f(x)2sin(2x) | 2 ，若 f(x)关于 x 8对称，则 f(x)的一个单调递增区间 可以是() A. 8， 3 8B. 5 8 ，9 8 C. 3 8 ， 8D. 8， 5 8 答案D 解析f(x)关于 x 8对称， 则 4 2k，kZ， 4k，kZ， 又|0，0| 2 的最小正周期为，且关于 8，0中心对称，则 下列结论正确的是() Af(1)f(0)f(2)Bf(0)f(2)f(1) Cf(2)f(0)f(1)Df(2)f(1)f(0) 答案B
15、解析因为 f(x)的最小正周期为，所以 T2 ，得2，则 f(x)sin(2x)， 又 f(x)关于 8，0中心对称， 2 8k，kZ，即 4k，kZ， 又| 0， 2 ， 当 k0 时， 4，则 f(x)sin 2x 4 . 令 2k 22x 42k 2，kZ， 解得 x k 8，k 3 8 ，kZ. 故 f(x)在 8， 3 8 上单调递增 又 f(2)f 3 4 2 ，且 03 4 21 都在区间 8， 3 8 中， 故可得 f(0)f(2)0)， 对任意 xR， 都有 f(x)f 3 ， 并且 f(x)在区间 6， 3 上不单调，则的最小值是() A1B3C5D7 答案D 解析由题意，
16、得 f 3 是函数 f(x)的最大值， 3 62k 2， 即6k1，kZ. 0，kN. 当 k0 时，1，f(x)sin x 6 在 6， 3 上单调递增，不符合题意； 当 k1 时，7，f(x)sin 7x 6 符合题意 的最小值为 7. 16已知函数 f(x)2cos 2x 4 ，xR. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)当 x 3 8 ， 4 时，方程 f(x)k 恰有两个不同的实数根，求实数 k 的取值范围 解(1)由余弦函数的单调性，得 2k2x 42k2，kZ，则 3 8 kx7 8 k，kZ， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 3 8 k，7 8 k ，kZ. (2)函数 f(x)2cos 2x 4 的单调递增区间为 3 8 k，7 8 k ，kZ， 单调递减区间为 7 8 k，11 8 k ，kZ， 所以函数 f(x)在 3 8， 8 上单调递增，在 8， 4 上单调递减， 且 f 3 8 0，f 8 2，f 4 2， 所以当 0k2 时，函数 yk 与函数 yf(x)的图象有两个公共点， 即当 0k2 时，方程 f(x)k 恰有两个不同的实数根
