1、第第 2 课时课时简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换(二二) 学习目标1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、 合并.2 能够利用三角恒等变换解 决几何中的问题以及生活中的实际问题 导语 同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式， 比如 sin xcos x 等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助 角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大 的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧 一、三角恒等变换与三角函数 问题 1请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式
2、子进行合并：sin xcos x，sin x 3cos x，cos x 3sin x. 提示sin xcos x 2sin x 4 ，sin x 3cos x2sin x 3 ，cos x 3sin x2sin 6x. 上述三角函数式，实际上是 asin xbcos x(ab0)的特殊形式，上述一组恒等式中的 a，b 较 为特殊，经过一定的配凑，可以得到一些特殊角的三角函数值，那么对于一般的实系数 a，b， 是否也能进行合并呢？ 问题 2一般地，对于 yasin xbcos x，你能对它进行合并吗？ 提示第一步：提常数，提出 a2b2， 得到 a2b2 a a2b2sin x b a2b2co
3、s x； 第二步：定角度，确定一个角满足 cos a a2b2，sin b a2b2， 得到 a2b2(cos sin xsin cos x)； 第三步：化简、逆用公式得 asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 tan b a. 知识梳理 辅助角公式 yasin xbcos x a2b2sin(x). 其中 tan b a 注意点：(1)该函数的最大值为 a2b2，最小值为 a2b2； (2)有时 yasin xbcos x a2b2cos(x) 例 1已知函数 f(x)cos 3xcos 3x，g(x)1 2sin 2x 1 4. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求
4、函数 h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合 解(1)f(x) 1 2cos x 3 2 sin x 1 2cos x 3 2 sin x 1 4cos 2x3 4sin 2x 1cos 2x 8 31cos 2x 8 1 2cos 2x 1 4， f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)h(x)f(x)g(x)1 2cos 2x 1 2sin 2x 2 2 cos 2x 4 ， 当 2x 42k(kZ)时，h(x)有最大值 2 2 ， 此时 x 的取值集合为 x|xk 8，kZ. 反思感悟研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过
5、恰当 的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质在这个过程中通常 利用辅助角公式，将 yasin xbcos x 转化为 y a2b2sin(x)或 y a2b2cos(x)的 形式，以便研究函数的性质 跟踪训练 1已知函数 f(x)sin2xsin2 x 6 ，xR. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 3， 4 上的最大值和最小值 解(1)由已知，得 f(x)1cos 2x 2 1cos 2x 3 2 1 2 1 2cos 2x 3 2 sin 2x 1 2cos 2x 3 4 sin 2x1 4cos 2x 1 2sin 2x 6 ， 所以 f
6、(x)的最小正周期 T2 2 . (2)因为 x 3， 4 ， 所以 2x 6 5 6 ， 3 ， 所以 f(x)在区间 3， 6 上单调递减，在区间 6， 4 上单调递增， 且 f 3 1 4，f 6 1 2，f 4 3 4 ， 所以 f(x)在区间 3， 4 上的最大值为 3 4 ，最小值为1 2. 二、三角恒等变换在几何中的应用 例 2(教材 227 页例 10 改编)某工人要从一块圆心角为 45的扇形木板中割出一块一边在半 径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为 1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图) 解如图，连接 OC，设COB， 则 045，OC1. 因为 ABOBOAcos
7、 ADcos sin ， 所以 S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2sin cos 1 2(1cos 2) 1 2sin 2 1 2(sin 2cos 2) 1 2 2 2 cos(245)1 2. 当 2450，即22.5时，S(矩形ABCD)max 21 2 (m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积 为 21 2 m2. 反思感悟三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助 三角变换来解决，体现了数学中的化归思想 跟踪训练 2如图所示， 要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形， 应怎样截取， 才能使OAB 的周长最长？ 解设AOB，OAB 的
8、周长为 l， 则 ABRsin ，OBRcos ， 所以 lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )R 2Rsin 4 R. 因为 0 2，所以 4 4 3 4 ， 所以当 4 2，即 4时，l 的最大值为 2RR( 21)R，故当 4时，OAB 的周长 最长 三、三角恒等变换在实际问题中的应用 例 3如图，OA，OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径 OA2 km 的扇形 AOB 是某地的一 名胜古迹区域 当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力， 欲在圆弧 AB 上新增一个入口 P(点 P 不与 A，B 重合)，并新建两条都与圆弧 AB 相切的笔直公路 MB，MN，切点分别是 B
9、，P. 当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低设POA，公路 MB，MN 的总长为 f() (1)求 f()关于的函数关系式，并写出函数的定义域； (2)当为何值时，投资费用最低？并求出 f()的最小值(注：已知 a，bR*，ab2 ab， 当且仅当 ab 时取“”) 解(1)连接 OM(图略)，在 RtOPN 中，OP2，POA，故 NP2tan . 根据平面几何知识可知，MBMP， BOM1 2BOP 1 2 2 4 2. 在 RtBOM 中，OB2，BOM 4 2， 故 BM2tan 4 2 . 所以 f()NP2BM2tan 4tan 4 2 . 显然 0， 2 ， 所以函数 f()
10、的定义域为 0， 2 . (2)令 4 2， 则 22，且 0， 4 . 所以 f()2tan 224tan 2sin 22 cos 22 4tan 2cos 2 sin 2 4tan 2 tan 24tan 1tan 2 tan 4tan 1 tan 3tan 2 3， 当且仅当 1 tan 3tan ， 即 tan 3 3 时等号成立 此时 6， 6， 故当 6时，投资费用最低，f() min2 3. 反思感悟实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决 实际的优化问题 跟踪训练 3在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设 计的弦图由四
11、个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)如果 小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，则 cos 2 _. 答案 7 25 解析由题意得 5cos 5sin 1， 0， 4 ， 所以 cos sin 1 5， 又(cos sin )2(cos sin )22， 所以 cos sin 7 5， 所以 cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin ) 7 25. 1知识清单： (1)辅助角公式 (2)三角恒等变换的综合问题 (3)三角函数在实际问题中的应用 2方法归纳：转化与化归 3常见误区：易忽视实际问题中的定义域 1已知3
12、sin xcos x 2 2 ，则 cos x 3 等于() A.1 2 B. 2 4 C. 2 3 D.3 4 答案B 解析 3sin xcos x2sin x 6 2 2 ， sin x 6 2 4 ，则 cos x 3 sin x 6 2 4 . 2若函数 f(x)sin 2xcos 2x，则() A函数 f(x)的最小正周期为 2 B函数 f(x)的最大值为 2 C函数 f(x)的一个对称中心为 8，0 D函数 f(x)在 ，9 8 上单调递增 答案D 解析f(x)sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 ，函数 f(x)的最小正周期为，函数 f(x)的最大值 为 2，故 A，B
13、错误；由 f 8 2sin 2 8 4 20，故 C 错误；由x9 8 ，得9 4 2x 4 5 2 ，可知函数 f(x)在 ，9 8 上单调递增，故 D 正确 3当 x 2， 2 时，关于 x 的方程3sin xcos xm0 有解，则实数 m 的取值范围为 () A(2， 3)B2， 3 C( 3， 3)D 3， 3 答案B 解析由题意知，关于 x 的方程3sin xcos xm0，即3sin xcos xm 在 x 2， 2 上有解，则函数 y 3sin xcos x2sin x 6 的图象与直线 ym 在 2， 2 上有交点，如 图， 由图象易得，2m 3. 4函数 f(x)3sin
14、x5sin x 3 的最大值是_ 答案7 解析f(x)3sin x5 1 2sin x 3 2 cos x 11 2 sin x5 3 2 cos x 11 2 2 5 3 2 2sin(x) 7sin(x)，所以 f(x)max7. 课时对点练课时对点练 1. 3cos 154sin215cos 15等于() A.1 2 B. 2 2 C1D. 2 答案D 解析3cos 154sin215cos 15 3cos 152sin 15sin 30 3cos 15sin 15 2 1 2sin 15 3 2 cos 15 2sin(45) 2. 2.sin 8 3cos 8 2cos 22 等于(
15、) A. 2B1C. 2 2 D.1 2 答案A 解析 sin 8 3cos 8 2cos 22 2 1 2sin 8 3 2 cos 8 2cos 22 2sin860 2cos 22 2sin 68 2cos 22 2. 3若3sin cos 10 5 ，则 cos 3 等于() A. 10 5 B 10 5 C. 10 10 D 10 10 答案D 解析 3sin cos 2 3 2 sin 1 2cos 2cos 3 10 5 ，cos 3 10 10 . 4函数 f(x)sin xcos x 的一个对称中心是() A. 2，0B. 4，0C. 2，0D. 4，0 答案D 解析因为 f
16、(x)sin xcos x 2sin x 4 ，根据函数 yAsin(x)的对称中心特征可知， 对称中心是函数 f(x)的图象与 x 轴的交点，四个选项中只有当 x 4时，f 4 0，即函数 f(x)的一个对称中心为 4，0. 5若3sin xcos x4m，则实数 m 的取值范围是() A2,6B6,6 C(2,6)D2,4 答案A 解析 3sin xcos x4m， 3 2 sin x1 2cos x 4m 2 ， sin 3sin xcos 3cos x 4m 2 ， cos x 3 4m 2 . 1cos x 3 1，14m 2 1，2m6. 6(多选)已知函数 f(x)sin xco
17、s xsin2x，则下列说法正确的是() Af(x)的最大值为 2 Bf(x)的最小正周期为 Cf(x)关于直线 x 8对称 Df(x)在 0， 4 上单调递增 答案BCD 解析f(x)1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2(sin 2xcos 2x) 1 2 2 2 sin 2x 4 1 2， f(x)max 2 2 1 2 21 2 ，最小正周期 T2 2 . 当 x 8时，sin 2x 4 1， 直线 x 8为对称轴 当 x 0， 4 时，2x 4 4， 4 ， f(x)在 0， 4 上单调递增， 综上有 B，C，D 正确，A 不正确 7已知函数 f(x)2sin x3cos x
18、，x1，x2R，则 f(x1)f(x2)的最大值是_ 答案2 13 解析因为 f(x)2sin x3cos x 13sin(x) 其中 tan 3 2 ， 所以 f(x)max 13，f(x)min 13， 因为 x1，x2R， 所以 f(x1)f(x2)的最大值为 f(x1)maxf(x2)min 13( 13)2 13. 8.如图，扇形 OAB 的半径为 1，圆心角为 2，若 P 为弧 AB上异于 A，B 的点，且 PQOB 交 OB 于点 Q，当POQ 的面积大于 3 8 时，POQ 的取值范围为_ 答案 6， 3 解析设POQ 0 3 8 ，得 sin 2 3 2 .又 2(0，)，
19、32 2 3 ，则 60 时，f(x)max|5m|8， 解得 m3； 当 m0 时，f(x)max|5m|8， 解得 m3. 14.如图，已知 OPQ 是半径为 5，圆心角为(tan 2)的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形当矩形 ABCD 的周长最大时，BC 边的长为_ 答案5 解析由 tan sin cos 2， sin2cos21， 00)在0，上有两个零点，则的取值范围为() A. 11 6 ，17 6B. 11 6 ，17 6C. 5 3， 8 3D. 5 3， 8 3 答案B 解析f(x) 3sin xcos x2sin x 6 ，由 x0， 又0， 则可令
20、tx 6 6， 6 ， 又函数 y2sin t 在 t 6， 6 上有两个零点，作图如下， 则 2 63，解得 11 6 ，17 6 . 16.如图，有一块以点 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 开 辟为绿地，使其一边 AD 落在半圆的直径上，另两点 B，C 落在半圆的圆周上已知半圆的 半径长为 20 m. (1)如何选择关于点 O 对称的点 A， D 的位置， 可以使矩形 ABCD 的面积最大， 最大值是多少？ (2)沿着 AB，BC，CD 修一条步行小路从 A 到 D，如何选择 A，D 位置，使步行小路的距离最 远？ 解(1)连接 OB，如图所示，设AOB，
21、 则 ABOBsin 20sin ，OAOBcos 20cos ，且 0， 2 . 因为 A，D 关于点 O 对称， 所以 AD2OA40cos . 设矩形 ABCD 的面积为 S，则 SADAB40cos 20sin 400sin 2. 因为 0， 2 ， 所以当 sin 21， 即 4时，S max400(m2) 此时 AODO10 2(m) 故当 A，D 距离圆心 O 为 10 2 m 时，矩形 ABCD 的面积最大，其最大面积是 400 m2. (2)由(1)知 AB20sin ， AD40cos ， 所以 ABBCCD40sin 40cos 40 2sin 4 ， 又 0， 2 ， 所以 4 4， 3 4 ， 当 4 2，即 4时，(ABBCCD) max40 2， 此时 AODO10 2， 即当 A，D 距离圆心 O 为 10 2 m 时，步行小路的距离最远
