1、题组层级快练题组层级快练(五五) 一、单项选择题 1函数 f(x)x 24 |x| 的最小值为() A3B4 C6D8 答案B 2已知 a，b(0，1)且 ab，下列各式中最大的是() Aa2b2B2 ab C2abDab 答案D 解析只需比较 a2b2与 ab.由于 a，b(0，1)，a2a，b2b，a2b20，且 b0，若 2ab4，则 1 ab的最小值为( ) A.1 4 B4 C.1 2 D2 答案C 解析42ab2 2ab，ab2， 1 ab 1 2，当且仅当 a1，b2 时取等号 4若 x0， ab0， 即 a0，b0，所以4 a 3 b1(a0，b0)，ab(ab) 4 a 3
2、b 74b a 3a b 7 2 4b a 3a b 74 3，当且仅当4b a 3a b 时取等号，选择 D 项 方法二：3a4b0，ab0，a0，b0，log4(3a4b)log2ab，log4(3a4b) log4(ab)3a4bab，a4，a0，b0，b 3a a40，a4，则 aba 3a a4a 3（a4）12 a4 a3 12 a4(a4) 12 a472 （a4） 12 a474 37，当且 仅当 a423时取等号故选 D. 6已知正数 a，b 满足 ab2，则 a b1的最大值为() A. 3 B. 21 C. 6D. 31 答案C 解析( a b1)2ab12 a b1ab
3、1ab16， 当且仅当 ab1， 即 a3 2，b 1 2时取等号 a b1 6.故选 C. 7(2021重庆八中模拟)已知当 x0 恒成立，则 m 的取值范围为() A2 2，)B(，2 2 C(2 2，)D(，2 2) 答案C 解析由 2x2mx10，得 mx2x21.因为 x2x 21 x 2x1 x， 而 2x 1 x 2|x| 1 |x| 22|x| 1 |x|2 2， 当且仅当 2|x| 1 |x|， 即 x 2 2 时取等号所以 m2 2.故选 C. 8设实数 x，y，m，n 满足 x2y21，m2n23，那么 mxny 的最大值是() A. 3 B2 C. 5 D. 10 2
4、答案A 解析方法一：设 xsin，ycos，m 3sin，n 3cos，其中，R. mxny 3sinsin 3coscos 3cos()故选 A. 方法二：由已知(x2y2)(m2n2)3，即 m2x2n2y2n2x2m2y23，m2x2n2y2 2(nx)(my)3，即(mxny)23，mxny 3. 9(高考真题山东卷)已知 x，y，z(0，)，且满足 x2y3z0，则y 2 xz的最小值为 () A3B6 C9D12 答案A 10已知 ab0，则 a 4 ab 1 ab的最小值为( ) A.3 10 2 B4 C2 3D3 2 答案D 解析因为 a1 2(ab)(ab)， 所以 a 4
5、 ab 1 ab 1 2(ab) 4 ab 1 2(ab) 1 ab.因为 ab0， 所以 ab0， ab0， 由基本不等式可得1 2(ab) 4 ab2 1 2（ab） 4 ab2 2 1 2(ab) 1 ab2 1 2（ab） 1 ab2 2 2 2 由可知当且仅当 a3 2 2 ，b 2 2 时，a 4 ab 1 ab的最小值为 3 2.故选 D. 二、多项选择题 11下列函数中，最小值为 4 的是() Ayx4 x Bysinx 4 sinx(0 x1) 答案CD 解析注意基本不等式等号成立的条件是“ab”，同时考虑函数的定义域，A 中 x 的定义 域为x|x0，当 x0 时显然不成立
6、；B 中若 sinx 4 sinx取到最小值 4，则 sin 2x4，显然不 成立 12小王从甲地到乙地往返的速度分別为 a 和 b(ab)，其全程的平均速度为 v，则() Aav abBv ab C. abva0，由基本不等式可得 abab 2 ，v 2ab ab 2ab 2 ab ab， 另一方面 v 2ab aba 2a2 ab 0， va，则 av1 时，x 4 x1的最小值为_； (2)当 x4 时，x 4 x1的最小值为_ 答案(1)5(2)16 3 解析(1)x1，x10. x 4 x1x1 4 x112 415. (当且仅当 x1 4 x1，即 x3 时“”号成立) x 4 x
7、1的最小值为 5. (2)x4，x13. 函数 yx4 x在3，)上为增函数， 当 x13 时，y(x1) 4 x11 有最小值 16 3 . 14(1)若 a0，b0，ab1，则 ab 1 ab的最小值为_ 答案 17 4 解析ab ab 2 2 1 4， 当且仅当 ab1 2时取等号 yx1 x在 x 0，1 4 上为减函数 ab 1 ab的最小值为 1 44 17 4 . (2)(2021上海春季招生)已知函数 f(x)3x a 3x1(a0)的最小值为 5，则 a_ 答案9 解析f(x)3x1 a 3x112 a15，a9，经检验，当 3 x2 时等号成立 15已知 ab0，求 a2
8、16 b（ab）的最小值 答案16 思路求出 b(ab)的最大值，从而消去 b，再求出 a264 a2的最小值 解析ab0，ab0. b(ab) b（ab） 2 2 a 2 4 . a2 16 b（ab）a 264 a22 a264 a216. 当 a264 a2 且 bab，即 a2 2，b 2时等号成立 a2 16 b（ab）的最小值为 16. 16(1)证明：a21 a2a 1 a (2)证明： 2（a2b2）ab (3)(2021合肥市二检)若 ab0，则 a2b2 1 （ab）2的最小值 答案(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 2 解析(1)当 a1 时，a2a1，所以 f(a2
9、)f(a)，即 a21 a2a 1 a；当 0a1 时，0a2af(a)，即 a21 a2a 1 a；当 a1 时，a 21 a2a 1 a. (2) 2（a2b2） a2b22ab|ab|ab 恒成立 (3)方法一：因为 2aba2b2，所以(ab)22(a2b2)，由 ab0，知 a2b2 1 （ab）2 a2b2 1 2（a2b2）2 （a2b2） 1 2（a2b2） 2，当且仅当 ab 且 a2b2 1 2（a2b2），即 ab 4 2 2 时，等号成立 方法二：因为 a2b22ab，所以 2(a2b2)(ab)2，所以 a2b2（ab） 2 2 ，所以 a2b2 1 （ab）2 （a
10、b）2 2 1 （ab）22 （ab）2 2 1 （ab）2 2，当且仅当 ab 且 （ab）2 2 1 （ab）2，即 ab 4 2 2 时，等号成立 17.如图，在半径为 30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A，B 在直径上，点 C，D 在圆周上 (1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积； (2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼 接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积 答案(1)取 BC 为 15 2 cm 时，矩形 ABCD 的面积最大，最
11、大值为 900 cm2 (2)取 BC 为 10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 000 3 cm3 解析(1)连接 OC. 设 BCx，矩形 ABCD 的面积为 S. 则 AB2 900 x2， 其中 0 x30. 所以 S2x 900 x22 x2（900 x2）x2(900 x2)900.当且仅当 x2900 x2，即 x 152时，S 取最大值 900 cm2. 所以取 BC 为 15 2 cm 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大值为 900 cm2. (2)设圆柱底面的半径为 r，高为 x，体积为 V. 由 AB2 900 x22r，得 r 900 x2 . 所以 Vr2x 1 (900 xx 3)，其中 0 x30. 由 V 1 (9003x 2)0，得 x10 3. 因此 V 1 (900 xx 3)在(0，10 3)上是增函数，在(10 3，30)上是减函数 所以当 x103时，V 取最大值为6 000 3 cm3. 所以取 BC 为 10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 000 3 cm3.
