1、第第 2 课时课时双曲线的标准方程及性质的应用双曲线的标准方程及性质的应用 学习目标1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题 导语 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的 法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运 用它们解决有关直线与双曲线的综合问题 一、双曲线定义的应用 问题 1思考双曲线例 5 与椭圆一节中的例 6 比较，你有什么发现？ 提示当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值大于 1 时，点 M 的轨迹是 双曲线 知识梳理 双曲线的第二定义： 当点M 与一个定点的距离和它到一
2、条定直线的距离的比是常数ec a(e1) 时，这个点的轨迹是双曲线 二、直线与双曲线的位置关系 问题 2类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况 知识梳理 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 ax2bxc0 的形式，在 a0 的情 况下考察方程的判别式 (1)0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点 (2)0 时，直线与双曲线只有一个公共点 (3)0， 1k20， 得2 3 3 k0， 解得 k3 2. 故双曲线上不存在被点 B(1,1)所平分的弦 方法二设双曲线上存在被点 B 平分的弦 MN，且点 M(x1，y1
3、)，N(x2，y2)， 则 x1x22，y1y22，且 x21y 2 1 2 1， x22y 2 2 2 1， 由得(x1x2)(x1x2)1 2(y 1y2)(y1y2)0， kMNy1y2 x1x22， 直线 MN 的方程为 y12(x1)，即 y2x1. 由 y2x1， x2y 2 2 1， 消去 y，得 2x24x30. 又80，b0)的交点个数是( ) A1B2C1 或 2D0 答案A 解析由题意，双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 可得其渐近线方程为 yb ax， 因为直线 yb ax3 与双曲线的一条渐近线 y b ax 平行， 所以它与双曲线只有 1 个交点 2若
4、直线 ykx 与双曲线 4x2y216 相交，则实数 k 的取值范围为() A(2,2)B2,2)C(2,2D2,2 答案A 解析易知 k2，将 ykx 代入 4x2y216 得关于 x 的一元二次方程(4k2)x2160， 由0 可得2k2 或 a0)的左、右焦点，过点 F1且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点若ABF2的面积为 2 6，则该双曲线的渐近线方程为() Ay 3xBy 3 3 x Cy 2xDy 2 2 x 答案D 解析设 F1(c,0)，A(c，y0)， 则c 2 a2 y20 2 1，y 2 0 2 c 2 a21 c2a2 a2 b 2 a2 2
5、a2， y20 4 a2， |AB|2|y0|4 a. 又 2 ABF S2 6， 1 22c |AB| 1 22c 4 a 4c a 2 6，c a 6 2 ， b a c2 a21 2 2 . 该双曲线的渐近线方程为 y 2 2 x. 5(多选)已知双曲线 C：x 2 3 y 2 m1 过点(3， 2)，则下列结论正确的是( ) AC 的焦距为 4 BC 的离心率为 3 CC 的渐近线方程为 y 3 3 x D直线 2x 3y10 与 C 有两个公共点 答案AC 解析由双曲线 C：x 2 3 y 2 m1 过点(3， 2)，可得 m1，则双曲线 C 的标准方程为 x2 3 y21. 所以
6、a 3，b1，c a2b22，因为双曲线 C 的焦距为 2c4，所以选项 A 正确； 因为双曲线 C 的离心率为c a 2 3 2 3 3 ，所以选项 B 不正确； 因为双曲线 C 的渐近线方程为 y 3 3 x，所以选项 C 正确； 将直线 2x 3y10 与双曲线x 2 3 y21 联立，消去 y 可得 3x24x40，(4)2 434320)， 所求直线方程为 3x4y50. 8双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为 该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_. 答案2 解析设 B 为双曲线的右焦
7、点，如图所示四边形 OABC 为正方形且边长为 2， c|OB|2 2. 又AOB 4， b atan 41，即 ab. 又a2b2c28，a2. 9设 A，B 为双曲线 x2y 2 2 1 上的两点，线段 AB 的中点为 M(1,2)求： (1)直线 AB 的方程； (2)OAB 的面积(O 为坐标原点) 解(1)显然直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y2k(x1)， 即 ykx2k. 由 ykx2k， x2y 2 2 1， 消去 y，整理得(2k2)x22k(2k)xk24k60. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 1x1x2 2 k2k 2k2 (2k20)，
8、解得 k1. 当 k1 时，满足0， 直线 AB 的方程为 yx1. (2)由(1)得 x1x22，x1x23， |AB| 2 x1x224x1x2 2 4124 2. 又点 O 到直线 AB 的距离 d 1 2 2 2 ， SAOB1 2|AB|d 1 24 2 2 2 2. 10已知双曲线 3x2y23，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于 A，B 两点， 试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长 解双曲线方程可化为 x2y 2 3 1， 故 a21，b23，c2a2b24， c2.F2(2,0)， 又直线 l 的倾斜角为 45， 直线 l 的斜率
9、 ktan 451， 直线 l 的方程为 yx2， 代入双曲线方程，得 2x24x70. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x27 20，b0)，A(x 1，y1)，B(x2，y2)， 则x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， x1x224，y1y230， 由得y1y2 x1x2 4b2 5a2，从而 4b2 5a21， 又因为 a2b2c29， 故 a24，b25，所以 E 的方程为x 2 4 y 2 5 1. 12设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A 1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于
10、B，C 两点若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线方程为() Ay1 2x By 2 2 x CyxDy 2x 答案C 解析设双曲线的半焦距为 c， 则 F(c,0)，将 xc 代入双曲线x 2 a2 y2 b21， 得 yb 2 a ，不妨取 C c，b 2 a ，B c，b 2 a ， 又 A1(a,0)，A2(a,0)， 故 1 A B k b 2 a ca b2 aac， 2 A C k b2 a ca b2 aca. 因为 A1BA2C， 故 b2 aac b2 aca 1， 即 b4 a2c2a21，即 b4 a2b21， 所以 ab，故渐近线方程是 yb axx. 13设双曲线x
11、2 9 y 2 161 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 作平行于双曲线的一条渐近线的 直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_ 答案 32 15 解析双曲线x 2 9 y 2 161 的右顶点 A(3,0)，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为 y 4 3x.不妨设直线 FB 的方程为 y4 3(x5)，代入双曲线方程整理，得 x 2(x5)29， 解得 x17 5 ，y32 15，B 17 5 ，32 15 . SAFB1 2|AF|y B|1 2(ca)|y B|1 2(53) 32 15 32 15. 14已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程
12、是 y 2x，过其左焦点 F( 3， 0)作斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，则截得的弦长|AB|_. 答案10 解析双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 2x， b a 2，即 b 2a， 左焦点 F( 3，0)，c 3， c2a2b23a23， a21，b22， 双曲线方程为 x2y 2 2 1，直线 l 的方程为 y2(x 3)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y2x 3， x2y 2 2 1， 消去 y 可得 x24 3x70， x1x24 3，x1x27， |AB| 1k2 x1x224x1x2 14 482
13、8 5 2010. 15已知 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点和右焦点，过 F 2的直线 l 与双曲 线的右支交于 A，B 两点，AF1F2的内切圆半径为 r1，BF1F2的内切圆半径为 r2，若 r1 2r2，则直线 l 的斜率为() A1B. 2C2D2 2 答案D 解析设AF1F2的内切圆圆心为 I1， BF1F2的内切圆圆心为 I2，边|AF1|，|AF2|，|F1F2|上的切点分别为 M，N，E， 易知 I1，E 的横坐标相等， 则|AM|AN|，|F1M|F1E|，|F2N|F2E|， 由|AF1|AF2|2a，即|AM|MF1|(|AN|NF
14、2|)2a， 得|MF1|NF2|2a，即|F1E|F2E|2a， 记 I1的横坐标为 x0，则 E(x0，0)，于是 x0c(cx0)2a，得 x0a， 同理圆心 I2的横坐标也为 a，则有 I1I2x 轴， 设直线 l 的倾斜角为， 则OF2I2 2，I 1F2O90 2， 则 tan 2 r2 |F2E|，tanI 1F2Otan 90 2 1 tan 2 r1 |F2E|， r12r2，tan2 2 1 2， 即 tan 2 2 2 .tan 2tan 2 1tan2 2 2 2. 16设 A，B 分别为双曲线x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4
15、 3，焦 点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 3 3 x2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使 OM ON tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标 解(1)由题意知 a2 3. 一条渐近线为 y b 2 3x，即 bx2 3y0. |bc| b212 3. 又 c2a2b212b2， b23. 双曲线的方程为x 2 12 y2 3 1. (2)设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则 x1x2tx0，y1y2ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x216 3x840. 则 x1x216 3，y1y212. x0 y0 4 3 3 ， x20 12 y20 3 1. x04 3， y03. 由OM ON tOD ， 得(16 3，12)(4 3t,3t) t4，点 D 的坐标为(4 3，3)
