1、课时跟踪检测课时跟踪检测 14三角形中的几何计算三角形中的几何计算 (对应学生用书 P097) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1在ABC 中，B 4，BC 边上的高为 1 3BC，则 sinA 等于( ) A. 3 10 B. 10 10 C. 5 5 D.3 10 10 解析设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意知 B 4，BD 1 3BC，DC 2 3BC， tanBAD1，tanCAD2，tanA 12 1123，所以 sinA 3 10 10 . 答案D 2在ABC 中，a1，B45，SABC2，则ABC 外接圆的直径为() A4 3B6 C5 2D6 2 解析SAB
2、C1 2acsinB 1 21csin45 2 4 c， 又SABC2，c4 2. b2a2c22accos451(4 2)2214 2 2 2 25.即 b5. 所以ABC 的外接圆直径 2R b sinB5 2. 答案C 3在ABC 中，AB7，AC6，M 是 BC 的中点，AM4，则 BC 等于 () A. 21B. 106C. 69D. 154 解析设 BCa，则 BMCMa 2.在ABM 中， AB2BM2AM22BMAMcosAMB， 即 72a 2 4 422a 24cosAMB. 在ACM 中，AC2AM2CM22AMCMcosAMC，即 6242a 2 4 24a 2cosA
3、MB. 得 72624242a 2 2 ，a 106. 答案B 4在ABC 中，A105，B30，a 6 2 ，则 B 的角平分线的长是() A. 3 2 B2 2 C1D. 2 解析设 B 的角平分线的长为 BD.易知ACB1801053045， BDC1801545120. 在CBD 中，有 BD sin45 BC sin120，可得 BD1. 答案C 5已知ABC 中，sinAsinBsinCk(k1)2k，则 k 的取值范围是 () A(2，)B(，0) C. 1 2，0D. 1 2， 解析由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk，(m0)， abc， acb， 即 m2k12mk
4、， 3mkmk1， k1 2. 答案D 6 在ABC中， B60， C45， BC8， D是BC上的一点， 且BD 31 2 BC ， 则 AD 的长为() A4( 31)B4( 31) C4(3 3)D4(3 3) 解析BD 31 2 BC ，BC8，BD4( 31) 又 AB sinC BC sinA， AB sin45 BC sin75， ABsin45 sin75BC 2 2 6 2 4 88( 31) 在ABD 中，由余弦定理得 AD2AB2BD22ABBDcosB 8( 31)24( 31)228( 31)4( 31)cos6048( 31)2， AD4(3 3) 答案C 7若平行
5、四边形两邻边的长分别是 3和 6，它们的夹角是 45，则这个平 行四边形的两条对角线的长分别是() A. 3和 5B23和 2 5 C. 3和 15D. 5和 15 解析一条对角线长为 l21( 3)2( 6)22 3 6cos45， 另一条对角线长为 l22( 3)2( 6)22 3 6cos135， 所以 l1 3，l2 15. 答案C 二、填空题 8半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25，则此三角形三边长的乘积等于 _ 解析设ABC 三边为 a，b，c.则 SABC1 2acsinB，又由正弦定理得 sinB b 2R. SABC1 2ac b 2R abc 4R ， abc4RS
6、ABC410.251，所以三角形三边长的乘积为 1. 答案1 9在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积 SABC 3 2 ，则边 BC 的 长为_ 解析由 SABC 3 2 得 1 2ABACsinA 3 2 ，即1 22AC 3 2 3 2 ，AC1. 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcosA22122211 23， BC 3. 答案3 三、解答题 10如图所示，在ABC 中，ABAC2，BC2 3，点 D 在 BC 边上， ADC45，求 AD 的长度 解在ABC 中，由余弦定理，有 cosCAC 2BC2AB2 2ACBC 2 22 3222 222 3 3 2 ， 则
7、 C30. 在ACD 中，由正弦定理，有 AD sinC AC sinADC， ADACsin30 sin45 21 2 2 2 2. 即 AD 的长度等于 2. 11如图，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB90， BD 交 AC 于 E，AB2. (1)求 cosCBE 的值； (2)求 AE. 解(1)BCD9060150，CBACCD， CBE15， cosCBEcos(4530) 6 2 4 . (2)在ABE 中，AB2，由正弦定理可得 AE sin4515 2 sin9015，得 AE2sin30 cos15 21 2 6 2 4 6 2. 12在ABC 中，已
8、知 sinBcosAsinC，AB AC9，ABC 的面积等于 6. (1)求 C； (2)求ABC 的三边之长 解(1)方法一设三角形三内角 A，B，C 对应的三边分别为 a，b，c， sinBcosAsinC，cosAsinB sinC， 由正弦定理有 cosAb c， 又由余弦定理有 cosAb 2c2a2 2bc ，b c b2c2a2 2bc ，即 a2b2c2. 所以ABC 为直角三角形，且 C90. 方法二sinBsin(AC)， sinAcosCcosAsinCcosAsinC， sinAcosC0， cosC0， C90. (2)由 AB AC|AB|AC|cosA9， SA
9、BC1 2|AB |AC|sinA6， ，得 tanA4 3 a b，令 a4k，b3k(k0)，则 S ABC1 2ab6k1， 三边长分别为 a4，b3，c5. 13在ABC 中，A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c.设 a、b、c 满足条件 b2c2bca2和c b 1 2 3，求A 和 tanB 的值 解解法一：由余弦定理，得 cosAb 2c2a2 2bc 1 2. 因此，A60.在ABC 中，C180AB120B. 由正弦定理，得1 2 3 c b sinC sinB sin120B sinB sin120cosBcos120sinB sinB 3 2 1 tanB 1 2，
10、解得 tanB1 2. 解法二：由余弦定理，得 cosAb 2c2a2 2bc 1 2. 因此，A60，由 b2c2bca2，得 a b 21 c b 2c b1 1 4 33 1 2 3 15 4 . a b 15 2 . 由正弦定理，得 sinBb asinA 2 15 3 2 1 5. 由式可知 ab，故BA，因此B 为锐角，于是 cosB 1sin2B 2 5，从而 tanB sinB cosB 1 2. 素养能力题从容有序过 14.在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且AD AC 0，sinBAC2 2 3 ，AB 3 2，BD 3，则 cosC() A. 6 3 B. 3 3
11、 C. 2 3 D.1 3 解析AD AC 0，可得 ADAC，DAC90，BACBAD DACBAD90， sinBACsin(BAD90)cosBAD2 2 3 . 在ABC 中，AB3 2，BD 3， 根据余弦定理可得 BD2AB2AD22ABADcosBAD18AD28AD 3， 解得 AD3 或 AD5； 当 AD5 时，ADAB，不成立，故舍去； 当 AD3 时，在ABD 中，由正弦定理可得： BD sinBAD AB sinADB 又 cosBAD2 2 3 ，可得 sinBAD1 3， 则 sinADBABsinBAD BD 6 3 ， ADBDACC， DAC90， cosC
12、 6 3 .故选 A. 答案A 15.如图，在ABC 中，已知 B 3，AC4 3，D 为 BC 边上一点 (1)若 AD2，SDAC2 3，求 DC 的长； (2)若 ABAD，试求ADC 的周长的最大值 解(1)SDAC2 3，1 2ADACsinDAC2 3，sinDAC 1 2. DACBAC 3 2 3 ，DAC 6. 在ADC 中，由余弦定理得 DC2AD2AC22ADACcos 6， DC2448224 3 3 2 28，DC2 7. (2)ABAD，B 3，ABD 为正三角形 在ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sinC 4 3 sin2 3 DC sin 3C ，AD8s
13、inC， DC8sin 3C， ADC 的周长为 ADDCAC8sinC8sin 3C4 3 8 sinC 3 2 cosC1 2sinC4 3 8 1 2sinC 3 2 cosC 4 38sin C 3 4 3， ADC2 3 ，0C 3， 3C 3 2 3 ， 当 C 3 2， 即 C 6时， ADC 的周长取得最大值，且最大值为 84 3. 16 在ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边， 且满足 sinA 3cosA 2. (1)求角 A 的大小； (2)现给出三个条件：a2；B 4；c 3b.试从中选出两个可以确定 ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求ABC 的面积(写出一种方案即 可) 解(1)依题意得 2sin A 3 2， 即 sin A 3 1， 0A， 3A 3 4 3 ， A 3 2，A 6. (2)参考方案：选择. 由正弦定理 a sinA b sinB，得 b asinB sinA 2 2. ABC， sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 2 6 4 ， SABC1 2absinC 1 222 2 2 6 4 31.
