1、专题层级快练专题层级快练(六十四六十四) 1(2021衡水中学调研卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，且过点 P(2，3) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点 P 作两条直线 l1，l2，与椭圆 C 分别交于 M，N(点 M，N 与点 P 不重合)两点，若 l1， l2的斜率之和为1，求证：直线 MN 恒过定点 答案(1)x 2 16 y2 121 (2)证明略 解析(1)离心率 e1 2，椭圆 C 的方程可化为 x2 4 y 2 3 t. 点 P(2，3)在该椭圆上，13t，t4. 椭圆 C 的标准方程为x 2 16 y2 121. (2)证明：
2、设直线 MN 的方程为 ykxm(k 不存在时不满足要求)， 联立 ykxm， x2 16 y2 121， 消去 y 并整理，得(4k23)x28kmx4m2480.(8km)24(4k2 3)(4m248)48(16k2m212) 设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)， x1x2 8km 4k23，x 1x24m 248 4k23 . 设直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2kx1m3 x12 kx2m3 x22 1， 整理得(2k1)x1x2(m2k5)(x1x2)164m0， 把代入上式得(2km3)(8km)0，m2k3 或 m8k. 当 m2k3 时，直线 MN
3、 过点 P(2，3)，不符合题意，舍去； 当 m8k 时，48(16k264k212)，由0，得 k20. 所以 x1x22k 24 k2 ，x1x21. 由抛物线的定义，知|AB|x1x228，所以 x1x26， 所以2k 24 k2 6，即 k21，解得 k1， 所以直线 l 的方程为 yx1 或 yx1. (2)证明：由(1)知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D，所以 D(x1，y1)， 则直线 BD 的斜率为 kBDy2y1 x2x1 y2y1 y22 4 y1 2 4 4 y2y1， 所以直线 BD 的方程为 yy1 4 y2y1(xx 1)
4、，即(y2y1)yy2y1y124x4x1. 因为 y124x1，y224x2，x1x21，所以(y1y2)216x1x216，即 y1y24(因为 y1，y2异号)， 所以(y2y1)y4y124x4y1 2 4 ， 所以直线 BD 的方程为 4(x1)(y1y2)y0. 由 x10， y0， 解得 x1， y0， 所以直线 BD 过定点(1，0) 3(2021南充市测试)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 A(0，1)，且离心率为 3 2 ， (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 P(2，1)的直线与椭圆 E 交于不同两点 B，C.求证：直线 AB 和 AC 的斜率
5、之和为定 值 答案(1)x 2 4 y21(2)证明略 解析(1)由椭圆 E 经过点 A(0，1)得，b1，设半焦距为 c，由离心率为 3 2 得，c a 3 2 ， 又因为 a2b2c2，所以 a213a 2 4 ，解得 a2， 故椭圆 E 的方程为x 2 4 y21. (2)因为直线 BC 过点 P(2，1)且与椭圆 E 有两个不同交点， 所以直线 BC 的斜率一定存在且大于零 于是可设直线 BC 的方程为 yk(x2)1(k0) 代入 x24y24 并整理得(4k21)x28k(2k1)x16k(k1)0. 8k(12k)24(14k2)(16k216k)64k0. 设 B(x1，y1)
6、，C(x2，y2)，则 x1x28k（2k1） 4k21 ，x1x216k（k1） 4k21 . 设直线 AB 和 AC 的斜率分别为 k1和 k2，则 k1k2y11 x1 y21 x2 k（x12）2 x1 k（x22）2 x2 2k2（k1） （x1x2） x1x2 2k16k（k1） （2k1） 16k（k1） 2k(2k1)1，为定值 4(2020兰州市模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 A(2，2)，点 B 在抛物线 C 上，且满足OF FB2FA(O 为坐标原点) (1)求抛物线 C 的方程； (2)过焦点 F 任作两条相互垂直的直线 l 与 l，直线 l
7、与抛物线 C 交于 P，Q 两点，直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，OPQ 的面积记为 S1，OMN 的面积记为 S2，求证： 1 S12 1 S22为定值 答案(1)y24x(2)证明略 解析(1)设B(x1， y1) F p 2，0， A(2， 2)， OF FB2FA p 2，0 x1p 24p，y 14 ， p 2x 1p 24p，y 140，x14，y14. 点 B 在抛物线 C 上，422p4，p2，y24x. (2)证明：由(1)知 F(1，0)，由题意得直线 l 的斜率存在且不为零，设 l：xmy1(m0)， 代入 y24x 得 y24my40，(4m)24(4)16
8、m2160，y1y24m，y1y2 4，|y1y2| 16m2164 m21. S11 2|y 1y2|12 m21，同理可得 S22 1 m21， 1 S12 1 S22 1 4（m21） 1 4 1 m21 1 4（m21） m2 4（m21） 1 4，为定值 5.已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1(1，0)，F2(1，0)，过点 F1且斜率 为 2 4 的直线与椭圆的一个交点在 x 轴上的射影恰好为 F2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)如图，椭圆 E 的下顶点为 A，过点 B(0，2)作一条与 y 轴不重合的直 线，该直线交椭圆 E 于 C
9、，D 两点，直线 AD，AC 分别交 x 轴于点 H， G.求证：ABG 与AOH 的面积之积为定值，并求出该定值 答案(1)x 2 2 y21(2)证明见解析 1 2 解析(1)过点 F1(1，0)且斜率为 2 4 的直线方程为 y 2 4 (x1)， 令 x1，则 y 2 2 ，由题意可得 a2b21， 1 a2 1 2b21， 解得 a22，b21， 所以椭圆 E 的方程为x 2 2 y21. (2)由题意知，直线 BC 的斜率存在，设直线 BC 的方程为 ykx2， 设 D(x1，y1)，C(x2，y2)，将 ykx2 代入x 2 2 y21，得(12k2)x28kx60， 所以 x1
10、x2 8k 12k2，x 1x2 6 12k2，由16k 2240，得 k23 2， 所以 y1y2k(x1x2)4 4 12k2， y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)442k 2 12k2， 由题意知直线 AD 的方程为 yy11 x1 x1，令 y0，解得 x x1 1y1， 则 H x1 1y1，0，同理可得 G x2 1y2，0， 所以 SABGSAOH 1 23| x2 1y2|1 21| x1 1y1| 3 4| x1x2 （1y1） （1y2）| 3 4| x1x2 1y1y2y1y2| 3 4| 6 12k2 1 4 12k2 42k2 12k2| 3 4| 6 12k2442k2|3 4 6 9 1 2. 所以ABG 与AOH 的面积之积为定值，该定值为1 2.
