1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 鱼台一中高二上学期第一次质量检测数学试题鱼台一中高二上学期第一次质量检测数学试题 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点(1, 2,4)关于y轴对称的点为（） A.1, 2)4(, B.1, 2,4C.1,2, 4D.1,2,4 【答案】A 【解析】 【分析】 直接根据空间对称关系得到答案 【详解】关于y轴对称，则y值不变，x和z的
2、值变为原来的相反数， 故所求的点的坐标为1, 2, 4 . 故选：A. 【点睛】本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的空间想象能力. 2. 已知向量2,3,1a ，1, 2,4b ，则a b （） A.1,1,5B.3,5, 3 C.3, 5,3D.1, 1, 5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量加法的坐标运算直接得出结果. 【详解】 2,3,11, 2,41,1,5ab . 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量加法的坐标运算，属于简单题. 3. 已知3,2,5a ，1,3bm ，若a b rr，则常数 m（ ） A. -6B. 6C. -9D. 9 【答案】A 高考资源网（）您身
3、边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【解析】 【分析】 等价转化为0a b ,利用空间向量的坐标运算得到关于m的方程，解之即可. 【详解】解：由a b 得0a b ， 又3,2,5a ，1,3bm ， 3 1 25 32120a bmm , 解得6m , 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量的垂直的充分必要条件，涉及空间向量的数量积的坐标运算，属 基础题. 4. 已知 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量a =OA OBOC ，向量 b OAOBOC ，则不能与, a b 构成空间的一个基底的是（） A. OA B. OB C. OC D. OA 或 OB 【答案】C 【解析】
4、 【分析】 根据题意，寻找与, a b 共面的向量即可. 【详解】因为a =OA OBOC ，b =OA OBOC ， 故 1 2 OC (a b )，所以OC 与向量, a b 共面， 故OC ，a ，b 不能构成空间的一个基底. 故选：C. 【点睛】本题考查构成向量是否共面的判断，属基础题. 5. 已知三棱锥ABCD的各棱长均为 1，且E是BC的中点，则AE CD （） A. 1 2 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 4 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【答案】D 【解析】 【分析】 先以,AB AC AD 为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可.
5、 【 详 解 】 以,AB AC AD 为 基 底 进 行 线 性 转 化 ， 棱 长 均 为1 ， 故 1 2 AB ACAC ADAD AB E是BC的中点，故 1 2 AEABAC ，CD ADAC 故 211 22 AE CDABACADACAB ADAB ACAC ADAC 11111 1 22224 . 故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题. 6. 已知空间四个点(1,1,1)A，( 4,0,2)B ，( 3,1,0)C ，( 1,0,4)D ，则直线 AD 与平面 ABC 所成的角为（） A.30B.45C.60D.90 【答案】A 【解析】
6、【分析】 根据向量法求出线面角即可. 【详解】设平面ABC的法向量为( , , )nx y z ，直线 AD 与平面 ABC 所成的角为 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - ( 2, 1,3),( 5, 1,1),( 4, 2, 1)ADABAC 050 420 0 n ABxyz xyz n AC 令1x ，则(1, 3,2)n | 236|1 sin 21414 AD n ADn 则30 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用向量法求线面角，属于中档题. 7. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的法向量为2, 2,1n ,O为坐标原点.已知 1, 3,8P ，
7、则P到平面OAB的距离等于（ ） A. 4B. 2C. 3D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：1, 3,8OP . 所以点P到面OAB的距离 268 4 44 1 OP n dOP OP n . 故选：A 8. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线为,OB AC，,M N分别是对边,OB AC的中点， 点G在线段MN上， 2MGGN ，现用基向量,OA OB OC 表示向量OG ，设 OGxOAyOBzOC ，则 , ,x y z的值分别是（ ） A. 111 333 xyz，B. 111 336 xyz， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - C.
8、111 363 xyz，D. 111 633 xyz， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出OG ，进而得到结果. 【详解】 12121212 23232323 OGOMMGOAMNOAMAANOAOAAN 525221 636332 OAABBNOAABBC 521111 633633 OAOBOAOCOBOAOBOC 1 6 x， 1 3 y ， 1 3 z 故选：D 【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则. 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每
9、小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知 1 v ， 2 v 分别为直线 1 l， 2 l的方向向量（ 1 l， 2 l不重合） ， 1 n u r ， 2 n u u r 分别为平面，的 法向量（，不重合） ，则下列说法中正确的有（） A. 1212 /vvll B. 1212 vvll C. 12 /nn D. 12 nn 【答案】ABCD 【解析】 【分析】 根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，从而可
10、得正确的选项. 【详解】若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件为它们的方向 向量平行（或垂直） ，故 A、B 均正确. 若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件为它们的法向量平行（或垂直） ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 故 C、D 均正确. 故选：ABCD 【点睛】本题考查空间中点线面位置关系判断的向量方法，考查学生的转化能力和空间想象 力，本题属于容易题 10. 已知 ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（） A. 22 1111111 3A AADABAB B. 1111 0ACABA A C. 向量
11、 1AD 与向量 1 AB 的夹角是 60 D. 正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 1 AB AA AD 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用空间向量的加减法运算法则，数量积公式，向量夹角公式对各个选项进行判断即可. 【 详 解 】 由 向 量 的 加 法 得 到 ： 111111 AADAACAB ， 22 111 A C3A B， 22 111 A C3 A B ，所以 A 正确； 1 111 ABABA A ，AB1A1C， 11 A C AB0 ，故 B 正确； ACD1是等边三角形，AD1C60，又 A1BD1C，异面直线 AD1与 A1B 所成的夹 角为 60，但是向量
12、1AD 与向量 1 AB 的夹角是 120，故 C 不正确； ABAA1， 1 AB AA0 ，故 1 AB AA AD 0，因此 D 不正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积.用到向量 的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角 及正方体的对角线的计算、体积的计算. 11. 在正方体 1111 ABCDABC D中，,E F分别是 11 AD和 11 C D的中点，则下列结论正确的是 （） A. 11 AC/平面CEFB. 1 B D 平面CEF 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网
13、- 7 - C. 1 1 2 CEDADDDCD. 点D与点 1 B到平面CEF的距离相 等 【答案】AC 【解析】 【分析】 采用逐一验证法，建立空间直角标系，根据线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理可 知 A,B 正误，然后根据向量的坐标运算以及点面距相等的判定条件，可得结果. 【详解】对 A，因为,E F分别是 11 AD和 11 C D的中点 故 11 / /EFAC，故 11 AC/平面CEF成立. 对 B，建立如图空间直角坐标系， 设正方体 1111 ABCDABC D边长为 2 则 1 ( 2, 2, 2) B D，(0,1, 2)FC .故 1 0 1 430B D FC
14、. 故 1 ,B D FC 不互相垂直.又CF属于平面CEF.故 1 B D 平面CEF不成立. 对 C，(1, 2,2) CE，1 1 2 DADDDC 1 (2,0,0)(0,0,2)(0,2,0) 2 1 1 (1, 2,2) 2 DADDDC，故1 1 2 DADDCDCE 成立. 对 D，点D与点 1 B到平面CEF的距离相等则点D与点 1 B中点O在平面CEF上. 连接,AC AE易得平面CEF即平面CAEF. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 又点D与点 1 B中点O在 11 A ACC上，故点O不在平面CEF上.故 D 不成立. 故选：AC 【点睛
15、】本题考查线面关系、点面距以及空间向量的坐标运算，掌握线线、线面、面面的相 关定理以及点面距、面面距、线面距的向量求法，属基础题. 12. 如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂 直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（） A. 0BD AC ； B.60BAC； C. 三棱锥DABC是正三棱锥； D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直. 【答案】BC 【解析】 【分析】 通过线面垂直的判定得出BD 平面 ADC， 进而BDAC， 故而可判断 A； 通过证明ABC 是等边三角形可判断 B；通过正三棱锥的定义可判断 C；通过平面AD
16、C和平面ABC不垂直 可判断 D. 【详解】D 为 BC 的中点，ADBC， 又平面ABD 平面 ACD，平面ABD平面 ACD=AD， BDAD，BD 平面 ABD， BD 平面 ADC，又AC 平面 ADC， BDAC，即 0BD AC ，故 A 不正确； 由 A 知，BD 平面 ADC，CD 平面 ADC， BDCD，设ABACa，则 2 2 BDCDa ， 由勾股定理得：BCa，ABC是等边三角形，故 B 正确； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - ABC是等边三角形，DADBDC， 三棱锥DABC是正三棱锥，故 C 正确； 由 A 知，BD 平面 ADC，
17、而面ABC内不存在与BD平行的直线， 故平面ADC和平面ABC不垂直， 即平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直错误；故 D 错误； 故选：BC. 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应， 仔细论证，属于中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知向量1,1,0 ,1,0,1ab ,且k a b 与a 互相垂直,则k=_. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 利用向量垂直满足数量积为 0，代入坐标，建立等式，即可得出答案 【详解】 , ,01,0,11, ,1kabk
18、 kkk ，而()0kaba ，得到 1 11 1 00kk ，解得 1 2 k 【点睛】本道题考查了向量数量积公式，向量垂直，说明数量积为 0，建立等式，计算结果 14. 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABBC， 1 2AA ，E，F分别是面 1111 DCBA、面 11 BCC B的中心，则E、F两点间的距离为_. 【答案】 6 2 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 以D为坐标原点，分别以DA ，DC ， 1 DD 所在方向为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角 坐标系，分别列出 E 与 F 的空间坐标，然后，利用两点间
19、距离公式即可求解 【详解】 以D为坐标原点，分别以DA ，DC ， 1 DD 所在方向为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角 坐标系，由条件知1,1,2E， 2 1,2, 2 F . 2 0,1, 2 EF ，E、F两点间的距离 为 16 0 1 22 EF . 故答案为： 6 2 【点睛】本题考查了空间中两点距离的计算，属于基础题 15. 如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形，O为底面中心， 1 AO 平面 ABCD， 1 2ABAA=.平面 1 OCB的法向量n _. 【答案】1,0, 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有
20、高考资源网 - 11 - 易 知OC(0,1,0) ，(1,1,0)AB ， 从 而 可 得 1111 OBOAA B(1,1,1) ， 结 合 OC0ny ， 1 OB0nxyz ，从而解得 【详解】ABCD是正方形，且 2AB ， AOOC1， OC(0,1,0) ， A(0, 1,0)，B(1,0,0)， (1,1,0)AB ， 11 A B(1,1,0) ， OA1， 1 AA2， 1 OA2 11 ， 故 1 (0,0,1)OA ， 故 1111 OBOAA B(1,1,1) ， 向量( , , )nx y z 是平面 OCB1的法向量， OC0yn ， 1 OB0nxyz ， 故0
21、y ，xz ，取1x ，故1z ， 平面 1 OCB的法向量 1,0, 1n 故答案为：1,0, 1（答案不唯一） 【点睛】本题考查平面的法向量，建系求解即可，主要考查学生的运算能力，属于基础题. 16. 如图在一个120的二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两 个半平面内，且均与棱AB垂直，若 2AB ，1AC ，2BD ，则CD _. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【答案】3 【解析】 【分析】 由CD CAABBD ，两边平方后展开整理，即可求得 2 CD ，则CD的长可求 【详解】CD CAABBD ， 2222 222CDCA
22、ABBDCA ABCA BDAB BD ， CA AB ，BD AB ， 0CA AB ， 0BD AB ， 1 |cos 1801201 21 2 CA BDCA BD 2 1242 19CD ， | 3CD . 故答案为：3. 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考 查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，PA 平面 ABCD，且 PA=2，E 是
23、 PD 中点以 A 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （）求点, , ,A B C D P E的坐标； （）求CE 【答案】 （）0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，0,2,0D，0,0,2P，0,1,1E（） 6 【解析】 试题分析： （）利用空间直角坐标系的性质能求出点 A，B，C，D，P，E 的坐标 （）先求 出向量CE ，再求CE 的长 试题解析： （）由题意有：0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C 0,2,0D，0,0,2P，0,1,1E （）(0,1,1),(2,2,0)AEAC ， ( 2,
24、 1,1)CEAEAC ， 22 ( 2)( 1)16CE 考点：空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标 18. 如图，平行六面体 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 1 的正方形， 1 2AA ， 设AB a ，AD b ， 1 AAc . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （1）试用a ，b ，c 表示向量AC ， 1 BD ； （2）若 11 120A ADA AB ，求直线AC与 1 BD所成的角. 【答案】 （1）AC ab ； 1 BDbca ； （2）60. 【解析】 【分析】 （1）由向量的加减运算法则，即可求解向量AC ， 1
25、 BD ； （2）根据向量的数量积的运算公式，分别求得 1 ,AC BD ACBD ,结合向量的夹角公式， 即可求解. 【详解】 （1）由向量的加减运算法则知： 在平行四边形ABCD中，AC ABAD ab， 又由 111 BDADABADAAABbca . （2）由题意知1ab rr ，2c ，,90a b ，,120a c ，,120b c ， 可得 22 AC BDabbcaa cabb c 12 cos1201 1 12cos120 22 2 22 . 又由2AC ， 2 222 1 2BDbcabcab ca ba c 22 12 1242 22 ， 高考资源网（）您身边的高考专家
26、版权所有高考资源网 - 15 - 所以 1 1 1 21 cos, 22 2 AC BD AC BD ACBD ， 因为 1 ,0 ,180 AC BD ，所以 1 ,120AC BD . 所以AC与 1 BD所成的角为60. 【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记 空间向量的数量积和夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19. 在正方体 1111 ABC DABCD中，棱长为 1. （1）求直线 BC 与直线 1 B D所成角的余弦值； （2）求点 A 到平面 1 BCD的距离. 【答案】 （1） 3 3 （2） 2 2 【解析】
27、 【分析】 （1）以 A 为坐标原点，以 AB、AD、 1 AA的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系，求得0,1,0BC ， 1 1,1, 1B D ，再求两向量夹角的余弦值，即 可得到答案； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （2）求得平面 1 BCD的一个法向量 0,1,1n r ，再利用向量法求点到平面 1 BCD的距离. 【详解】 （1）依题意，AB，AD， 1 AA是两两互相垂直的，以 A 为坐标原点，以 AB、AD、 1 AA 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 11 (
28、0,0,0), (1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,1)ABACDB 0,1,0BC ， 1 1,1, 1B D ， 设直线 BC 与直线 1 B D所成的角为， 1 1 13 cos 33 BC B D BCB D ， 即直线 BC 与直线 1 B D所成角的余弦值为 3 3 . （2）由（1）知 1 B C0,1, 1 ， 1 1,1, 1B D ， 1 1,0,1AB 设平面 1 BCD的一个法向量 , ,nx y z ，则 1 1 0 0 n BC n B D ， 0 0 yz xyz ， 令1z ，则0,1xy，此时0,1,1n r 112 22
29、 AB n d n ， 点 A 到平面 1 BCD的距离为 2 2 . 【点睛】本题考查异面直线所成的角、点到面的距离，考查方程思想、转化与化归思想，考 查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意建系时要找到三条两两互相垂直的直线. 20. 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 ACABAA，90CAB，M是 11 BC的中 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 点，N是AC的中点. （1）求证：/ /MN平面 11 ABB A； （2）求直线 1 AB与平面 11 BCC B所成的角的大小. 【答案】 （1）证明见解析（2）30 【解析】 【分析】 （1）
30、取AB的中点H，连结HN、 1 B H，先证明四边形 1 HNMB是平行四边形，得到 1 / /MNB H，利用线面平行的判定理可得结果； （2）连结 1 AM，BM，得到 1 ABM为直线 1 BA与平面 11 BCC B所成的角，在 1 AMB中求 出 1 ABM. 【详解】 （1）证明：取AB的中点H，连结HN、 1 B H， 因为HN是ABC的中位线， 所以/ /HNBC，且 1 2 HNBC， 又因为 1 / /B MBC，且 1 1 2 B MBC， 分所以 1 / /HNB M且 1 HNB M 所以四边形 1 HNMB是平行四边形， 所以 1 / /MNB H， 又因为MN 面
31、 11 ABB A， 1 B H 面 11 ABB A， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 所以/ /MN面 11 ABB A， （2）解：连结 1 AM，BM，因为 1111 ABAC，M是 11 BC中点，所以 111 AMBC， 又因为面 111 ABC 面 11 BCC B， 1 AM 面 111 ABC， 面 111 ABC 面 1111 BCC BBC 所以 1 AM 面 11 BCC B， 所以直线BM为 1 AB在面 11 BCC B内的射影， 所以 1 ABM为直线 1 BA与平面 11 BCC B所成的角， 设2AB ，则在 1 AMB中，
32、1 90AMB， 1 2AM ， 1 2 2AB ， 所以 1 1 1 21 sin 22 2 AM ABM AB ，所以 1 30ABM， 所以直线 1 BA与平面 11 BCC B所成的角为30. 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是中档 题. 21. 如图，已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面垂直， 1 2AAABAC，ABAC， M、N分别是 1 CC，BC的中点，点P在线段 11 AB上，且 111 APAB . （1）证明：无论取何值，总有AMPN； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - （2）当 1 2
33、时，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 14 14 . 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，表示出, PN AM，然后计算 PN AM，进行判断可得结果. （2）分别计算平面ABC，平面PMN的一个法向量，然后使用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】 解：以A为坐标原点，分别以AB，AC， 1 AA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则 1 0,0,2A， 1 2,0,2B，0,2,1M，1,1,0N， 111 2,0,0,0,0APAB ， 11 ,0,2APAAAP ，1,1, 2PN ， （）0,2,1AM ， 0220
34、AM PN ， 无论取何值，AMPN. （） 1 2 时，1,0,2P， 0,1, 2PN ，1,2, 1PM . 而面ABC的法向量0,0,1n ，设平面PMN的法向量为 1 , ,1nx y ， 则 1 1 210 20 nPMxy nPNy ， 1 3,2,1n ， 设为平面PNM与平面ABC所成锐二面角， 1 1 14 cos 14 n n nn . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 所以平面PNM与平面ABC所成锐二面角的余弦值是 14 14 . 【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，重在计算，解题时要 认真审题，注意向量法的合
35、理运用，属中档题. 22. 如图，在四棱锥PABCD中，ACBDO，底面ABCD为菱形，边长为 2， PCBD，PAPC，且60ABC，异面直线PB与CD所成的角为60. （1）求证：PO 平面ABCD； （2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离. （3）求平面APB与平面PBC夹角的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 2 ； （3） 1 3 . 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可证明结论成立； （2）以O为原点，OB，OC，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设POa，根据题中条件，求出 13 2 BE ，3BP ，
36、再由 2 2 BE BP BE BP ，即可 求出结果； （3）根据向量的方法先分别求出平面的法向量，根据向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】 （1）四边形ABCD是菱形，ACBD， PCBD，PCACC，BD 平面APC， PO 平面APC，BDPO， PAPC，O为AC中点，POAC， 又ACBDO，PO 平面ABCD， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - PO 平面ABCD. （2）以O为原点，OB，OC，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， / /ABCD，PBA为异面直线PB与CD所成角，60PBA， 在菱形ABCD中，2AB ， 6
37、0ABC，1OA， 3OB ， 设POa，则 2 1PAa ， 2 3PBa ， 在PBA中，由余弦定理得： 222 2cosPABABPBA BPPBA ， 222 1 1432 23 2 aaa ，解得 6a ， 0, 1,0A，3,0,0B，0,1,0C，0,0,6P， 1 0,0 2 E ， 1 3,0 2 BE ，3,0, 6BP ， 13 2 BE ，3BP ， 点E到直线BP的距离为 2 2 133 1 42 BE BP dBE BP . （3）由（2）得3,1,0AB ，0,1, 6AP ， 设平面ABP的法向量, ,nx y z ， 则 30 60 n ABxy n CPyz ，取1z ，则 2x ，6y ，2,6,1n ， 设, ,ma b c u r 是平面CBP的法向量， 因为3, 1,0CB ，0, 1, 6CP ， 由 30 60 m CBab m CPbc ，令1c ，则 2a ，6b ，得2, 6,1m ， 设二面角APBC的平面角为， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 - 1 cos 3 n m nm ， 二面角APBC的余弦值为 1 3 . 【点睛】本题主要考查证明线面垂直，考查求点到直线的距离，考查求二面角的余弦值，根 据向量的方法求解即可，属于常考题型.
