1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 乐山市十校高乐山市十校高 20212021 届第四学期半期联考数学文科试题届第四学期半期联考数学文科试题 一、选择题一、选择题： （每小题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1. 复数2(1 2 ) i的虚部是（） A. 2B.2iC. 4D.4i 【答案】C 【解析】 【分析】 首先将复数写出标准形式，再根据复数的定义确定其虚部； 【详解】解：因为2(12 )24ii，故其虚部为4 故选：C 【点睛】本题考查复数的相关概念，属于基础题. 2. 函数 2 ( )cosf xxx的导数是（） A.2 sinxxB.2
2、 sinxxC. 2 2 cossinxxxx D. 2 2 cossinxxxx 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【详解】解：因为 2 ( )cosf xxx 所以 222 ( )coscos2 cossinfxxxxxxxxx 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算，基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题. 3. 从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动， 则这名女生被选中的概率是 （） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 【答案】B 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2
3、- 【分析】 首先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：基本事件总数为 2 4 6C （种） ，这名女生被选中的有 11 13 3C C （种） 故概率 31 62 P 故选：B 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题. 4. 按如图的程序框图运行相应的程序，若输入N的值为 8，则输出N的值为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据初始值 8，依次循环，直至3N 终止循环，输出N. 【详解】8N ， 第一次循环：7N ， 第二次循环：6N ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源
4、网 - 3 - 第三次循环：23N ， 终止循环，输出2 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图的条件结构和循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基 础题. 5. 曲线 ( )f x 32 22xx 在点(1,1)处的切线方程为（） A.2yx B. yx C.2yxD. yx 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义可得切线的斜率，再根据点斜式可得切线方程. 【详解】因为 32 ( )22f xxx，所以 2 ( )34fxxx， 所以所求切线的斜率为(1)341 f ， 又(1)1 221f ， 所以所求切线方程为 1(1)yx ，即2yx . 故选：A 【点睛】本题考查了导数的
5、几何意义，属于基础题. 6. 我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 648 石， 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 288 粒内夹谷 32 粒，则这批米内夹谷约为（） （注： 石dn古代重量单位，1 石60 千克） A. 74 石B. 72 石C. 70 石D. 68 石 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，列出方程，根据这批米内夹谷数，得到答案. 【详解】设送来 648 石米内夹谷约为x石， 因为抽样取米一把，数得 288 粒内夹谷 32 粒，可得 32 648288 x ，解得72x 石. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 -
6、故选：B. 【点睛】本题主要考查了用样本数字特征估计总体的数字特征的应用问题，其中解答中根据 题意列出方程是解答的关键，属于基础题. 7. 某高校调查了 100 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直 方图，其中自习时间的范围是17.5，30根据直方图，求出a的值是（） A. 0.18B. 0.17C. 0.16D. 0.15 【答案】C 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为 1 得到方程，解得即可； 【 详 解 】 解 ： 根 据 频 率 分 布 直 方 图 中 所 有 的 小 矩 形 的 面 积 之 和 为 1 ， 可 得 0.02+0
7、.04+0.08+0.1+2.51a 解得0.16a 故选：C 【点睛】本题考查频率分布直方图的性质的应用，属于基础题. 8. 函数 3 ( )3f xxx的极小值是（） A. 4B. 2C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出函数的导函数，说明其单调性，即可得到函数的极值点，从而求出函数的极小值； 【详解】解：因为 3 ( )3f xxx， 所以 2 ( )33311fxxxx 令( )0fx ，解得1x 或1x ，可得1x 或1x 时( )0fx ，当11x 时 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - ( )0fx， 所以 ( )f x在 , 1
8、 和 1,上单调递增，1,1 上单调递减； 故函数在1x 处取得极小值， ( )12f xf 极小值 故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，属于基础题. 9. 如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值 是（） A. 10 5 B. 2 5 5 C. 5 5 D. 10 10 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 1 AD， 1 D M，根据异面直线所成角的定义，转化为求 1 D AM（或其补角） ，然后在三 角形 1 D AM中用余弦定理即可解得. 【详解】连接 1 AD， 1 D M，如图： 高考资源网（）您身边的高
9、考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 易得 11 / /ADBC，所以 1 D AM（或其补角）是异面直线AM与BC1所成角， 设正方体的棱长为a， 1 AD2a， 1 5 2 AMD Ma ， 在三角形 1 D AM中， 222 11 1 1 cos 2 ADAMD M D AM ADAM 222 55 2 44 5 22 2 aaa aa 10 5 ， 所以异面直线AM与BC1所成角的余弦值是 10 5 . 故选：A 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补 角）是解题关键，属于基础题. 10. 如图在ABC中，90ABC ， 22ACBC，在AB
10、C内作射线BD与边AC交 于点D，则使得DCDB的概率是（） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得60DCB o ， 根据三角形中“ 大边对大角， 小边对小角”的性质， 将DCDB 转化为求DBCDCB 的概率，又因为60DCB o ，090DBC ，从而可得 DCDB的概率 【详解】解：在ABC中，90ABC ， 22ACBC， 所以60ACB ，即60DCB o ， 要使得DCDB，则DBCDCB ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 又因为60DCB o ，090DBC ， 则DCDB的概率是 6
11、02 903 P 故选：C 【点睛】本题考查几何概型及其计算方法的知识，属于基础题 11. 已知 ( )f x是定义在(0,)上的函数，其导函数是 ( ) fx，且当0 x 时总有 ( )( )xfxf x ，则下列各项表述正确的是（） A.2 (1)(2)ffB.2 (1)(2)ffC.2 (1)(2)ffD. 2 (1)(2)ff 【答案】D 【解析】 【分析】 设函数 ( ) ,0 f x g xx x ，根据题意，求得 g x为单调递增函数，得到 21gg，进 而得出答案. 【详解】由题意，设函数 ( ) ,0 f x g xx x ，则 2 ( )( )xfxf x gx x ， 因
12、为( )( )xfxf x ，可得 0gx ，所以 g x为单调递增函数， 可得 21gg，即 (2)(1) 21 ff ，所以2 (1)(2)ff. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的四则运算，以及函数的单调性的应用，其中解答中根据题意，构 造新函数 ( ) ,0 f x g xx x ，求得 g x的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及 推理与运算能力. 12. 已知函数( ) x f xxe，( )lng xxx，若存在正实数 12 ,x x，使 12 ()()f xg xt成立， 则 22 12 2 t x x e 的最大值是（） （注：e是自然对数的底数） A. 2 4 e
13、B. 2 2 e C. 1 e D. e 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【解析】 【分析】 当0t 时， ( )f xt 有唯一解，而 1 122 , x xet x lnxt，通过变形可得 2 2 lnx lnx et，比较可得 12 xlnx，进而得到 1 2 222 1 12 222 x ttt x e x xt eee ，运用导数即可求最大值 【详解】解：由题意， 1 1 x x et， 22 x lnxt，则 2 2 lnx lnx et， 作函数( ) x f xxe的草图如下， 由图可知，当0t 时， ( )f xt 有唯一解，故 1
14、2 xlnx，1 2 x ex 且 1 0 x， 1 2 222 1 12 222 x ttt x e x xt eee ， 设 2 0 2 ( ), t h t t e t，则 22 222 2 ) 2 ( 2 ttt h tttttt eee t ，令( )0h t，解得2t 或0t ， 易得当(0,2)t时，( )0h t，函数( )h t单调递增，当(2,)t时，( )0h t，函数( )h t单 调递减， 故 2 ( )( ) 2 2h th e ，即 22 12 2 t x x e 的最大值为 2 2 e 故选：B 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查化简变形能力及数形结合思
15、想，属于中档题 二、填空题二、填空题： （每小题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标， 现从 60 袋这种牛奶中抽取 12 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 袋进行检验.利用随机数表抽取样本时，先将 60 袋牛奶按 00，01，59 进行编号，若从随 机数表第 8 行第 7 列的数开始向右读，则第 4 袋牛奶的编号为_； (下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25
16、83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 16 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】10 【解析】 【分析】 根据利用随机数表抽取样本的规则一一读取即可； 【详解】 解： 从随机数表第 8 行第 7 列的数开始向右读， 分别是 78 （舍去） ， 59,16,95 （舍去） ， 55,67（舍去） ，16（重复） ，98（舍去） ，10， 故第
17、 4 袋牛奶的编号为 10 故答案为：10 【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基 础题 14. 执行如图所示的程序框图，如果输入的2t ，则输出的S的是_； 【答案】6 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 依次列出程序执行的步骤即可. 【详解】此程序执行的步骤为： 2t ，满足条件，9t ，不满足条件，6S ，输出6S 故答案为：6 【点睛】本题考查的是程序框图，较简单. 15. 已知函数 3 ( )1f xaxx 的导函数是( ) fx，若 ( )f x的图像在点(1,(1)f 的处的切线 过点(2
18、,3)，则a_； 【答案】1 【解析】 【分析】 求出函数的导数，求出切线方程，得到关于a的方程，解出即可； 【详解】 2 ( )31fxax， 131fa ， 又 1fa，切线方程为 (31)(1)yaax ， 切线过点(2,3)， 331aa ， 解得1a ； 故答案为：1 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，属于基础题. 16. 已知函数 ( )f x是定义在(0,)上的单调函数， ( ) fx是 ( )f x的导函数，且对任意的 (0,)x都有 2 ( ( )2f f xx，若函数( )( )2( )3F xxf xfx 的一个零点 0 ( ,1)xm m，则整数
19、m的值是_. 【答案】2 【解析】 【分析】 先通过已知求出 2 ( )=+1,f xx得到 3 ( )33F xxx， 再利用导数研究得到函数( )F x在(0,1) 内没有零点，函数( )F x的零点在(2,3)内，即得m的值. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【详解】因为函数 ( )f x 是定义在(0,)上的单调函数，且对任意的(0,)x都有 2 ( ( )2f f xx， 所以 2 ( )f xx是一个定值，设 2 ( )f xxt， 所以 2 ( )=+f xxt，( )2f t 所以 2 ( )= +2,1f tttt 或2t （舍去）. 所以
20、2 ( )=+1,( )2f xxfxx， 所以 23 ( )(1)2 2333F xx xxxx ， 所以 2 ( )33=3(1)(1)F xxxx， 所以函数( )F x在(1,)是增函数，在(0,1)是减函数， 因为(0)30,(1)50FF ,所以函数( )F x在(0,1)内没有零点. 因为(2)86310,(3)27 12150FF ,函数( )F x在(1,)是增函数， 所以函数( )F x的零点在(2,3)内， 所以2m . 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导 数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分
21、析推理能力. 三、解答题三、解答题： （共（共 7070 分）分） 17. 已知复数1 2zi ，记其共轭复数为z. （1）求(z 1)(3 )zi的值； （2）若复数 5 32 z wi z ，求复数w的模w. 【答案】 （1）4i； （2）2. 【解析】 【分析】 （1）由复数1 2zi ，求得 1 2zi ，根据复数的运算法则，即可求解； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （2）根据复数的运算法则，化简得2wi=，利用模的计算公式，即可求得w. 【详解】 （1）由题意，复数1 2zi ，可得 1 2zi ， 则122 ,31zi zii ，所以(z 1)(
22、3 )(22 )(1)4ziiii. （2）由 2 5(1 2 )5(1 2 ) 323234322 1 2(1 2 )(1 2 ) ii wiiiii iii ， 所以2w . 【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，复数的模的计算，以及复数的四则运算的综合应 用，着重考查了计算能力，属于基础题. 18. 据统计,某 5 家鲜花店今年 4 月的销售额和利润额资料如下表： 鲜花店名称ABCDE 销售额x（千元）35679 利润额y（千元）23345 （1）用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程 y = bx+ a ； （2）如果某家鲜花店的销售额为 8 千元时,利用(1)的结论估计这
23、家鲜花店的利润额是多少. 参考公式：回归方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计值公式分别为 nn iiii i 1i 1 nn 2 22 ii i 1i 1 (xx)(yy)x ynxy b,aybx (xx)xnx 【答案】 （1） y =0.5x+0.4.（2）4.4 千元. 【解析】 【分析】 (1)根据回归直线方程的计算方法,分别计算x,y以及b与 a即可. (2)代入8x 到(1)中所求得的回归方程估算即可. 【详解】解：(1)设回归直线方程是 y = bx+ a . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 由题中的数据可知y=3.4,x=6. 1 2
24、1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ( 3) ( 1.4)( 1) ( 0.4)0 ( 0.4)1 0.63 1.6 9 10 1 9 10 0.5 20 , aybx $ =3.4-0.56=0.4, 利润额y关于销售额x的回归直线方程为 y =0.5x+0.4. (2)由(1)知,当x=8 时, y =0.58+0.4=4.4, 即当销售额为 8 千万元时,可以估计该鲜花店的利润额为 4.4 千元. 【点睛】本题主要考查了根据线性回归方程的求解方法以及实际意义与估算的问题.属于基础 题. 19. 已知函数( )() x x f xaaR e （1）求函数 (
25、)f x的单调区间； （2）若方程 ( )f x0 有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】 （1） ( )f x的单调递增区间是(,1) ，单调递减区间是(1,).（2） 1 0a e 【解析】 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间； （2）由( )0 x x f xa e 得 x x a e ， 将此方程的根看作函数 x x y e 与y a 的图象交点的 横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围； 【详解】解： （1）( )() x x f xaaR e 所以 2 1 ( ) () xx xx exex fx
26、 ee 当1x 时，( )0fx ，当1x 时，( )0fx ； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 即 ( )f x的单调递增区间是(,1) ，单调递减区间是(1,). （2）由( )0 x x f xa e 得 x x a e ， 将此方程的根看作函数 x x y e 与y a 的图象交点的横坐标， 由（1）知函数 x x y e 在1x 时有极大值 1 e ，作出其大致图象， 实数a的取值范围是 1 0a e . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题. 20. 如图，AB是圆O的直径，C是圆上的点，平面PAC平面ABC，PAA
27、B. （1）求证：PA平面ABC； （2）若PA=AC=2，求点A到平面PBC的距离 【答案】 （1）见解析（2） 2 【解析】 【分析】 （1）证明BC平面PAC得到BCPA，结合题目条件PAAB得到证明. （2）令BCa，利用等体积法 A PBCP ABC VV ，解得距离. 【详解】 （1）AB是圆O的直径，ACBC， 又平面PAC平面ABC且平面PAC平面ABCAC， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - BC平面PAC，PA平面PAC，BCPA， 又PAAB，ABBCB，PA平面ABC. （2）由（1）知PAAC，BCPC，令BCa，PA=AC=2，PC2
28、 2， 1 2 2 ABC Saa ， 1 2 22 2 PBC Saa ， 设点A到平面PBC的距离为d， 则由 A PBCP ABC VV 得： 11 22 33 a da ，2d . 即A到平面PBC的距离为 2. 【点睛】本题考查了线面垂直，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，等体 积法的灵活运用是解题的关键. 21. 2020 年，我国继续实行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病 医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别 有72,108,120人， 现采用分层抽样的方法， 从该单位上述员工中抽取 50 人调查专
29、项附加扣除 的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （）抽取的 50 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 5 人，分别记为, ,A B C D E. 享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 5 人中随机抽取 2 人接受 采访. 员工 项目 ABCDE 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 赡养老人 （1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （2）设M为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除全都不相同”，求事件M发生的概率. 【答案】 （）12 人、18 人和 20 人；
30、（） （1）所有可能的抽取结果有AB，AC，AD，AE，BC， BD，BE，CD，CE，DE共 10 种； （2）0.3. 【解析】 【分析】 （）根据分层抽样的方法，即可求解老、中、青员工中分别抽取的人数； （） （1）从已知的 5 人中随机抽取 2 人，利用列举法，即可求得所有的基本事件； （2）由表格中数据，利用列举法得到符合题意的所有基本事件，利用古典概型的概率计算公 式，即可求解. 【详解】 （）由题意，单位老、中、青员工共有72 108 120300人， 根据分层抽样的分法，可得：老年员工应抽取人 72 5012 300 人， 中年员工应抽取 108 5018 300 人，青年员工
31、应抽取 120 5020 300 人 （）(1) 从编号为, ,A B C D E的 5 人中随机抽取 2 人接受采访，可得所有可能的抽取结 果有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共有 10 种. (2)由题中表格可知，事件M包含的基本事件只有AC，BC，DE，共有 3 种， 所以事件M发生的概率 3 ()0.3 10 P M . 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及分层抽样的计算，其中解答中利用 列举法求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考 查运算与求解能力. 22. 已知函数 32 ( )32()f xxaxaR.
32、 （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）当01a时，记函数 ( )f x在0,2上的最大值为M，最小值为m，求M m的取值 范围. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 【答案】 （1）见解析（2）( 8,4) 【解析】 【分析】 （1）对函数 ( )f x求导，讨论a的取值范围，分别求出 ( )0,( )0fxfx 的范围，从而确定 函数 ( )f x的单调性. （2）根据（1）的结论，确定函数( )f x在0,2上的单调性，从而确定函 数取最值的位置，即可求出Mm的表达式，然后根据a的范围求出Mm的取值范围. 【详解】解： （1） 2 ( )363 (2
33、 )fxxaxx xa 当0a 时，由( )0fx 得，0 x 或2xa，由( )0fx 得，02xa， 当0a 时，( )0fx 当0a 时，由( )0fx 得，2xa或0 x ，由( )0fx 得，20ax， 当0a 时， ( )f x的单调递增区间是(,0) ，(2 ,)a ，单调递减区间是(0,2 )a； 当0a 时， ( )f x的单调递增区间是(,) ； 当0a 时， ( )f x的单调递增区间是(,2 )a ，(0,)，单调递减区间是(2 ,0) a . （2）当01a时，022a，又0,2x， 由（1）知， ( )f x在 0,2a递减，在2 ,2a上递增， 故 3 (2 )4
34、2mfaa 又(0)2f ，(2)6 12fa， 2 21 3 2 6 120 3 a M aa ， 于是 3 3 2 441 3 2 41240 3 aa Mm aaa 当 2 1 3 a时， 3 44Mma 是关于a的减函数， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 140 ( 8, 27 Mm 当0 2 3 a时， 3 4124Mmaa 也是关于a的减函数， 140 (,4) 27 Mm 综上可得Mm的取值范围是( 8,4). 【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，考查根据单调性求函数的最值，考查学生分 类讨论的思想和分段函数求最值，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 -
