1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学（理）试卷数学（理）试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是 A. 所有不能被 2 整除的数都是偶数 B. 所有能被 2 整除的数都不是偶数 C. 存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D. 存在一个能被 2 整除的数不是偶数 【答案】D 【解析】 试题分析：命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被 2 整除的数不是偶 数”故选 D 考点：命题的否定 2. “x1”是“x210”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必
2、要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：由 x1，知 x210，由 x210 知 x1 或 x1由此知“x1”是“x21 0”的充分而不必要条件 解：“x1”“x210”， “x210”“x1 或 x1” “x1”是“x210”的充分而不必要条件 故选 A 点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运 用 3. 用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8B. 24C. 48D. 120 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【答案】C 【解析】
3、【详解】解：由题意知本题需要分步计数， 2 和 4 排在末位时，共有 1 2 2A 种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 3 4 4 3 2A 24 种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有 22448（个） 故选：C 4. 6 (42) xx （xR）展开式中的常数项是（ ） A.20B.15C. 15D. 20 【答案】C 【解析】 根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x的指数为 0，确定常数项是第几 项，最后计算出常数项. 62 (6)123 1666 (4 )(2)222 rxrxrrxrxrrxxr r TCCC ，令1230 xxr，则4r ，所
4、以 4 56 15TC，故选 C 5. 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点， 且与 C 的一条对称轴垂直， L 与 C 交于 A ,B 两点，AB为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】通径|AB|= 2 2 2 2 b a a 得 2 2 2222222 22333bacaac a a c e，选 B 6. 已知F为抛物线 2 yx的焦点，,A B是该抛物线上的两点，3AFBF， 则线段AB的 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 中点到y轴的距离为 () A. 3 4 B.1C. 5 4
5、 D. 7 4 【答案】C 【解析】 【分析】 抛物线的准线为 1 : 4 l x ，过,A B作准线的垂线， 垂足为,E G，AB的中点为M， 过M作 准线的垂线，垂足为MH，则可利用几何性质得到 3 2 MH ，故可得M到y轴的距离. 【详解】抛物线的准线为 1 : 4 l x ，过,A B作准线的垂线，垂足为,E G，AB的中点为M， 过M作准线的垂线，垂足为MH， 因为,A B是该抛物线上的两点，故,AEAFBGBF， 所以3AEBGAFBF， 又MH为梯形的中位线，所以 3 2 MH ，故M到y轴的距离为 315 244 ，故选 C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.
6、7. 某射手射击所得环数的分布列如下： 78910 Px0.10.3y 已知的期望 8.9E，则 y 的值为（） A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】 利用概率之和等于1，由分布列求出期望，列出方程组，解方程组即可. 【详解】由概率之和等于1得：0.6xy+ += =， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 78 0.1 9 0.3 108.9Exy ，即7 105.4xy ， 由可得：0.2x ，0.4y ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了概率的性质，考查了由分布列求数学期望，属于中档题. 8. 从1,2,3,4,5中任
7、取2个不同的数，事件A “取到的2个数之和为偶数”，事件B “取 到两个数均为偶数”，则|P B A () A. 1 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得 P A和P AB的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意 22 32 2 5 42 105 CC P A C , 2 2 2 5 1 = 10 C P AB C ,故 |P B A 1 1 10 2 4 5 P AB P A .故选 B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 9. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
8、 广告费用（万元）4235 销售额（万元）49263954 根据上表可得回归方程 ybxa中的b为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A. 63.6 万元B. 65.5 万元C. 67.7 万元D. 72.0 万元 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【解析】 【详解】试题分析： 423549263954 3.5,42 44 xy ， 数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程 ybxa中的b为 9.4， 42=9435+a， a =91， 线性回归方程是 y=94x+91， 广告费用为 6 万元时销售额为 946+91=655 考点
9、：线性回归方程 10.1972年调查某桑场采桑人员和不采桑人员的桑毛虫皮炎发病情况，结果如下表所示，利 用列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？ 采桑不采桑合计 患者人数181230 健康人数57883 合计2390113 由 2 2 n adbc K abcdacbd 算得 2 2 11318 785 12 39.6011 30 83 23 90 K . 2 P Kk0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 参照附表，得到的正确结论是（） A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关 B. 在犯错误的概率不超过1%的前提
10、下，认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”无关 C. 有99.9%以上的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关 D. 有99.9%以上的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”无关 【答案】C 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【解析】 【分析】 利用临界值表可得出结论. 【详解】 2 2 11318 785 12 39.601110.828 30 83 23 90 K ， 因此，有99.9%以上的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关. 故选：C. 【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，考查计算能力，属于基础题. 11. 在直线坐标系中，设(3,2)A，( 2, 3)
11、B ， 沿y轴把直角坐标平面折成 120的二面角后， AB的长为（） A. 6 B. 4 2 C.2 3D. 2 11 【答案】D 【解析】 【分析】 作AC垂直y轴，BD垂直y轴，/ /AMCD，AMCD，连接AB，MD，可得BDM 为二面角的平面角，在BDM中，由余弦定理可得 19BM ，在直角AMB中，由勾股定 理，即可求解 【详解】由题意，如图所示，作AC垂直y轴，BD垂直y轴，/ /,AMCD AMCD， 连接,AB MD，则5,2,3CDBDACMD，2,3BDACMD， 可得/ /ACMD，则MDy轴，又由BD垂直y轴， 所以BDM为二面角的平面角，所以 0 120BDM ， 在
12、BDM中， 由余弦定理可得 22022 1 2cos120232 2 3 ()19 2 BMBDDMBD DM ， 在直角AMB中，可得 2222 5( 19)2 11ABAMBM , 故选 D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【点睛】本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及空间距离的求解，其中解答中把平面图 形折叠为空间立体图形，根据空间中的位置关系和数量关系求解是解答的关键，着重考查了 空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题 12. 在正方体 1111 ABCDABC D中，二面角 11 -A BD B的大小为 A.60B.30C.120D.150 【答
13、案】C 【解析】 【详解】设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz， A（1，0，0） ，B（1，1，0） ， 1 D（0，0，1） ， 1 B（1，1，1） ， AB =（0，1，0） ， 1 ( 1, 1,1)BD ， 1 BB =（0，0，1） ， 设平面 1 ABD的法向量( , , )nx y z ， 则 1 0 0 AB n BD n ，取 x=1，得n =（1，0，1） ， 设平面 11 B BD的法向量 ( , , )ma b c ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 则 1 1 0 0 B
14、B m BD m ，取 a=1，得(1, 1,0)m ， 设二面角 11 -A BD B的平面角为， cos=-|cos,m n |= 1 2 ， 二面角 11 -A BD B的大小为 120 故选：C. 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 1 F， 2 F在x轴上，离心率为 2 2 ， 过 1 F作直线l交C于,A B两点，且 2 ABF的周长为16，那么C的方程为_ 【答案】 22 1 168 xy 【解析】 试题分析：依题意：4a16，即 a4，又 e c a 2 2 ，c2 2，b28. 椭
15、圆 C 的方程为 22 1 168 xy 考点：椭圆的定义及几何性质 14. 在三棱柱 111 ABCABC中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面 11 BBCC的中心， 则AD与平面 11 BBCC所成角的大小是. 【答案】60 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【详解】 取 BC 的中点 E，则 1 BEBC 面,则 ADE即为所求，设棱长为 2，则3,1AEDE, tan3,60ADEADE 15. 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有种 【答案】10 【解
16、析】 试题分析：由题意知本题是一个分类计数问题 一是 3 本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了 4 种，另一种情况是 2 本画册 2 本集邮 册，只要选两个人拿画册 2 4 6C种，根据分类计数原理知共10种 考点：1分类计数原理；2组合 16. 在 10 件产品中有 2 件次品，有放回地连续抽 3 次，每次抽 1 件，则抽到次品数为 2 的概 率为_（结果用分数作答）. 【答案】 12 125 【解析】 【分析】 先求出任意抽取一件产品为次品的概率，再利用二项分布的概率即可求出概率. 【详解】10 件产品中有 2 件次品，任意抽取一件产品为次品的概率为 21 105 ， 有放回地连续抽
17、3 次，相当于做了三次独立重复试验，抽到次品数为X，则 1 3, 5 XB :， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 2 2 3 1412 2 55125 P XC ， 故答案： 12 125 【点睛】本题主要考查了求二项分布的概率，属于中档题. 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线均和圆 C: 22 650 xyx相切， 且 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，求该双曲线的方程 【答案】 22 1 54 xy 【解析】 【分析】 整理出圆的标准方程，可得圆心和半径，即可求出c，根据相
18、切可知圆心到渐近线的距离为半 径可求出, a b，即得出双曲线方程. 【详解】由 22 650 xyx 22 (3)4xy， 圆心为0(3 )C ，半径 2r = =， 又双曲线的渐近线方程为 b yx a ，即0bxay， 由题意可得： 22 222 3 2 3 b ab c acb 2 2 5 4 a b 故所求双曲线方程为 22 1 54 xy . 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，属于基础题. 18.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女总计 爱好40a60 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 不爱好b3050
19、总计6050110 求（1）a、b 的值 （2）认为两者有关系犯错误的概率是多少？ 附表： 2 2 () ()()()() n adbc K a b c d a c b d 2 ()P Kk005000100001 k3841663510828 【答案】 （1）20,20ab； （2）认为两者有关系犯错误的概率不超过 1%. 【解析】 【分析】 （1）根据列联表中的数据即可求解. （2）计算观测值，利用独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】解： （1）利用列联表中数据可得 503020a ；604020b （2） 由 2 2 n adbc K abcdacbd ， 2 2 11040 302
20、0 20 7.8 60 50 60 50 K 所以有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”， 即认为两者有关系犯错误的概率不超过 1%. 【点睛】本题考查了列联表、独立性检验的基本思想，考查了基本运算求解能力，属于基础 题. 19. 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 日销售量（件）0123 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 频数1595 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变） ，设某天开始营业时有该商品 3 件，当 天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频 率视为概率 （1）求当天商
21、品不进货的概率； （2）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望 【答案】 （1） 3 10 （2）见解析 【解析】 （1）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为 0 件”）+P（“当天商品销售量 1 件”） = 153 202010 （2）由题意知，X的可能取值为 2，3. 51 (2)(1) 204 P xP当天商品销售量为 件； (3)(0)+ (2)+ ( 1953 3)+ 2020204 P xPPP 当天商品销售量为 件当天商品销售量为 件当天商品销售 量为 件 故X的分布列为 X23 P 1 4 3 4 X的数学期望为 1311 2+3= 44
22、4 EX 20. 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，H 是正方形 11 AAB B的中心， 1 2 2AA ， 1 C H 平 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 面 11 AAB B，且 1 5C H ，求异面直线 AC 与 11 AB所成角的余弦值. 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 可 得2,2, 5AC , 11 2 2,0,0AB ， 再 由 11 11 11 cos, | AC AB AC AB ACAB 即可得解. 【详解】如图所示，以点 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 依题意得2 2,0,0A
23、，0,0,0B， 1 2 2,2 2,0A， 1 0,2 2,0B， 因为 H 是正方形 11 AAB B的中心， 1 C H 平面 11 AAB B，且 1 5C H ， 所以 1 2,2, 5C， 由 11 0,2 2,0CCBB 可得2,2, 5C， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 所以2,2, 5AC ， 11 2 2,0,0AB ， 所以 11 11 11 42 cos, 33 2 2 | AC AB AC AB ACAB . 所以异面直线 AC 与 11 AB所成角的余弦值为 2 3 . 【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角，考查了运算求
24、解能力，属于基础题. 21. 如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QA=AB= 1 2 PD. （I）证明：平面 PQC平面 DCQ （II）求二面角 Q-BP-C 的余弦值. 【答案】 （I）证明见解析； （II） 15 5 . 【解析】 【分析】 首先根据题意以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，,DA PQ DC为 x、y、z 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 D-xyz； （）根据坐标系，求出,DQ DC PQ 的坐标，由向量积的运算 易得0,0DQ PQDC PQ ；进而可得 PQDQ，PQDC，由面面垂直的判定方法，可得 证明； （）依题意结合坐标
25、系，可得 B、,CB BP 的坐标，进而求出平面的 PBC 的法向量n 与 平面 PBQ 法向量m ，进而求出 cosm ，n ，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答 案. 【详解】如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，,DA PQ DC为 x、y、z 轴建立空 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 间直角坐标系. （）依题意有， 则，所以， 即，.且DQDCD 故平面. 又平面，所以平面平面. （II）依题意有，=，=. 设是平面的法向量，则即 因此可取 设是平面的法向量，则 可取所以 15 cos( , ) 5 m n , 且由图形可知二面角QB
26、PC为钝角 故二面角的余弦值为 考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 平行关系；用空间向量求平面间的夹角 22. 在平面直角坐标系xOy中， 点( , )P a b (0)ab为动点， 1, F 2 F分别为椭圆 22 22 1 xy ab 的左右焦点.已知 12 FPF为等腰三角形. （1）求椭圆的离心率 e； （2）设直线 2 PF与椭圆相交于A、B两点，M 是直线 2 PF上的点，满足 2AM BM ， 求点 M 的轨迹方程. 【答案】 （1） 1 2 ； （2） 2 1816
27、 3150(0)xxyx. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件 12 FPF为等腰三角形和椭圆的性质，列出关于abc、 、的方程，即可解 出离心率e. （2）由（1）写出椭圆和直线的方程，联立解出A B、两点的坐标，设 M 的坐标为( , ) x y，由条 件 2AM BM 列出方程， 此时方程中有x yc、 、 三个未知量， 由直线 2 PF： 3()yxc 得： 3 3 cxy ，将其代回方程中解出点 M 的轨迹方程，再讨论点 M 的轨迹方程的定义域 即可. 【详解】 （1）解：设 1( ,0),Fc 2( ,0) F c(0)c ， 由题意，可得 212 PFFF，即 22 ()2a
28、cbc . 整理得 2 210 cc aa ，得1 c a （舍） ，或 1 2 c a .所以 1 2 e . （2）解：由（1）知2 ,ac 3bc ， 可得椭圆方程为 222 3412xyc， 直线 2 PF方程为 3()yxc. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - A，B 两点的坐标满足方程组 222 3412 3() xyc yxc . 消去 y 并整理，得 2 580 xcx ，解得 1 0,x 2 8 5 xc. 得方程组的解： 1 1 0 3 x yc ， 2 2 8 5 3 3 5 xc yc . 不妨设 83 3 , 55 Acc (0,3 )
29、Bc，设点 M 的坐标为( , ) x y， 则 83 3 , 55 AMxc yc ( ,3 )BMx yc ， 由3()yxc，得 3 3 cxy . 于是 8 3383 3 , 15555 AMyxyx ，( , 3 )BMxx . 由 2AM BM ， 即 8 3383 3 32 15555 yxxyxx ， 化简得 2 1816 3150 xxy.将 2 1815 16 3 x y x 代入 3 3 cxy ， 得 2 105 0 16 x c x .所以0 x . 因此，点 M 的轨迹方程是 2 1816 3150(0)xxyx. 【点睛】本题主要考查了椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查 用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，属于中档题.
