1、第第 2 节节等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 知识梳理 1.等差数列的概念 (1)定义：一般地，如果数列an从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同 一个常数 d，即 an1and 恒成立，则称an为等差数列.其中 d 称为等差数列 的公差. (2)等差中项：如果 x，A，y 是等差数列，那么称 A 为 x 与 y 的等差中项，A xy 2 . 推广：若an为等差数列，则 2an1anan2(n3，nN)成立. 2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)如果等差数列an的首项是 a1，公差是 d，那么等差数列的通项公式为 ana1 (n1)d. (2)前 n 项和公式：
2、Snna1n（n1）d 2 n（a1an） 2 . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*). (2)如果an是等差数列，而且正整数 s，t，p，q，满足 stpq，则 asat apaq，特别地，如果 2spq，则有 2asapaq. (3)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列. (4)若 Sn为等差数列an的前 n 项和，则数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等 差数列. (5)若 Sn为等差数列an的前 n 项和，则数列 Sn n 也为等差数列. (6)若等差数列的项数为 2n(nN)时
3、，则 S2n n(anan1)，且 S偶S奇nd，S 奇 S偶 an an1. (7)若等差数列的项数为 2n1(nN)时，则 S2n1(2n1)an，且 S奇S偶an， S 奇nan，S偶(n1)an，S 奇 S偶 n n1. 1.已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p， q 为常数)， 则数列an一定是等 差数列，且公差为 p. 2.在等差数列an中，当 a10，d0 时，Sn有最大值，使 Sn取到最值的 n 可由不 等式组 an0， an10 确定； 当 a10 时，Sn有最小值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组 an0， an10 确定. 3.等差数列an的单调性：当 d0
4、 时，an是递增数列；当 d0 时，an是递减 数列；当 d0 时，an是常数列. 4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数). 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.() (2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的.() (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.() (4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 关于 n 的二次函数.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(3)若公差 d0，则通项公式不是 n 的一次函数. (4)若公差 d0，则前 n
5、 项和不是 n 的二次函数. 2.设数列an是等差数列， 其前 n 项和为 Sn， 若 a62 且 S530， 则 S8等于() A.31B.32C.33D.34 答案B 解析由已知可得 a15d2， 5a110d30， 解得 a126 3 ， d4 3， S88a187 2 d32. 3.一物体从 1 960 m 的高空降落，如果第 1 秒降落 4.90 m，以后每秒比前一秒多 降落 9.80 m，那么经过_秒落到地面. 答案20 解析设物体经过 t 秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为 4.90，公差为 9.80 的等差数 列. 所以 4.90t1 2t(t1)9.
6、801 960， 即 4.90t21 960，解得 t20. 4.(2020呼和浩特质检)在等差数列an中，若 a1a25，a3a415，则 a5a6 () A.10B.20C.25D.30 答案C 解析等差数列an中，每相邻 2 项的和仍然构成等差数列，设其公差为 d，若 a1a25，a3a415，则 d15510，因此 a5a6(a3a4)d1510 25. 5.(多选题)(2021南京模拟)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a10，且a6 a5 10 11，则 当 Sn取最大值时，n 的值可能为() A.15B.16C.17D.18 答案AB 解析不妨设 a610t，a511t，则公
7、差 dt(t0)，a16a610d0， a15a69dt0，a17a611dt0，求使得 Snan的 n 的取值范围. 解(1)设an的公差为 d. 由 S9a5可知 9a5a5，所以 a50. 因为 a34，所以 da5a3 2 04 2 2， 所以 ana3(n3)(2)102n， 因此an的通项公式为 an102n. (2)由(1)得 a50， 因为 a10，所以等差数列an单调递减，即 d0， a1a54d4d，Snn（n9）d 2 ， an4dd(n1)dn5d， 因为 Snan， 所以nd（n9） 2 dn5d， 又因为 d0；当 n6 时，an0，当 n6 时，an0； 所以 S
8、n的最小值为 S5S630. 感悟升华1.项的性质：在等差数列an中，若 mnpq(m，n，p，qN*)， 则 amanapaq. 2.和的性质：在等差数列an中，Sn为其前 n 项和，则 (1)S2nn(a1a2n)n(anan1)； (2)S2n1(2n1)an. (3)依次 k 项和成等差数列，即 Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列. 3.求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其 正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差 不为零的等差数列的前 n 项和 SnAn2Bn(A，B 为常数，A0)为二次函数，通 过二次
9、函数的性质求最值. 【训练 2】 (1)(多选题)(2020淄博调研)已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和 为 Sn，当首项 a1和 d 变化时，a2a8a11是一个定值，则下列各数也为定值的 是() A.a7B.a8C.S13D.S15 (2)(2020北京卷)在等差数列an中， a19， a51.记 Tna1a2an(n1， 2， )， 则数列Tn() A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项 答案(1)AC(2)B 解析(1)由题知 a2a8a11a1da17da110d3a118d3(a16d) 3a7，a7是定值，S1313（a
10、1a13） 2 13a7是定值，故选 AC. (2)设等差数列an的公差为 d，a19，a51， a594d1，则 d2. 所以 an92(n1)2n11. 令 an2n110，得 n5.5. n5 时，an0. 因为 Tna1a2an(n1，2，)，所以 T19，T263，T3315，T4945， T5945. 当 n6 时，an1， Tn0，且 Tn1Tn0. Tna1a2a3an(n1，2，)有最大项 T4，无最小项. A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020长春模拟)在等差数列an中，3a52a7，则此数列中一定为 0 的是() A.a1B.a3C.a8D.a10 答案A 解析设an
11、的公差为 d(d0)，3a52a7， 3(a14d)2(a16d)，得 a10. 2.(2021昆明诊断)在数列an中，已知 an1anan2an1，a1 0111，则该数列 前 2 021 项的和 S2 021等于() A.2 021B.2 020C.4 042D.4 040 答案A 解析an1anan2an1，2an1anan2， an为等差数列，a1 0111， S2 0212 021（a1a2 021） 2 2 0212a1 011 2 2 021. 3.记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 3S3S2S4，a12，则 a5() A.12B.10C.10D.12 答案B 解析设等差
12、数列an的公差为 d，则 3(3a13d)2a1d4a16d，即 d 3 2a 1.又 a12 得d3， a5a14d24(3)10. 4.程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多 十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996 斤棉花， 分别赠送给 8 个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八 个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分 得斤数为() A.65B.176C.183D.184 答案D 解析根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中 d 17，n8，S8996. 由
13、等差数列前 n 项和公式可得 8a187 2 17996， 解得 a165. 由等差数列通项公式得 a865(81)17184. 则第八个孩子分得斤数为 184. 5.(2021全国大联考)在等差数列an中， 若a10 a9 0 成立的正整数 n 的最大值是() A.15B.16C.17D.14 答案C 解析等差数列an的前 n 项和有最大值， 等差数列an为递减数列， 又a10 a9 0，a100， a9a100， 又 S1818（a1a18） 2 9(a9a10)0. 故使得 Sn0 成立的正整数 n 的最大值为 17. 6.(多选题)(2020浙江卷改编)已知等差数列an的前 n 项和为
14、 Sn， 公差 d0， 且a1 d 1.记 b1S2，bn1S2n2S2n，nN*，下列等式可能成立的是() A.2a4a2a6B.2b4b2b6 C.a24a2a8D.b24b2b8 答案ABC 解析由 bn1S2n2S2n得 b2a3a42a15d，b4S8S6a7a82a113d. b6S12S10a11a122a121d， b8S16S14a15a162a129d， 根据等差数列性质，A 项 2a4a2a6成立； 易验证 2b4b2b6成立，B 项成立； 当 a1d 时，a24a2a8成立，即 C 项可能成立； 若 b24b2b8，则(2a113d)2(2a15d)(2a129d)，
15、有a1 d 3 2这与 a1 d 1 矛盾，故 D 不可能成立. 二、填空题 7.(2019全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a10，a23a1，则S10 S5 _. 答案4 解析由 a10，a23a1，可得 d2a1， 所以 S1010a1109 2 d100a1， S55a154 2 d25a1，所以S10 S5 4. 8.等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn， 若Sn Tn 3n2 2n1， 则 a7 b7等于_. 答案 37 27 解析 a7 b7 2a7 2b7 a1a13 b1b13 a1a13 2 13 b1b13 2 13 S13 T13 3132 21
16、31 37 27. 9.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5_，Sn 的最小值为_. 答案010 解析由题意得 a2a1d3，S55a110d10， 解得 a14，d1， 所以 a5a14d0， 故 ana1(n1)dn5. 令 an0，则 n5，即数列an中前 4 项为负，a50，第 6 项及以后项为正. Sn的最小值为 S4S510. 三、解答题 10.已知等差数列的前三项依次为 a，4，3a，前 n 项和为 Sn，且 Sk110. (1)求 a 及 k 的值； (2)设数列bn的通项公式 bnSn n ，证明：数列bn是等差数列，并求其前 n 项和 Tn.
17、 (1)解设该等差数列为an，则 a1a，a24，a33a， 由已知有 a3a8，得 a1a2，公差 d422， 所以 Skka1k（k1） 2 d2kk（k1） 2 2k2k， 由 Sk110，得 k2k1100， 解得 k10 或 k11(舍去)，故 a2，k10. (2)证明由(1)得 Snn（22n） 2 n(n1)， 则 bnSn n n1， 故 bn1bn(n2)(n1)1， 即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 所以 Tnn（2n1） 2 n（n3） 2 . 11.(2020西安调研)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a59，S525. (1)求数列an的通项公
18、式及前 n 项和 Sn； (2)设 bn(1)nSn，求数列bn的前 2n 项和 T2n. 解(1)由题意，设等差数列an的公差为 d， 则 a5a14d9， S55a154 2 d25，整理得 a14d9， a12d5，解得 a11， d2. an12(n1)2n1，nN*， Snn（12n1） 2 n2. (2)由(1)知，bn(1)nSn(1)nn2. T2nb1b2b2n (b1b2)(b3b4)(b2n1b2n) (1222)(3242)(2n1)2(2n)2 (21)(21)(43)(43)2n(2n1)2n(2n1) 1234(2n1)2n 2n（12n） 2 2n2n. B 级
19、能力提升 12.(多选题)(2021青岛模拟)已知数列an是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为 Sn.若对任意的 nN*，都有 SnS3，则a6 a5的值可能为( ) A.2B.5 3 C.3 2 D.4 3 答案ABC 解析设等差数列an的公差为 d(d0).对任意的 nN*，都有 SnS3， S1S3， S2S3， S4S3， a13a132 2 d， 2a1d3a132 2 d， 4a143 2 d3a132 2 d， 3da12d(d0)， 代入选项知当a6 a5 a15d a14d2 时，a 13d 成立； 当a6 a5 a15d a14d 5 3时，a 15 2d 成立；当
20、a6 a5 a15d a14d 3 2时，a 12d 成立；当a6 a5 a15d a14d 4 3时，a 1d 不成立，故选 ABC. 13.设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a75，S555，则 nSn的最小值为 _. 答案343 解析设等差数列an的公差为 d， 则 a7a16d5， S55（a12d）55，解得 a119， d4. Sn19nn（n1） 2 42n221n，则 nSn2n321n2， 设 f(x)2x321x2(x0)，则 f(x)6x(x7)， 当 0 x7 时，f(x)7 时，f(x)0，f(x)单调递增. 故 f(x)的最小值为 f(7)343. 14.(
21、2021北京西城区模拟)从前 n 项和 Snn2p(pR)；anan13；a6 11 且 2an1anan2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答. 在数列an中，a11，_，其中 nN*. (1)求数列an的通项公式； (2)若 a1，an，am成等比数列，其中 m，nN*，且 mn1，求 m 的最小值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解选择： (1)当 n1 时，由 S1a11，得 p0. 当 n2 时，由题意，得 Sn1(n1)2， 所以 anSnSn12n1(n2). 经检验，a11 符合上式， 所以 an2n1(nN*) (2)由 a1，an，am成等比数
22、列，得 a2na1am， 即(2n1)21(2m1). 化简，得 m2n22n12 n1 2 2 1 2. 因为 m，n 是大于 1 的正整数，且 mn， 所以当 n2 时，m 有最小值 5. 选择： (1)因为 anan13，所以 an1an3， 所以数列an是公差 d3 的等差数列， 所以 ana1(n1)d3n2(nN*). (2)由 a1，an，am成等比数列，得 a2na1am， 即(3n2)21(3m2). 化简，得 m3n24n23 n2 3 2 2 3. 因为 m，n 是大于 1 的正整数，且 mn， 所以当 n2 时，m 取到最小值 6. 选择： (1)因为 2an1anan2， 所以数列an是等差数列. 设数列an的公差为 d. 因为 a11，a6a15d11， 所以 d2. 所以 ana1(n1)d2n1(nN*) . (2)因为 a1，an，am成等比数列，所以 a2na1am， 即(2n1)21(2m1). 化简，得 m2n22n12 n1 2 2 1 2. 因为 m，n 是大于 1 的正整数，且 mn， 所以当 n2 时，m 有最小值 5.
