1、第二课时第二课时简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 考点一三角函数式的化简 1.sin（1802） 1cos 2 cos2 cos（90）等于( ) A.sin B.cos C.sin D.cos 答案D 解析原式 sin 2cos2 2cos2（sin ） 2sin cos cos 2 2cos2（sin ） cos . 2.化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4xsin2 4x _. 答案 1 2cos 2x 解析原式 1 2（4cos 4x4cos2x1） 2 sin 4x cos 4x cos2 4x （2cos2x1）2 4sin 4xcos 4x cos22x 2s
2、in 22x cos22x 2cos 2x 1 2cos 2x. 3.化简：( 1 tan 2 tan 2) 1tan tan 2 _. 答案 2 sin 解析( 1 tan 2 tan 2)(1tan tan 2) ( cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 )(1sin cos sin 2 cos 2 ) cos2 2sin 2 2 sin 2cos 2 cos cos 2sin sin 2 cos cos 2 2cos sin cos 2 cos cos 2 2 sin . 感悟升华1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征. 2.三角函数式的化
3、简要注意观察条件中角之间的联系(和、 差、 倍、 互余、 互补等)， 寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 考点二三角函数式的求值 角度 1给值求值 【例 1】 (1)(2020武汉检测)已知sin 4x 3cos 4x sin 2x 3cos 2x 1 2，则 cos 4x2 3 () A.5 8 B.7 8 C.5 8 D.1 4 (2)(2021潍坊模拟)已知 0， 2 ，sin 4 5 5 ，则 tan _. 答案(1)B(2)3 解析(1)sin 4x 3cos 4x sin 2x 3cos 2x 2sin 4x 3 2cos 2x 6 2sin 2x 6 1 2，故 sin 2x
4、6 1 4. 而 sin 2x 6 sin 2 2x 3 cos 2x 3 1 4， 所以 cos 4x2 3 2cos2 2x 3 11 81 7 8.故选 B. (2)因为 0， 2 ，所以 4 4， 4 ，故 cos 4 0，所以 cos 4 1sin2 4 1 5 5 2 2 5 5 ，所以 tan 4 sin 4 cos 4 1 2. 所以 tan tan 4 4 tan 4 tan 4 1tan 4 tan 4 1 21 11 21 3. 角度 2给角求值 【例 2】求下列各式的值： (1)cos 9cos 2 9 cos3 9 cos4 9 ； (2) sin2351 2 cos
5、 10cos 80 ； (3)sin 50(1 3tan 10). 解(1)cos 9cos 2 9 cos3 9 cos4 9 1 2cos 9cos 2 9 cos4 9 1 2 8sin 9cos 9cos 2 9 cos4 9 8sin 9 1 2 4sin2 9 cos2 9 cos4 9 8sin 9 1 2 2sin4 9 cos4 9 8sin 9 1 2 sin8 9 8sin 9 1 2 sin 9 8sin 9 1 2 sin 9 8sin 9 1 16. (2) sin2351 2 cos 10cos 80 1cos 70 2 1 2 cos 10sin 10 cos
6、70 2sin 10cos 10 sin 20 sin 201. (3)sin 50(1 3tan 10)sin 50 1 3sin 10 cos 10 sin 50cos 10 3sin 10 cos 10 sin 502 1 2cos 10 3 2 sin 10 cos 10 2sin 50cos 50 cos 10 sin 100 cos 10 cos 10 cos 101. 角度 3给值求角 【例 3】 (1)已知 cos 1 7，cos() 13 14，且 0 2，则_. (2)已知，(0，)，且 tan()1 2，tan 1 7，则 2的值为_. 答案(1) 3 (2)3 4 解析
7、(1)0 2，0 2， sin 4 3 7 . 又 cos()13 14， sin() 1cos2（）3 3 14 . cos cos() cos cos()sin sin() 1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2. 又 00， 又(0，)，00， 02 2， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 1. tan 1 70， 2，20， 23 4 . 感悟升华1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些 三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. 2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表
8、面上来看是很难的，但仔细 观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系， 结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. 3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照 以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或 余弦函数；若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，)，选 余弦较好；若角的范围为 2， 2 ，选正弦较好. 【训练 1】 (1)已知 tan 3 3 2 ，则 3sin cos 3cos sin ( ) A.1 9 B. 3 9 C.1 3 D. 3 3 (2)(多选题)下
9、列各式中值为1 2的是( ) A.12cos275 B.sin 135cos 15cos 45cos 75 C.tan 20tan 25tan 20tan 25 D.cos 35 1sin 20 2cos 20 (3)(2021石家庄综合训练)若 cos (1 3tan 10)1，则的一个可能值为() A.70B.50C.40D.10 答案(1)B(2)BD(3)C 解析(1)因为 tan 3 3 2 ， 所以 tan tan 3 3 tan 3 tan 3 1tan 3 tan 3 3 2 3 1 3 2 3 3 5 . 所以 3sincos 3cos sin 3tan 1 3tan 3 3
10、 5 1 3 3 5 3 9 . (2)对于 A，12cos275cos 150cos 30 3 2 ，A 错误； 对于 B，sin 135cos 15cos 45cos 75sin 45sin 75cos 45cos 75cos 1201 2，B 正确； 对于 C， tan 451 tan 20tan 25 1tan 20tan 25， 1tan 20tan 25tan 20tan 25， tan 20tan 25tan 20tan 251，C 错误； 对于 D，cos 35 1sin 20 2cos 20 cos 35 （cos 10sin 10）2 2（cos 10sin 10） （co
11、s 10sin 10） cos 35 2（cos 10sin 10） cos 45cos 10sin 45sin 10 2（cos 10sin 10） 2 2 （cos 10sin 10） 2（cos 10sin 10） 1 2，D 正确；故选 BD. (3)cos (1 3tan 10)cos 1 3sin 10 cos 10cos cos 10 3sin 10 cos 10 cos 2sin（1030） cos 10 1， 即 2sin 40cos cos 10sin 802sin 40cos 40，所以 coscos 40，则 的一个可能值为 40，故选 C. 考点三利用三角恒等变换研究
12、三角函数性质 【例 4】已知函数 f(x) 2 4 sin 4x 6 4 cos 4x. (1)求函数 f(x)在区间 4， 3 2 上的最值； (2)若 cos 4 5， 3 2 ，2 ，求 f 2 3 的值. 解(1) 由题意得 f(x) 2 4 sin 4x 6 4 cos 4x 2 2 1 2 sin 4x 3 2 cos 4x 2 2 sin x7 12 . 因为 x 4， 3 2 ，所以 x7 12 3， 11 12 ， 所以 sin x7 12 3 2 ，1 ， 所以 2 2 sin x7 12 2 2 ， 6 4 ， 即函数 f(x)在区间 4， 3 2 上的最大值为 6 4
13、，最小值为 2 2 . (2)因为 cos 4 5， 3 2 ，2 ， 所以 sin 3 5， 所以 sin 22sin cos 24 25， 所以 cos 2 cos2sin216 25 9 25 7 25， 所以 f 2 3 2 2 sin 2 3 7 12 2 2 sin 2 4 1 2(sin 2cos 2) 1 2(cos 2sin 2) 1 2 7 25 24 25 31 50. 感悟升华1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角 之间的关系；注意公式的逆用和变形使用. 2.把形如 yasin xbcos x 化为 y a2b2sin(x) tan b a ，可
14、进一步研究函 数的周期性、单调性、最值与对称性. 【训练 2】已知函数 f(x) cos 2x sin xcos x2sin x. (1)在ABC 中，cos A3 5，求 f(A)的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及其图像的对称轴的方程. 解(1)由 sin xcos x0 得 xk 4，kZ. 因为 f(x) cos 2x sin xcos x2sin x cos 2xsin2x sin xcos x2sin x cos xsin x， 在ABC 中，cos A3 50，所以 2A0， 则 1sin 2 22cos 2的值等于() A.9 5 B.7 5 C.6 5 D.3 答案A
15、 解析根据三角函数的定义得 sin 3 5，由同角三角函数的基本关系及 sin cos 0，得 cos 4 5，所以 sin 22sin cos 24 25，cos 2cos 2sin2 7 25，所以 1sin 2 22cos 2 124 25 22 7 25 1 5 8 5 9 5. 2.(2020汉中模拟)化简： sin 10 1 3tan 10( ) A.1 4 B.1 2 C.1D. 3 3 答案A 解析 sin 10 1 3tan 10 sin 10cos 10 cos 10 3sin 10 2sin 10cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 20 4
16、sin（3010） 1 4，故选 A. 3.(多选题)(2021威海调研)函数 f(x)sin xcos x 的单调递减区间可以是() A. k3 4 ，k 4 (kZ) B. k 4，k 3 4 (kZ) C. 2k 4，2k 2 (kZ) D. k 4，k 2 (kZ) 答案AB 解析f(x)sin xcos x1 2sin 2x， 由 22k2x2k 3 2 ，kZ， 得 4kxk 3 4 ，kZ， 函数 f(x)sin xcos x 的单调递减区间是 k 4，k 3 4 (kZ)， 函数的周期是 k(k0)，故 A 也正确.故选 AB. 4.已知 0 2， 20，cos() 5 13，
17、sin 4 5，则 sin ( ) A. 7 25 B. 7 25 C.56 65 D.56 65 答案D 解析因为 sin 4 5，0 2，所以 cos 3 5，因为 20，0 2，所以 (0，)，所以 sin() 1cos2（）12 13，所以 sin sin() sin cos()cos sin()4 5 5 13 3 5 12 13 56 65.故选 D. 5.若 sin 12 4 5，且 0， 2 ，则 cos 2 3 () A.24 25 B.12 25 C.12 25 D.24 25 答案A 解析由 sin 12 4 5且 0， 2 ， 得 cos 12 3 5， cos 2 3
18、 cos 2 6 2 sin 2 6 2sin 12 cos 12 24 25.故选 A. 6.(2021郑州模拟)设7 18，若 0， 2 ，且 tan 1sin cos ，则() A.5 18 B. 3 C.7 18 D.4 9 答案A 解析由 tan 1sin cos 得 sin cos cos cos sin ， 即 sin()cos sin 2，因为 0， 2 ， 7 18，所以 2， 2 ， 2 0， 2 ， 由 sin()sin 2，得 2， 所以 2 2， 所以 5 18.故选 A. 二、填空题 7.(2020沧州模拟)若角满足 cos 41 3，则 tan 1tan2_. 答
19、案 7 18 解析cos 4 2 2 (cos sin )1 3， cos sin 2 3 ，2sin cos 7 9， tan 1tan2 sin cos 1sin 2 cos2 sin cos 7 18. 8.已知 180360，化简： （1sin cos ） sin 2cos 2 22cos _. 答案cos 解析原式 2cos2 22sin 2cos 2 sin 2cos 2 4cos2 2 2cos 2 cos 2sin 2 sin 2cos 2 2|cos 2| cos 2 sin2 2cos 2 2 |cos 2| cos 2cos |cos 2| . 因为 180360，所以
20、90 2180， 所以 cos 20，所以原式cos . 9.已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ，均为锐角，则_. 答案 4 解析因为，均为锐角，所以 2 2. 又 sin() 10 10 ，所以 cos()3 10 10 . 又 sin 5 5 ，所以 cos 2 5 5 ， 所以 sin sin()sin cos()cos sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 所以 4. 三、解答题 10.化简：sin（2） sin 2cos(). 解原式sin（2）2sin cos（） sin sin（）2sin cos（） sin sin cos（）co
21、s sin（）2sin cos（） sin cos sin（）sin cos（） sin sin（） sin sin sin . 11.已知 tan 1 3，cos 5 5 ， 2， 0， 2 ，求 tan()的值，并求 出的值. 解由 cos 5 5 ， 0， 2 ， 得 sin 2 5 5 ，tan 2. 所以 tan() tan tan 1tan tan 1 32 12 3 1. 因为 2， 0， 2 ， 所以 2 3 2 ，所以5 4 . B 级能力提升 12.已知 4， 3 4 ， 0， 4 ，且 cos 43 5，sin 5 4 12 13，则 cos()_. 答案33 65 解析
22、 4， 3 4 ， 4 2，0， 又 cos 43 5，sin 44 5， sin 5 4 12 13，sin 412 13， 又 0， 4 ， 4 4， 2 ， cos 4 5 13， cos()cos 4 4 cos 4cos 4sin 4sin 4 5 13 3 5 12 13 4 5 33 65. 13.(2020海南模拟)已知，满足 sin(2)3sin ，若 1 tan 1 tan tan ，则 实数的值为() A.2B.3C.4D.6 答案A 解析由 sin(2)3sin 可得，sin 2cos cos 2sin 3sin ， 两边同时除以 cos 得 sin 2cos 2tan
23、 3tan ， 即(3cos 2)tan sin 2，所以 1 tan 3cos 2 sin 2 ， 由正弦和余弦的二倍角公式可得， sin 22sin cos ， 3cos 23(sin2cos2) (cos2sin2)4sin22cos2， 所以 1 tan 4sin22cos2 2sin cos ，等式的右边分子、分母同时除以 cos2可得， 4sin22cos2 2sin cos 4tan 22 2tan 2tan 1 tan ， 所以 1 tan 2tan 1 tan ，即 1 tan 1 tan 2tan ， 所以2，故选 A. 14.已知 0 2，cos 4 1 3，sin ()4 5. (1)求 sin 2的值； (2)求 cos 4 的值. 解(1)法一因为 cos 4 cos 4cos sin 4sin 2 2 cos 2 2 sin 1 3， 所以 cos sin 2 3 ， 所以 1sin 22 9，所以 sin 2 7 9. 法二sin 2cos 222cos2 4 17 9. (2)因为 0 2， 所以 4 4 3 4， 20，cos()0， 所以 sin 4 2 2 3 ，cos()3 5. 所以 cos 4 cos （） 4 cos()cos 4 sin()sin 4 3 5 1 3 4 5 2 2 3 8 2-3 15 .
