1、复习验收卷(八)平面解析几何 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知直线 2x4y50 的倾斜角为，则 sin2() A.2 5 B.4 5 C. 3 10 D.1 2 答案B 解析直线 2x4y50 的倾斜角为，可得斜率 ktan1 2，则 sin2 2sincos sin2cos2 2tan tan21 1 1 41 4 5. 2(2021黄冈模拟)圆 x24xy20 与圆 x2y24x30 的公切线共有() A1 条B2 条C3 条D4 条 答案D 解析由 x24
2、xy20，得(x2)2y222，圆心坐标为(2，0)，半径为 2；由 x2 y24x30，得(x2)2y212，圆心坐标为(2，0)，半径为 1，故圆心距 为 4，两圆半径和为 3.因为 43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线 共有 4 条 3已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，过 F2作渐近线 的垂线，垂足为 A，AF2的长度为 1 2a，则双曲线的离心率为( ) A. 3B. 5 2 C. 6 2 D2 答案B 解析由题意知|AF2|ba 2，得 b a 1 2，则离心率 e c a 1 b a 2 5 2 . 4已知抛物线 y24x
3、，过焦点 F 的直线与此抛物线交于 A，B 两点，点 A 在第一 象限， 过点 A 作抛物线准线的垂线， 垂足为 A， 直线 AF 的斜率为 3， 则AAF 的面积为() A4 3B3 3C2 3D. 3 答案A 解析由题意，抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准线方程为 x1，设 A(1， 2a)(a0)，则 A(a2，2a)因为直线 AF 的斜率为 3，所以 2a 11 3，所以 a 3，所以|AA|a214，所以AAF 的面积为 S1 242 34 3. 5已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)，直线 l 过焦点且倾斜角为 4，以椭圆的长轴为 直径的圆截 l 所得的弦长
4、等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为() A. 2 3 B. 3 3 C. 5 3 D. 6 3 答案D 解析直线 l 的方程为 yxc，设以椭圆的长轴为直径的圆截 l 所得的弦为 AB， 则|AB|2c.设 OCAB，垂足为 C，则|OC|c| 2 2 2 c.在 RtOAC 中，由|OA|2 |AC|2|OC|2得 a2 1 2|AB| 2 1 2c 2，即 a23 2c 2，所以 c 6 3 a，故 e 6 3 . 6抛物线 y2x2上有一动弦 AB，中点为 M，且弦 AB 的长为 3，则点 M 的纵坐 标的最小值为() A.11 8 B.5 4 C.3 2 D1 答案A 解析由题意设 A(
5、x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线 AB 的方程为 ykxb.由 题意知 y0b0.联立得 ykxb， y2x2， 整理得 2x2kxb0，k28b0，x1x2 k 2，x 1x2b 2，则|AB| 1k 2 k2 4 2b，点 M 的纵坐标 y0y1y2 2 x21x22k 2 4 b.因为弦 AB 的长为 3，所以 1k2 k2 4 2b3，即(1k2) k2 4 2b 9，故(1 4y04b)(y0b)9，即(14y04b)(4y04b)36.由均值不等式得，(14y0 4b)(4y04b)2 （14y04b） （4y04b）12，当且仅当 b1 8， y011 8
6、时取等号， 即 18y012，y011 8 ，点 M 的纵坐标的最小值为11 8 . 7已知双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的上、下焦点分别为 F 2，F1，过 F1且倾斜角 为锐角的直线 l 与圆 x2y2a2相切，与双曲线的上支交于点 M.若线段 MF1的垂 直平分线过点 F2，则该双曲线的渐近线的方程为() Ay4 3x By3 4x Cy5 3x Dy3 5x 答案B 解析设 MF1与圆相切于点 E，连接 OE，因为|MF2|F1F2|2c，所以MF1F2 为等腰三角形 因为 N 为 MF1的中点， 所以|F1E|1 4|MF 1|， 又因为在直角F1EO 中， |F1E
7、|2|F1O|2 a2c2a2， 所以|F1E|b1 4|MF 1|， 又|MF1|MF2|2a2c2a， c2a2b2， 由可得 c2a2 ca 2 2 ，即 4(ca)ca，即 3c5a， b c2a2 25 9 a2a24 3a，则双曲线的渐近线方程为 y a bx，即为 y 3 4x. 8已知以圆 C：(x1)2y24 的圆心为焦点 F 的抛物线 C1与圆 C 在第一象限 交于 A 点，B 点是抛物线 C2：x28y 上任意一点，BM 与直线 y2 垂直，垂足 为 M，则|BM|AB|的最大值为() A1B2C1D8 答案A 解析 易 知 抛 物 线 C1的 焦 点 为 (1 ， 0)
8、 ， 所 以 抛 物 线 C1的 方 程 为 y2 4x. 由 y24x， （x1）2y24及点 A 位于第一象限可得点 A(1，2)因为抛物线 C 2：x28y 的焦点为 F(0，2)，准线方程为 y2，所以由抛物线的定义得|BM|BF|.如图， 在平面直角坐标系中画出抛物线 C2及相应的图形，可得|BM|AB|BF| |AB|AF|(当且仅当 A，B，F 三点共线，且点 B 在第一象限时取等号)故所求最 大值为|AF|1. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分
9、) 9过抛物线 x2my(m0)的焦点且与 y 轴垂直的直线与抛物线交于 A，B 两点， 若三角形 ABO 的面积为 2，则 m 的值可能为() A4B4C2D2 答案AB 解析过抛物线 x2my(m0)的焦点 0，m 4 且与 y 轴垂直的直线与抛物线的交点 为 m 2 ，m 4 ，所以|AB|m|. 因为三角形 AOB 的面积为 2，所以1 2| m 4|m|2，解得 m4.故选 AB. 10 过点 A(1， 2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零， 则该直线方程可能为() Axy10Bxy30 C2xy0Dxy10 答案AC 解析当直线过原点时， 可得斜率为20 102， 故直线方程为 y
10、2x， 即 2xy0； 当直线不过原点时，设直线方程为x a y a1，代入点(1，2)，可得 1 a 2 a1，解 得 a1，直线方程为 xy10，故所求直线方程为 2xy0 或 xy10. 故选 AC. 11直线 xym0 与圆 x2y22x10 有两个不同的交点的一个充分不必 要条件可以是() A0m1Bm1 C2m1D3m1 答案AC 解析圆 x2y22x10 的圆心为(1，0)，半径为 2.因为直线 xym0 与 圆 x2y22x10 有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的 距离 d|1m| 11 2，所以|1m|2，解得3mb0)的离心率为 1 2，A，B 分别为椭圆
11、 C 的左、右顶 点，F 为椭圆 C 的右焦点，过 F 的直线与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，当直线 垂直于 x 轴时， 四边形 APBQ 的面积为 6，则椭圆 C 的方程为_ 答案 x2 4 y 2 3 1 解析根据题意得到当直线和 x 轴垂直时四边形可分割成两个三角形，底边长为 2a，高为b 2 a ，此时四边形的面积为：1 22a b2 a 26，b23. 再由离心率为1 2，得到 c a 1 2，a 24c24(a2b2)，a24. 故椭圆 C 的方程为：x 2 4 y 2 3 1. 15抛物线 y28x 的焦点到双曲线x 2 16 y2 9 1 渐近线的距离为_ 答案 6 5 解
12、析抛物线 y28x 的焦点为 F(2，0)，双曲线x 2 16 y2 9 1 的一条渐近线方程为 y 3 4x，即 3x4y0，则点 F(2，0)到渐近线 3x4y0 的距离为 |3240| 32（4）2 6 5. 16已知 F 为抛物线 C：x24y 的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于不同 的两点 A，B，抛物线 C 在 A，B 两点处的切线分别是 l1，l2，且 l1，l2相交于点 P. 设|AB|m，则|PF|的值是_(结果用 m 表示) 答案m 解析抛物线的焦点 F(0，1)，且直线 l 的斜率一定存在，因此设直线 l 的方程为 ykx1，于是由 ykx1， x24y
13、消去 x，得 y2(4k22)y10.设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，且 x1x2，则 y1y24k22.由抛物线的定义知|AB|y1p 2y 2p 2y 1y2 p4k2224(k21)， 所以 m4(k21) 由 x24y， 得 y1 4x 2， 所以 y1 2x， 则 kl11 2x 1，kl21 2x 2，所以切线 PA，PB 的方程分别为 yy11 2x 1(xx1)，yy2 1 2x 2(xx2)， 即 y1 4x 2 11 2x 1(xx1)， y1 4x 2 21 2x 2(xx2)， 即 y1 2x 1x1 4x 2 1， y1 2x 2x 1 4x 2 2，联立，
14、解得 xx1x2 2 ， y1 4x 1x2， 即 P x1x2 2 ，1 4x 1x2 .由 ykx1， x24y 消去 y，得 x2 4kx 4 0 ， 则 x1 x2 4k ， x1x2 4 ， 则 P(2k ， 1) ， 所 以 |PF| （2k）2（11）2 4（k21） m. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17(本小题满分 10 分)已知点 A，B 是抛物线 C：y22px(p0)上不同的两点，且 A，B 两点到抛物线 C 的焦点 F 的距离之和为 6，线段 AB 的中点为 M(2，1)， 求焦点 F 到直线 AB 的距离 解
15、设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线定义可知：x1x2p6，则 x1x26p. 又 M(2，1)为 AB 中点，则6p 2 2， p2，F(1，0)， 抛物线方程为 y24x. 由 y214x1， y224x2 两式作差得：(y1y2)(y1y2)4(x1x2)， 则 kABy1y2 x1x2 4 y1y2 4 22， 直线 AB 的方程为：y12(x2)，即 2xy30， 点 F 到直线 AB 的距离 d|203| 5 5 5 . 18(本小题满分 12 分)已知点 P(0，2)，点 A，B 分别为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0) 的左、右顶点，直线 BP 交 C
16、 于点 Q，ABP 是等腰直角三角形，且PQ 3 5PB . (1)求 C 的方程； (2)设过点 P 的动直线 l 与 C 相交于 M，N 两点，O 为坐标原点当MON 为直 角时，求直线 l 的斜率 解(1)由题意知，a2，B(2，0)，设 Q(x0，y0)，则由PQ 3 5PB ，得 x06 5，y 04 5， 代入椭圆方程，解得 b21.椭圆方程为x 2 4 y21. (2)由题意可知，直线 l 的斜率存在，令 l 的方程为 ykx2，M(x1，y1)，N(x2， y2)， 由 ykx2， x2 4 y21 消 y 整理得：(14k2)x216kx120， 由直线 l 与 C 有两个不
17、同的交点，则0， 即(16k)2412(14k2)0，解得 k23 4. 由根与系数的关系可知：x1x2 16k 14k2，x 1x2 12 14k2. 当MON 为直角时，kOMkON1，即 x1x2y1y20， 则 x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22) (1k2)x1x22k(x1x2)4 (1k2) 12 14k22k 16k 14k240，解得 k24，即 k2. 综上可知，MON 为直角时，直线 l 的斜率 k2. 19(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：x26y 与直线 l：ykx 3 交于 M，N 两点 (1)设 M，N 到 y 轴的距离分别
18、为 d1，d2，证明：d1与 d2的乘积为定值； (2)y 轴上是否存在点 P，当 k 变化时，总有OPMOPN？若存在，求点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由 (1)证明将 ykx3 代入 x26y，得 x26kx180，36k2720.设 M(x1， y1)，N(x2，y2)，则 x1x218，从而 d1d2|x1|x2|x1x2|18 为定值 (2)解存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2. 由(1)知，x1x26k，从而 k1k2y1b x1 y2b x2 2kx1x2（3b） （x1x2） x1x2 36k6k（3b
19、） x1x2 . 当 b3 时，有 k1k20 对任意 k 恒成立，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的 倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，3)符合题意 20(本小题满分 12 分)已知 F1，F2分别为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦 点，点 P 1， 2 2 在椭圆 C 上，且PF1F2的面积为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设过点 F1的直线 l 交椭圆于点 A，B，求F2A F2B 的取值范围 解(1)由椭圆 C 经过点 P 1， 2 2 ， 且PF1F2的面积为 2 2 ， 得 c1， 且 1 a2 1 2b2 1. a2b2c2，
20、a2b21， 1 b21 1 2b21，即 2b 4b210, 解得 b21， a22.椭圆 C 的方程为x 2 2 y21. (2)由(1)知 F1(1，0)，F2(1，0)令 A(x1，y1)，B(x2，y2) 若直线 l 的斜率不存在， 则不妨设 A 1， 2 2 ，B 1， 2 2 ， 则F2A 2， 2 2 ，F2B 2， 2 2 ，F2A F2B 7 2. 当直线 l 的斜率存在时，设 l：yk(x1)，代入椭圆方程得(12k2)x24k2x2(k2 1)0. 则16k48(12k2)(k21)8k280 恒成立， x1x2 4k2 12k2，x 1x22（k 21） 12k2 ，
21、 F2A F2B (x11)(x21)y1y27k 21 12k2 7 2 9 2 12k2 . 令 t12k21，则F2A F2B 7 2 9 2（2k21） 1，7 2 . 综上可知，F2A F2B 的取值范围为 1，7 2 . 21(本小题满分 12 分)(2021重庆诊断)已知抛物线 E：y28x，直线 l：ykx 4. (1)若直线 l 与抛物线 E 相切，求直线 l 的方程； (2)设 Q(4，0)，k0，直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 存在点 C，使得四边形 OACB 为平行四边形(O 为原点)，且 ACQC，求 x2的取 值范围
22、解(1)由 ykx4， y28x 得 k2x28(k1)x160. 由 k0 及64(k1)264k20，得 k1 2. 所以所求直线 l 的方程为 y1 2x4. (2)由 ykx4， y28x 得 k2x28(k1)x160， 因为64(k1)264k20，且 k0，所以 k1 2， 所以 x1x28（k1） k2 ，所以 y1y2k(x1x2)88 k. 因为四边形 OACB 为平行四边形，所以OC OA OB (x1x2，y1y2) 8（k1） k2 ，8 k ， 即 C 8（k1） k2 ，8 k .因为 ACQC，所以QC AC 0. 又QC 8（k1） k2 4，8 k ，AC
23、OB (x2，y2)(x2，kx24)， 所以QC AC 8（k1） k2 4 x28 k(kx 24)0， 即 8 x2k 2 k2. 因为 k0， 所以 8 x22 222( 21)， 当且仅当k 2时取等号， 此时， 0b0)的离心 率为 3 2 ，且经过点 1， 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点( 3，0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，试问在 x 轴上是否存在 定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标； 若不存在，说明理由 解(1)由题意可得c a 3 2 ， 1 a2 3 4b21， 又 a2b2c2，
24、所以 a24，b21.所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)存在定点 Q 4 3 3 ，0 ，满足直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称理由如下： 设直线 l 的方程为 xmy 30，与椭圆 C 的方程联立得 xmy 30， x2 4 y21， 整理 得，(4m2)y22 3my10. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点 Q(t，0)(依题意 tx1，tx2) 由根与系数的关系可得，y1y22 3m 4m2，y 1y2 1 4m2. 直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称，则直线 QA 与直线 QB 的斜率互为相反数， 所以 y1 x1t y2 x2t0，即 y 1(x2t)y2(x1t)0.又 x1my1 30，x2my2 3 0， 所以 y1( 3my2t)y2( 3my1t)0， 整理得，( 3t)(y1y2)2my1y20， 从而可得，( 3t)2 3m 4m22m 1 4m20，即 2m(4 3t)0， 所以当 t4 3 3 ，即 Q 4 3 3 ，0 时，直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称特别地， 当直线 l 为 x 轴时，Q 4 3 3 ，0 也符合题意 综上所述， 在 x 轴上存在定点 Q 4 3 3 ，0 ，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对 称
