1、复习验收卷复习验收卷(七七)立体几何与空间向量立体几何与空间向量 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2020天津质检)已知 a，b 为两条不同的直线，为三个不同的平面，则 下列说法正确的是() A.若 ab，b，则 a B.若 a，b，ab，则 C.若，a，则 a D.若a，b，c，ab，则 bc 答案D 解析对 A，若 ab，b，则 a或 a，A 不正确；对 B，若 a，b ，ab，则或，相交，B 不正确；对 C，若，a，则 a或 a ，C 不正确；对 D，若a
2、，b，c，ab，a，ac， bc，D 正确. 2.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 E，F，G 分别 是线段 A1C1上的点， 且 A1EEFFGGC1.则下列直线与平 面 A1BD 平行的是() A.CEB.CFC.CGD.CC1 答案B 解析连接 AC 交 BD 于点 O，由题意知 F 为 A1C1的中点，四边形 OCFA1为平 行四边形，CFA1O，又 CF平面 A1BD，A1O平面 A1BD，CF平面 A1BD. 3.已知 a，b 是两条异面直线，直线 c 与 a，b 都垂直，则下列说法正确的是() A.若 c平面，则 a B.若 c平面，则 a，b C.存在平面，使得
3、 c，a，b D.存在平面，使得 c，a，b 答案C 解析由 a，b 是两条异面直线，直线 c 与 a，b 都垂直，知：在 A 中，若 c平 面，则 a 与相交、平行或 a，故 A 错误；在 B 中，若 c平面，则 a，b 与平面平行或 a，b 在平面内，故 B 错误；在 C 中，由线面垂直的性质得：存 在平面，使得 c，a，b，故 C 正确；在 D 中，若存在平面，使得 c，a，b，则 ab，与已知 a，b 是两条异面直线矛盾，故 D 错误. 4.(2021日照调研)正方体的平面展开图如图，AB，CD，EF， GH 四条对角线两两一对得到 6 对对角线，在正方体中，这 6 对对角线所在直线成
4、 60角的有() A.1 对B.2 对 C.3 对D.4 对 答案D 解析根据题意，画出平面展开图对应的正方体如图，其中 AB 与 GH，AB 与 EF，GH 与 CD，EF 与 CD 所成的角为 60，共 有 4 对，故选 D. 5.已知 E，F 分别是三棱锥 PABC 的棱 AP，BC 的中点，AB 6，PC6，EF3 3，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为() A.120B.45C.30D.60 答案D 解析如图，取 AC 中点 D，连接 ED，FD.因为 E，F 分别是 三棱锥 PABC 的棱 AP， BC 的中点， 所以 EDPC， FDAB， 则EDF或其补角即为异面直线AB与
5、 PC 所成的角.又因为 AB 6，PC6，EF3 3，所以 DF3，DE3.在DEF 中， cos EDFDE 2DF2EF2 2DEDF 1 2，即EDF120，所以异面直线 AB 与 PC 所 成的角为 60.故选 D. 6.已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，侧棱 PA，PB，PC 两两垂 直， 且 PAPBPC2， 若以 P 为球心且 1 为半径的球与三棱锥 PABC 公共部 分的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1 V2的值为( ) A. 3 36 B. 3 72 C. 1 64 D. 3 24 答案B 解析由题意得 V11 8 4 31 3 6，将三棱锥
6、 PABC 补形为正方体，则正方体的 外接球即为三棱锥的外接球，直径 2R PA2PB2PC22 3，则 R 3，V2 4 3( 3) 34 3，所以V1 V2 6 4 3 3 72，故选 B. 7.(2021黄冈模拟)在四面体 ABCD 中， 已知 ABACCD2， BC2 2， 且 CD 平面 ABC，则该四面体的外接球的表面积为() A.16B.12C.4 3D.6 答案B 解析由于 AC2AB2BC2，所以 BAAC，而 CD平面 ABC，故 CDBC， CDAB， 又 ACDCC， 所以 BA平面 ACD， 所以 BAAD， 即得三角形 CBD 和三角形 ABD 都为直角三角形，所以
7、外接球的球心为 BD 的中点，BD2CD2 BC24812，故外接球半径 r 3，所以外接球的表面积为 4r212. 8.如图，在四面体 ABCD 中，ABCD2，ACBD 3，AD BC 5，E，F 分别是 AD，BC 的中点.若用一个与直线 EF 垂直、且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由 此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 () A. 6B. 6 2 C.5 2 D.5 4 答案B 解析补成长、宽、高分别为 3，2，1 的长方体(如图)， 由于 EF，故截面为平行四边形 MNKL，可得 KLKN 5.设异面直线 BC 与 AD 所成的角为，则 sin sinHF
8、BsinLKN，算得 sin 2 6 5 ，S 四边形MNKL NKKLsinNKL 2 6 5 NKKL 2 2 6 2 ， 当且仅当 NKKL 时取等号，故应选 B. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.(2020海口调研)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为矩形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，在此几何体中， 下面结论中正确的是() A.直线 BE 与直线 CF 异面 B.直线 BE 与直线 AF 异面 C.直线 EF平面 PB
9、C D.平面 BCE平面 PAD 答案BC 解析将平面展开图还原成直观图如图所示. E，F 分别为 PA，PD 的中点，EFAD. 又四边形 ABCD 为矩形，ADBC， EFBC，B，C，F，E 四点共面. 直线 BE 与直线 CF 共面，不是异面直线，故 A 错误； E平面 PAD，AF平面 PAD，点 E 不在直线 AF 上，B平面 PAD，直线 BE 与直线 AF 为异面直线，故 B 正确； EFBC，BC平面 PBC，EF平面 PBC，EF平面 PBC，故 C 正确； 假设平面 BCE平面 PAD，即平面 BCFE平面 PAD， 又平面 BCFE平面 PADEF，作 PMEF，垂足为
10、 M，可得 PM平面 BCE， 但由题中条件无法证得 PM平面 BCE，故假设不成立，故 D 错误.故选 BC. 10.如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，四边 形 ABCD 是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2AD 2CD2，F 是 AB 的中点，E 是 PB 上的一点，则下列说 法正确的是() A.若 PB2PE，则 EF平面 PAC B.若 PB2PE，则四棱锥 PABCD 的体积是三棱锥 EACB 体积的 6 倍 C.三棱锥 PADC 中有且只有三个面是直角三角形 D.平面 BCP平面 ACE 答案AD 解析对于 A，因为 PB2PE，所以 E 是 PB 的中点，又
11、F 是 AB 的中点，所以 EFPA，因为 PA平面 PAC，EF平面 PAC，所以 EF平面 PAC，故 A 正确； 对于 B，若 PB2PE，则 VPABCD2VEABCD，因为 S 梯形ABCD1 2(CDAB)AD 3 2， SABC1 2ABAD1，所以 V EABCD3 2V EABC，所以 VPABCD3VEABC，故 B 错误； 对于 C，因为 PC底面 ABCD，所以 PCAC，PCCD，所以PAC，PCD 为直角三角形，又 ABCD，ABAD，所以 ADCD，则ACD 为直角三角形， 所以 PA2PC2AC2PC2AD2CD2，PD2CD2PC2，则 PA2PD2AD2，
12、所以PAD 是直角三角形，故三棱锥 PADC 的四个面都是直角三角形，故 C 错 误； 对于D， 因为PC底面ABCD， 所以PCAC， 在RtACD中， AC AD2CD2 2，在直角梯形 ABCD 中，BC AD2（ABCD）2 2，所以 AC2BC2 AB2，则 ACBC，因为 BCPCC，所以 AC平面 BCP，所以平面 BCP 平面 ACE，故 D 正确.综上所述，故选 AD. 11.(2021烟台质检)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 BC1上运动，则下列判断中正确的是() A.平面 PB1D平面 ACD1 B.A1P平面 ACD1 C.异面直线 A1P
13、与 AD1所成角的范围是 0， 3 D.三棱锥 D1APC 的体积不变 答案ABD 解析对于 A，根据正方体的性质，易证 DB1平面 ACD1，又 DB1平面 PB1D， 则平面 PB1D平面 ACD1， 故 A 正确； 对于 B， 连接 A1B， A1C1， 易证明平面 BA1C1 平面 ACD1，又 A1P平面 BA1C1，所以 A1P平面 ACD1，故 B 正确；对于 C，当 P 与线段 BC1的两端点重合时，A1P 与 AD1所成角取最小值 3，当 P 与线段 BC 1 的中点重合时， A1P与AD1所成角取最大值 2， 故A 1P与AD1所成角的范围是 3， 2 ， 故 C 错误；对
14、于 D，V 三棱锥 D1APCV 三棱锥 CAD1P，因为点 C 到平面 AD1P 的距离不变，且AD1P 的面积不变，所以三棱锥 CAD1P 的体积不变，故 D 正确.故选 ABD. 12.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G 分 别为 BC，CC1，BB1的中点，则() A.直线 D1D 与直线 AF 垂直 B.直线 A1G 与平面 AEF 平行 C.平面 AEF 截正方体所得的截面面积为9 8 D.点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等 答案BC 解析连接 AD1，D1F，则 AD1EF，平面 AEF 即为平面 AEFD1.显然 DD1不垂 直于平面 AE
15、FD1，直线 DD1与直线 AF 不垂直，故 A 错误.A1GD1F，A1G 平面 AEFD1，A1G平面 AEFD1，即 A1G平面 AEF，故 B 正确.平面 AEF 截 正方体所得截面为等腰梯形 AEFD1， 易知梯形 AEFD1的面积为1 2 2 2 2 3 2 4 9 8， 故C正确.记点C与点G到平面AEF的距离分别为h 1， h2， VCAEF1 3S AEFh1 VACEF1 31 1 2 1 2 1 2 1 24， V GAEF1 3S AEFh2VAGEF1 31 1 21 1 2 1 12， h1h2，故 D 错误.故选 BC. 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5
16、分，共 20 分) 13.已知长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球体积为32 3 ，且 AA1BC2，则 A1C 与 平面 BB1C1C 所成的角的大小为_. 答案 4 解析如图，设长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球半径为 R， 则长方体 ABCDA1B1C1D1的外接球体积为4 3R 332 3 ，所以 R2， 即 A1C AA21BC2AB22R4. 因为 AA1BC2，所以 AB2 2. 连接 B1C， 因为 A1B1平面 BB1C1C， 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为A1CB1， 在 RtBB1C 中，BB1BC2，所以 B1C2 2A1B1，所以A1CB1
17、4.即所求 线面角的大小为 4. 14.在大小为 75的二面角l内有一点 M 到两个半平面的距离分别为 1 和 2， 则点 M 到棱的距离等于_. 答案2 解析由题意，过 M 作 MA，MB，垂足分别为 A，B， 连接 AB， 设平面 MABlN， 连接 MN， 则 MNl， 在MAB 中，MA1，MB 2，AMB105，AB212 21 2cosAMB2 3，AB 2 3.设 M 到棱的距离为 h，则 h AB sin 105 2 3 6 2 4 2. 15.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，BC 3，点 M 在棱 CC1上，当 MD1MA 取得最小值时，MD1MA，则棱
18、CC1的长为_. 答案 3 2 2 解析把长方形 DCC1D1展开到长方形 ACC1A1所在平面，如 图，当 A，M，D1在同一条直线上时，MD1MA 取得最小值， 此时 MA MD1 AC C1D1 2 1，令 MA2x，MD 1x，CC1h，则 （2x）2x2h23， （3x）2h232， 得 h3 2 2 . 16.(2021武汉一模)已知六棱锥 PABCDEF，底面 ABCDEF 为正六边形，点 P 在 底面的射影为其中心.将该六棱锥沿六条侧棱剪开， 使六个侧面和底面展开在同一 平面上，若展开后点 P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为 5 的圆上， 则当正六边形的 ABCDEF
19、 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为_. 答案 8 15 3 解析如图，设点 P 在底面的射影为点 O，取 CD 中点 G，连 接 OG，PG.设正六边形 ABCDEF 的边长为 x(x0)，故 OG 3 2 x.又展开后点 P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半 径为 5 的圆上， PG5 3 2 x0，0 x10 3 3 ， 故 PO 5 3 2 x 2 3 2 x 2 255 3x， 六棱锥的体积 V1 36 1 2x 2 3 2 255 3x 15 2 5x4 3x5. 令 f(x)5x4 3x5 0 x0，函数 f(x)单调递增； 当 x 4 3 3 ，10 3 3时，f(x)
20、0，函数 f(x)单调递减. 故当 x4 3 3 时，函数 f(x)取得最大值，即体积最大，体积最大值为8 15 3 . 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1 平面 ABC，ABAC，M 是侧面 AA1C1C 的对角线的交点，D， E 分别为棱 AB，BC 的中点. (1)求证：MD平面 A1BC1； (2)求证：平面 MAE平面 BCC1B1. 证明(1)M 是棱柱的侧面 AA1C1C 对角线的交点， M 是 AC1中点.D 是 AB 中点，MDBC1. 又 MD平
21、面 A1BC1，BC1平面 A1BC1，MD平面 A1BC1. (2)ABAC，E 是 BC 中点，AEBC. AA1平面 ABC，AE平面 ABC，AA1AE. 在棱柱中 BB1AA1，BB1AE. BB1BCB，BC，BB1平面 BCC1B1， AE平面 BCC1B1， AE平面 MAE，平面 MAE平面 BCC1B1. 18.(本小题满分 12 分)如图所示，三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 ABC，平面 SAC平面 ABC，D，E 分别是 AB 和 BC 边上的点，且 DEAB，SA2，AD 3，DE1， AC2 3，AEC60，F 为 CE 的中点. (1)求证：DE平面 SA
22、F； (2)求直线 SC 与平面 SDE 所成角的正弦值. (1)证明平面 SAB平面 ABC， 平面 SAC平面 ABC， 平面 SAC平面 SABSA， 所以 SA平面 ABC， 又 DEAB，则ADE90. 又因为 AD 3，DE1，所以 AE2，AED60. 在ACE 中，AC2 3，AE2，AEC60， 由余弦定理可得：AC2AE2EC22AEECcosAEC， 解得：CE4，所以 AE2AC2EC2，所以EAC90， 又 F 为 CE 的中点，所以 AF1 2ECEF. 又AEC60，所以AEF 为等边三角形， 所以EAF60DEA，所以 DEAF， 又 AF平面 SAF，DE平面
23、 SAF， 所以 DE平面 SAF. (2)解由(1)可知DAF90，以点 A 为原点，以 AB，AF，AS 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 S(0，0，2)，D( 3，0，0)，E( 3，1， 0)，C( 3，3，0). 所以SD ( 3，0，2)，SE( 3，1，2)，SC( 3，3，2). 设 n(x，y，z)为平面 SDE 的法向量，则 nSD 0 nSE 0， 即 3x2z0， 3xy2z0.设 x1，则 y0，z 3 2 ，即平面 SDE 的一个法向量为 n 1，0， 3 2 ， 所以 cosn， SC nSC |n|SC | 2 3 7 4 16 2
24、1 7 ， 所以直线 SC 与平面 SDE 所成角的正弦值为 21 7 . 19.(本小题满分 12 分)如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1 底面 A1B1C1，ACAB，ACAB4，AA16，点 E，F 分别 为 CA1与 AB 的中点. (1)证明：EF平面 BCC1B1； (2)求 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值. (1)证明如图，连接 AC1，BC1， 则在三棱柱 ABCA1B1C1中，E 为 AC1的中点. 又因为 F 为 AB 的中点，所以 EFBC1. 又 EF平面 BCC1B1，BC1平面 BCC1B1， 所以 EF平面 BCC1B1. (2)解以 A1为
25、原点建立如图所示的空间直角坐标系 A1xyz， 则 A(0，0，6)，B1(0，4，0)，E(2，0，3)，F(0，2，6)， 所以B1F (0，2，6)，AE (2，0，3)，AF(0，2，0). 设平面 AEF 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAE 2x3z0， nAF 2y0， 令 x3，得 n(3，0，2).记 B1F 与平面 AEF 所成角为， 则 sin |cosB1F ，n| |B1F n| |B1F |n| 3 130 65 ， 即 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值为3 130 65 . 20.(本小题满分 12 分)如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，E，F
26、 分别为 AB， CD 的中点，CD2AB2EF4，M 为 DF 的中点.现将四边形 BEFC 沿 EF 折起， 使平面 BEFC平面 AEFD，得到如图所示的多面体.在图中， (1)证明：EFMC； (2)求二面角 MABD 的余弦值. (1)证明由题意，可知在等腰梯形 ABCD 中，ABCD， E，F 分别为 AB，CD 的中点，EFCD. 折叠后，EFDF，EFCF. DFCFF，DF，CF平面 DCF，EF平面 DCF. 又 MC平面 DCF，EFMC. (2)解平面 BEFC平面 AEFD，平面 BEFC平面 AEFDEF，且 DFEF， DF平面 AEFD， DF平面 BEFC，又
27、 CF平面 BEFC， DFCF，DF，CF，EF 两两垂直. 以 F 为坐标原点，分别以 FD，FC，EF 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系 Fxyz. 由题意知 DMFM1. M(1，0，0)，D(2，0，0)，A(1，0，2)， B(0，1，2). MA (0，0，2)，AB (1，1，0)，DA (1，0，2). 设平面 MAB、平面 ABD 的法向量分别为 m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2). 由 MA m0， AB m0 得 2z10， x1y10， 取 x11，则 m(1，1，0)为平面 MAB 的一个法向量. 由 DA n0， AB
28、n0 得 x22z20， x2y20， 取 x22，则 n(2，2，1)为平面 ABD 的一个法向量. cosm，n mn |m|n| 22 23 2 2 3 ， 二面角 MABD 的余弦值为2 2 3 . 21.(本小题满分 12 分)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 为正方形，ADBC，ADAB，AD2BC1. (1)证明：平面 ADEF平面 ABF； (2)若 AF平面 ABCD，二面角 ABCE 为 30，三棱锥 A BDF 的外接球的球心为 O， 求二面角 ACDO 的余弦值. (1)证明因为四边形 ADEF 为正方形，所以 ADAF， 又 ADAB，ABAFA，A
29、B，AF平面 ABF， 所以 AD平面 ABF. 因为 AD平面 ADEF，所以平面 ADEF平面 ABF. (2)解由(1)知 AD平面 ABF，又 ADBC，则 BC平 面 ABF，从而 BCBF，又 BCAB，所以二面角 ABC E 的平面角为ABF30. 以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 Axyz， 如图所示， 则 D(0，1，0)，C 3，1 2，0，B( 3，0，0)，E(0，1， 1)，F(0，0，1)，CD 3，1 2，0. 因为三棱锥 ABDF 的外接球的球心为 O，所以 O 为线段 BE 的中点，则 O 的坐 标为 3 2 ，1 2， 1 2 ，OC 3 2 ，0，1
30、2 . 设平面 OCD 的法向量为 n(x，y，z)，则 nOC nCD 0， 即 3 2 x1 2z0， 3x1 2y0， 令 x1，得 n(1，2 3， 3). 易知平面 ACD 的一个法向量为 m(0，0，1)， 则 cosm，n 3 161 3 4 . 由图可知，二面角 ACDO 为锐角， 故二面角 ACDO 的余弦值为 3 4 . 22.(本小题满分 12 分)(2021重庆调研)已知四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 为菱形，ABC 3，SA底面 ABCD，E 是棱 SC 上一点. (1)求证：平面 EBD平面 SAC； (2)设 SAAB2，是否存在点 E 使平面 BED 与平
31、面 SAD 所成的锐二面角的大小 为 30？如果存在，求出点 E 的位置；如果不存在，请说明理由. (1)证明SA平面 ABCD，BD平面 ABCD，SABD. 四边形 ABCD 是菱形，ACBD. ACASA，SA，AC平面 SAC， BD平面 SAC. BD平面 EBD， 平面 EBD平面 SAC. (2)解存在满足题意的点 E，理由如下： 设 AC 与 BD 的交点为 O，以 OC，OD 所在直线分别为 x，y 轴，以过 O 垂直平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图)， 则 A(1，0，0)，C(1，0，0)，S(1，0，2)，B(0， 3，0)，D(0，3，0)，B
32、D (0，2 3，0)， 设 E(x，0，z)，则SE (x1，0，z2)， EC (1x，0，z)， 设SE EC，则 x1（1x） ， z2z， x1 1， z 2 1， E 1 1，0， 2 1 ， DE 1 1， 3， 2 1 . 设平面 BDE 的法向量 n(x1，y1，z1)， 则 nDE ， nBD ， nDE 0， nBD 0， 即 1 1x 1 3y1 2 1z 10， 2 3y10， 令 x12，求得 n(2，0，1)为平面 BDE 的一个法向量. 同理可得平面 SAD 的一个法向量为 m( 3，1，0) 平面 BED 与平面 SAD 所成的锐二面角的大小为 30. cos 30 |mn| |m|n| |（ 3，1，0）（2，0，1）| 2 4（1）2 3 2 ， 解得：1. E 为 SC 的中点.故当 E 为 SC 的中点时， 平面 BED 与平面 SAD 所成的锐二面角 的大小为 30.
