1、INNOVATIVE DESIGN 第二章 第1节函数及其表示方法 知识分类落实 考点分层突破 课后巩固作业 内 容 索 引 / 1 2 3 / / 知识分类落实 夯实基础回扣知识1 索引 知识梳理 / 1.函数的概念函数的概念 函数函数 两个集合两个集合A，B设设A，B是两个是两个 对应关系对应关系f：AB 如果对于集合如果对于集合A中的中的_，在集合，在集合B中都有中都有 _的实数的实数y与与x对应，则称对应，则称f为定义在集合为定义在集合A上的上的 一个函数一个函数 名称名称称称f：AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数的一个函数 记法记法函数函数yf(x)，xA 非空实数集非空
2、实数集 每一个实数每一个实数x x 唯一确定唯一确定 索引 2.函数的定义域、值域函数的定义域、值域 (1)在函数在函数yf(x)，xA中，中，x称为自变量，称为自变量，y称为因变量，自变量取值的称为因变量，自变量取值的 范围范围(即数集即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合yB|y f(x)，xA称为函数的值域称为函数的值域. (2)如果两个函数表达式表示的函数如果两个函数表达式表示的函数_相同，相同，_也相同，也相同， 则称这两个函数表达式表示就是同一个函数则称这两个函数表达式表示就是同一个函数. 定义域定义域对应关系对应关系 索引
3、表示函数的常用方法有表示函数的常用方法有 、图像法和列表法、图像法和列表法. (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数分段函数表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数 的值域的的值域的 . 3.函数的表示法函数的表示法 解析法解析法 4.分段函数分段函数 并集并集 索引 诊断自测 / 索引 1.判断下列结论
4、正误判断下列结论正误(在括号内打在括号内打“”或或“”) (1)函数函数y1与与yx0是同一函数是同一函数. () (2)对于函数对于函数f：AB，其值域是集合，其值域是集合B. () (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等. () 解析解析(1)错误错误.函数函数y1的定义域为的定义域为R，而，而yx0的定义域为的定义域为x|x0，其定义域不，其定义域不 同，故不是同一函数同，故不是同一函数. (2)错误错误.值域值域CB，不一定有，不一定有CB. (4)错误错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数若两个函数的定义域
5、、对应关系均相同时，才是相等函数. 索引 2.若函数若函数yf(x)的定义域为的定义域为Mx|2x2，值域为，值域为Ny|0y2，则函数，则函数yf(x) 的图像可能是的图像可能是 () 解析解析A中函数定义域不是中函数定义域不是2，2；C中图像不表示函数；中图像不表示函数；D中函数值域不是中函数值域不是 0，2. B 索引 AC 索引 D 解析解析 f 1 2 log31 20，且，且 xk 2(k Z). 则函数的定义域为则函数的定义域为 4 ，1 . 索引 所以所以ax2ax30对任意实数对任意实数x都成立都成立. 当当a0时，显然成立；时，显然成立； 当当a0时，需时，需a212a0，
6、解得，解得12a0. 综上所述，实数综上所述，实数a的取值范围为的取值范围为121). 索引 x22，x2，) f(x)x22，x2，). 索引 解析解析 (构造法构造法)在在 f(x)2f 1 x x1 中，中， 得得 f 1 x 2f(x) 1 x 1， 索引 求函数解析式的常用方法求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数换元法：已知复合函数fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取 值范围值范围. (3)配凑法：由已知条件配凑法：由已
7、知条件f(g(x)F(x)，可将，可将F(x)改写成关于改写成关于g(x)的表达式，然后的表达式，然后 以以x替代替代g(x)，便得，便得f(x)的解析式的解析式. 感悟升华 索引 【训练训练1】 (1)已已知知yf(x)是二次函数，若方程是二次函数，若方程f(x)0有两个相等实根，且有两个相等实根，且f(x) 2x2，则，则f(x)_. 解析解析(待定系数法待定系数法)设设f(x)ax2bxc(a0)， 则则f(x)2axb， 2axb2x2，则，则a1，b2. 所以所以f(x)x22xc0，且有两个相等实根，且有两个相等实根. 44c0，则，则c1.故故f(x)x22x1. x22x1 索
8、引 【训练训练1】 (2)若若f(x)满足满足2f(x)f(x)3x，则，则f(x)_. 解析解析 (构造法构造法)因为因为2f(x)f(x)3x， 所以将所以将x用用x替换，得替换，得2f(x)f(x)3x， 由解得由解得f(x)3x. 3x 索引 【训练训练1】(3)已已知知f(1sin x)cos2x，则，则f(x)_. 解析解析 (换元法换元法)设设1sin xt，t0，2， 则则sin x1t，f(1sin x)cos2x1sin2x， f(t)1(1t)22tt2，t0，2. 即即f(x)2xx2，x0，2. 2xx2，x0，2 索引 考点三分段函数 / 多维探究多维探究 A 解析
9、解析 由于由于 f(x) 2x x，x0， x21，x0. 所以所以f(1)(1)212，故，故f(f(1)f(2)2222. 索引 解析解析当当x0时，时，x11，f(x)f(x1)， 当当01，此时，此时f(x)x210， f(x1)log2(x1)0， 0 x1时，恒有时，恒有f(x)1时，时，f(x)f(x1)log2xlog2(x1)恒成立，恒成立， 角度角度2分段函数与方程、不等式问题分段函数与方程、不等式问题 C 等价于等价于 x21(x1)21，解得，解得1 2x 0， 综上知，不等式综上知，不等式 f(x)f(x1)的解集为的解集为 1 2， ， . 索引 AD 由由 1x2
10、， x21 得得 x1； 由由 x 2， 2x1 知无解知无解. 索引 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定 相应的解析式代入求解相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式 分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值 范围范围. 提醒提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类
11、讨论当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 感悟升华 索引 ACD f(x)的定义域为的定义域为R，值域为，值域为(3，e3)0，)，且，且e30时，时，2x15，解得，解得00时，每一个时，每一个x对应对应2个个y，图像，图像B中中x0对应对应2个个y， 所以所以A，B均不是函数图像；图像均不是函数图像；图像C，D可以是函数图像可以是函数图像. CD 01121314150708091011020304050616索引 B f(5)ff(11)f(9)ff(15)f(13)11. 01121314150708091011020304050616索引 4.若函数若函数f(x)xlog2(
12、xa)的定义域为的定义域为(1，)，则，则f(3a) () A.2 B.3 C.4 D.5 解析解析f(x)xlog2(xa)的定义域为的定义域为(1，)， a1， f(3a)3log224. C 01121314150708091011020304050616索引 解析解析由函数由函数f(x)的定义域为的定义域为1，1， 令令12x11，解得，解得0 x1， 又由又由1x0且且1x1，解得，解得x0. 当当a1时，由时，由f(a)f(a1)，得，得2a2(a1)，无解，无解. D 01121314150708091011020304050616索引 解析解析当当a0时，显然不成立时，显然不成
13、立. 当当a0时，不等式时，不等式af(a)f(a)0等价于等价于a22a0，解得，解得a2. 当当a0等价于等价于a22a0，解得，解得a2. 综上所述，实数综上所述，实数a的取值范围为的取值范围为(，2)(2，). D 01121314150708091011020304050616索引 解析解析要使函数要使函数f(x)有意义，有意义， f(x)的定义域为的定义域为(0，1. (0，1 01121314150708091011020304050616索引 10.已知函数已知函数 f(x)满足满足 f 1 x 1 xf( x)2x(x0)，则，则 f(2)_. 联立联立解得解得 f(2)7
14、2. 01121314150708091011020304050616索引 解析解析当当x2时，时，f(x)2x5单调递增，则单调递增，则52时，时，sin x1，1，则，则f(x)3sin x3，3. 故故f(x)的值域是的值域是(5，3. (5，3 01121314150708091011020304050616索引 解析解析由题意知由题意知f(3)lg(3)21lg 101， 所以所以ff(3)f(1)0， 0 B级 能力提升 / 索引01121314150708091011020304050616 13.(2021济南检测济南检测)如如下折线图统计了下折线图统计了2020年年2月月27
15、日至日至2020年年3月月11日共日共14天全国天全国 (不含湖北不含湖北)新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数，记新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数，记2020年年2月月27日至日至2020年年 3月月11日的日期为日的日期为t(tN*)，t的取值如下表，的取值如下表， 01121314150708091011020304050616索引 日日 期期 2.27 2.28 2.29 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 t1234567891011121314 新增确诊人数记为新增确诊人数记为f(t)，新增疑似人数记为，新增
16、疑似人数记为g(t)，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是() A.f(t)与与g(t)的值域相同的值域相同 B.f(9)g(10) C.t0N*，使，使f(t0)g(t0) D.tN*，f(t)g(t) 解析解析由题图纵轴可知由题图纵轴可知f(t)与与g(t)的值域不相同；的值域不相同；f(9)30g(10)； 函数函数f(t)的图像在函数的图像在函数g(t)图像的下方，图像的下方， 所以不存在所以不存在t0N*，使，使f(t0)g(t0)； 由题图可以看出由题图可以看出tN*，f(t)g(t). D 01121314150708091011020304050616索引 解析解析当当x0时
17、，函数时，函数f(x)2 x是减函数，则 是减函数，则f(x)f(0)1. 作出作出f(x)的大致图像如图所示，结合图像知，要使的大致图像如图所示，结合图像知，要使f(x1)f(2x)， 解得解得x1或或1x0，即，即x0. D 01121314150708091011020304050616索引 AD 01121314150708091011020304050616索引 解析解析根据题意，根据题意，“同值函数同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其 对应对应. 因此，能够被用来构造因此，能够被用来构造“同值函数同值函数”的函数必须满足在其
18、定义域内不单调的函数必须满足在其定义域内不单调. 对于选项对于选项A，yx，定义域为，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对 应同一函数值，故应同一函数值，故A可以构造可以构造“同值函数同值函数”； 故故D可以构造可以构造“同值函数同值函数”. 所以能够被用来构造所以能够被用来构造“同值函数同值函数”的是的是A，D. 01121314150708091011020304050616索引 解析解析当当a1时，时，2a2. ff(a)f(2a)22a2f(a)恒成立恒成立. 当当a1时，时，ff(a)f(a)2f(a)2 a， ， a1，即，即a1恒成立，恒成立， 由题意由题意(a1)max， 2， 综上，综上，的取值范围是的取值范围是2，). 2，) INNOVATIVE DESIGN THANKS本节内容结束
