1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 蚌埠田家炳中学蚌埠田家炳中学 20202020 年春季学期开学学业检测年春季学期开学学业检测 高二数学理科高二数学理科 一、选择题一、选择题 1.已知(1)1 f ， 0 (1 3)(1) lim x fxf x 等于（） A. 1B. -1C. 3D. 1 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据导数概念，得到 00 (1 3)(1)(1 3)(1) lim3lim3(1) 3 xx fxffxf f xx ，即可求出结 果. 【详解】因为(1)1 f ， 所以 00 (1 3)(1)(1 3)(1) lim3lim3(1)3
2、3 xx fxffxf f xx . 故选 C 【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型. 2.曲线 1x yxe 在点（1,1）处切线的斜率等于（）. A.2eB. e C. 2D. 1 【答案】C 【解析】 试题分析：由 1x yxe ，得，故，故切线的斜率为，故选 C. 考点：导数的集合意义. 3.若 52345 012345 (54)xaa xa xa xa xa x,则 12345 2345aaaaa等于 () A. 5B. 25C.5D.25 【答案】B 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 把所给的等式两边对x
3、求导，可得 25（5x4） 4a 1+2a2x+3a3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，再令 x1，可 得a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值 【详解】对于（5x4） 5a 0+a1x+a2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，两边对 x求导， 可得 25（5x4） 4a 1+2a2x+3a3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 再令x1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a525， 故选：B 【点睛】本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根 据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题 4.下列求导运算正确的是() A. 1 ln
4、x x B.1 xx x ee C. 2cos 2 sinxxxx D. 2 11 ()1x xx 【答案】D 【解析】 试题分析：A. 1 2 11 (ln ) ) ln(ln ) x xxx ， 错误. B.() xxx x eex e. 错误. C. 22 (cos )2 cossinxxxxxx错误. D. 1 2 1 1xx x 正确. 考点：导数的运算. 5.若函数 1 ( )lnf xxax x 在1,)上是单调函数，则a的取值范围是（） A. 1 (,0 4 B. 1 ,0, 4 C. 1 ,0 4 D.(,1 【答案】B 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考
5、资源网 - 3 - 【分析】 由求导公式和法则求出f（x） ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等 式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围 【详解】解：由题意得，f（x） 2 11 a xx ， 因为 1 f xlnxax x 在1，+）上是单调函数， 所以f（x）0 或f（x）0 在1，+）上恒成立， 当f（x）0 时，则 2 11 0a xx 在1，+）上恒成立， 即a 2 11 xx ，设g（x） 2 2 11111 () 24xxx ， 因为x1，+） ，所以 1 x （0，1， 当 1 x 1 时，g（x）取到最大
6、值是：0， 所以a0， 当f（x）0 时，则 2 11 0a xx 在1，+）上恒成立， 即a 2 11 xx ，设g（x） 2 2 11111 () 24xxx ， 因为x1，+） ，所以 1 x （0，1， 当 11 2x 时，g（x）取到最大值是： 1 4 ， 所以a 1 4 ， 综上可得，a 1 4 或a0， 所以数a的取值范围是（， 1 4 0，+） ， 故选：B 【点睛】本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查 分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题 6.已知函数 fx的定义域为0,，且满足 0f xxfx （ fx 是 fx的导函 数） ，
7、则不等式 2 111xfxfx的解集为（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - A.,2B. 1, C.1,2D.1,2 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数 g xxf x，利用导数分析函数 yg x在0,上的单调性，在不等式 2 111xfxfx两边同时乘以1x化为 22 1111xfxxfx， 即 2 11g xg x，然后利用函数 yg x在0,上的单调性进行求解即可. 【详解】构造函数 g xxf x，其中0 x ，则 0gxf xxfx ， 所以，函数 yg x在定义域0,上为增函数， 在不等式 2 111xfxfx两边同时乘以1x得 22 1111
8、xfxxfx，即 2 11g xg x， 所以 2 2 11 10 10 xx x x ，解得12x， 因此，不等式 2 111xfxfx的解集为1,2，故选 D. 【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数 yg x； （2）利用导数分析函数 yg x的单调性，必要时分析该函数的奇偶性； （3）将不等式变形为 12 g xg x，利用函数 yg x的单调性与奇偶性求解. 7.已知函数 32 ( )f xxaxbx在1x 处有极值 10，则(2)f等于() A. 1B. 2C. 2D. 1 【答案】B 【解析】 32 f xxaxb
9、x， 2 32fxxaxb， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 函数 32 f xxaxbx在1x 处有极值为 10， 320 110 ab ab ，解得 12 21 a b 经检验知，12,21ab 符合题意 32 1221f xxxx， 32 2212 221 22f选B 点睛： 由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该 零点两侧导函数的值的符号是否发生变化， 然后才能作出判断 同样在已知函数的极值点 0 x求 参数的值时，根据 0 ()0fx求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最 终作出取舍 8.如图
10、是函数 yf x的导函数 yfx 的图象，下列关于函数 yf x的极值和单调 性的说法中，正确的个数是（） 2 x， 3 x， 4 x都是函数 yf x的极值点； 3 x， 5 x都是函数 yf x的极值点； 函数( )yf x在区间 1 (x， 3) x上是单调的； 函数( )yf x在区间上 3 (x， 5) x上是单调的 A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【分析】 结合函数的图象，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点 【详解】解：由图象得： ( )f x在 3 (,)x递增，在 3 (x， 5) x
11、递减，在 5 (x，)递增， 故 3 x， 5 x都是函数( )yf x的极值点， 故正确， 故选：C 【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，数形结合思想，属 于基础题 9. 2 2 2( 4)xxdx （） A.B.4C.3D.2 【答案】D 【解析】 由 222 22 222 (4)4022xxdxxdxx dx ，故选 D. 10.复数 2 (1)4 1 i z i 的虚部为（） A. 1B. 3C. 1D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 对复数z进行化简计算，得到答案. 【详解】 2 421(1)442 1 3 112 iiii zi ii 所以z的虚部
12、为3 故选 B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题. 11.极坐标方程 2 cos22 cos1表示的曲线是（） A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【答案】D 【解析】 【分析】 将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论； 【详解】 解： 极坐标方程 2 cos22 cos1可化为： 222 cossin2 cos1， 22 21xyx，即 22 (1)2xy，它表示中心在1,0的双曲线 极坐标方程 2 cos22 cos1表示的曲线是双曲线 故选：D 【点睛】本题研究极坐标问题，我们的解法是将
13、极坐标方程化为直角坐标方程，再进行研究， 属于中档题 12.若直线 1xt yat （t为参数）被圆 22cos 22sin x y （为参数）所截的弦长为2 2，则 a的值为（ ） A. 1 或 5B. 1 或 5C. 1 或5D. 1或5 【答案】A 【解析】 【分析】 把参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式、弦长公式求得a的值 【详解】解：直线 1xt yat （t为参数） ，即10 xya ，圆 22cos 22sin x y （为参 数） ， 即 22 (2)(2)4xy，表示以(2,2)为圆心、半径等于 2 的圆 圆心到直线的距离为 |221|3| 22 aa d ，再
14、根据弦长公式可得 2 22 |3| ( 2)4 2 a r ， 求得1a 或5a ， 故选：A 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离 公式的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题 二、填空题二、填空题 13.直线 1sin40 3cos40 xt yt （t为参数）的倾斜角是_ 【答案】50 【解析】 【分析】 化参数方程为普通方程，求出斜率，再根据诱导公式即可求得倾斜角 【详解】解：根据直线 1sin40 3cos40 xt yt （t为参数） ，得1(3)tan40 xy ， tan4
15、01 3tan400 xy ，该直线的斜率 cos 90501cos40sin50 tan50 tan40sin40sin 9050cos50 k ， 该直线的倾斜角为50， 故答案为：50 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是化参数方程为普通方程，属于 基础题 14.已知直线l的极坐标方程为sin1 6 ，点A的极坐标为2, 6 A ，则点A到直线 的l距离为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离 求解即可 【详解】解：因为sin1 6 可化为： 31 sincos1 22 ， 直线l的直角坐标方
16、程为：320 xy， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 点A的极坐标为2, 6 A ，由cos2cos3 6 x ，sin2sin1 6 y ，则它 的直角坐标3,1， 则A到直线的距离为 |332| 1 2 d ： 故答案为：1 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能 力，属于基础题 15.若复数 3 1 i z i ，则 1 2 zi的虚部为_ 【答案】-1 【解析】 【分析】 利用复数的运算性质、共轭复数的定义即可得出 【详解】解： 2 2 33 (1)3333 1(1)(1)122 iiiii zi iiii ，则
17、 33 22 zi ， 则 13 22 zii ，故 1 2 zi的虚部为1 故答案为：1 【点睛】本题考查了复数的运算性质、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 16.已知函数 yf xxR的图象如图所示，则不等式 0 xfx 的解集为_ 【答案】 1 02 2 ， 【解析】 【详解】分析：由函数 yf x的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 的符号，进而得不等式 0 xfx 的解集 详解：由 yf x图象特征可得， 导数 fx ，在 1 (, 2,) 2 上 0fx，在 1 ( ,2) 2
18、上 0fx ， 所以 0 xfx 等价于 0 0 x fx 或 0 0 x fx ，解得 1 0 2 x或2x ， 即不等式 0 xfx 的解集为 1 0,2,) 2 点睛：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求得函数 的单调性是本题解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力 三、解答题三、解答题 17.选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为 45cos 55sin xt yt （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=2sin （）把 C1的参数方程化为极坐标方程； （）求 C1与 C
19、2交点的极坐标（0,02） 【答案】 （1） 2 8 cos10 sin160； （2）( 2,),(2,) 42 . 【解析】 【详解】试题分析： （1） 先根据同角三角函数关系 cos 2tsin2t=1 消参数得普通方程： （x 4） 2（y5）225 ，再根据 cos ,sinxy将普通方程化为极坐标方程： 2 8 cos10 sin160（2）将2sin代入 2 8 cos10 sin160 得cos0tan1或得,2,2 24 或 ，也可利用直角坐标方程求交点， 再转化为极坐标 试题解析： （1）C1的参数方程为 45cos 55sin xt yt （x4） 2（y5）225（co
20、s2tsin2t）25， 即 C1的直角坐标方程为（x4） 2（y5）225， 把cos ,sinxy代入（x4） 2（y5）225， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 化简得： 2 8 cos10 sin160. （2）C2的直角坐标方程为 x 2y22y，C 1的直角坐标方程为（x4） 2（y5）225， C1与 C2交点的直角坐标为（1，1） ， （0，2）. C1与 C2交点的极坐标为( 2,),(2,) 42 . 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程 18.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt
21、（t为参数）.在以坐标 原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的 极坐标方程是2 2sin 4 . （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设点0, 1P.若直l与曲线C相交于两点,A B,求PAPB的值. 【答案】 （1）310 xy ， 22 (1)(1)2xy； （2）2 31. 【解析】 【分析】 （1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l的普通方程，极坐标方程展开后，两边同 乘以，利用 222, cos , sinxyxy，即可得曲线C的直角坐标方程； （2）直 线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数
22、方程的几何意义即可得结 果. 【详解】 （1）将直线 l 的参数方程消去参数 t 并化简，得 直线 l 的普通方程为310 xy . 将曲线 C 的极坐标方程化为 2 22 2 2sincos 22 . 即 2 2 sin2 cos.x 2+y2=2y+2x. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 故曲线 C 的直角坐标方程为 22 112xy. （2）将直线 l 的参数方程代入 22 112xy中，得 2 2 13 122 22 tt . 化简，得 2 12 330tt. 0，此方程的两根为直线 l 与曲线 C 的交点 A，B 对应的参数 t1，t2. 由根与系数
23、的关系，得 12 2 3 1tt， 1 2 3t t ，即 t1，t2同正. 由直线方程参数的几何意义知, 1212 2 31PAPBtttt. 【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及 直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程， 消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元 法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos和sin换成x和y即可. 19.（1）已知复数 2 3 13 i z i ，z是 z 的共轭复数，求z z 的值； （2）计算 2016 6 21 11 i ii (i
24、 是虚数单位） 【答案】 （1） 1 4 ； （2）0 【解析】 【分析】 直接利用复数的代数形式的运算法则计算即可. 【详解】(1) 复数 z= 2 3 (13 ) i i = 3 22 3 i i = 1 2 ， 1 2 z zz= 1 4 (2) （ 2 1 i ） 2016+（1 1 i i ） 6 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - = 2016 2 1 2 i + 6 121 2 i =i 1008+i6 =11 =0 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的定义，属于基础题 20.已知函数 e ln,e x f xa xx x 为自然对数
25、的底数. (1)当0a 时,试求 f x的单调区间; (2)若函数 f x在 1 ,2 2 x 上有三个不同的极值点,求实数a的取值范围. 【答案】 （1）单调增区间为1,单调减区间为0,1； （2）2 e, e 【解析】 试题分析： （1）借助题设条件运用导数的知识求解； （2）依据题设运用导数的有关知识进行 分析探求. 试题解析： （1）函数的定义域为 0,x, 222 1 1111 1 x xx eaxx exexax x fxa xxxx .当 0a 时，对于 0,0 x xeax 恒成立，所以，若 1,0 xfx，若 01,0 xfx，所以 fx的单调增区间为( ) 1,+，单调减区
26、间为( ) 0,1. （2）由条件可知 0fx ，在 1 ,2 2 x 上有三个不同的根，即 0 x eax 在 1 ,2 2 x 上有两个不同的根，且ae ，令 x e g xa x ，则 1 x ex gx x ，当 1 ,1 2 x 单调递增，1,2x单调递减， g x的最大值为 2 11 1,2,2 22 ge ge ge ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 而 22 11 220,2 22 eeeeeae . 考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数 解析
27、式 ln x e f xa xx x 为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调 性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数 ln x e f xa xx x 的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调 性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数 x e g xa x ,运用求导法则 及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解. 21.已知函数 lnfxxx. （1）求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）求 fx的单调区间； （3）若对于任意 1 ,xe e ，都有 1f xax，求实数a
28、的取值范围. 【答案】（1）1yx（2） fx的单调递增区间是 1 , e ； fx的单调递减区间是 1 0, e （3）1ae . 【解析】 【分析】 （1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得 切线方程； （2）求得导函数，并令 0fx 求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间； （3）将不等式变形，并分离参数后构造函数 1 lng xx x ，求得 gx并令 0gx 求 得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定a的取值范围. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【详解】 （1）因为函数 ln
29、fxxx， 所以 1 lnln1fxxxx x ， 1ln1 11 f . 又因为 10f，则切点坐标为1,0， 所以曲线 yf x在点1,0处的切线方程为1yx. （2）函数 lnfxxx定义域为0,， 由（1）可知， ln1fxx . 令 0fx 解得 1 x e . fx与 fx 在区间0,上的情况如下： x 1 0, e 1 e 1 , e fx 0 fx极小值 所以， fx的单调递增区间是 1 , e ； fx的单调递减区间是 1 0, e . （3）当 1 xe e 时，“ 1f xax”等价于“ 1 lnax x ”. 令 1 lng xx x ， 1 ,xe e ， 22 11
30、1x gx xxx ， 1 ,xe e . 令 0gx 解得1x ， 当 1 ,1x e 时， 0gx ，所以 g x在区间 1 ,1 e 单调递减. 当1,xe时， 0gx ，所以 g x在区间1,e单调递增. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 而 1 ln11.5geee e ， 11 ln11.5g ee ee . 所以 g x在区间 1 ,e e 上的最大值为 1 1ge e . 所以当1ae 时，对于任意 1 ,xe e ，都有 1f xax. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离 参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题. 22.求曲线 sinyx 与直线 4 x ， 5 4 x，0y 所围成图形的面积（如图） 【答案】4 2 【解析】 【分析】 利用牛顿莱布尼茨公式计算曲边多边形的面积. 【详解】解： 4 5 4 |sin|Sx dx 5 0 0 4 4 sinsinsinxdxxdxxdx 5 0 4 0 4 coscoscosxxx 22 3142 22 【点睛】本题考查了定积分的几何意义及其求法，属于基础题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -
