1、第第 6 节节条件概率与全概率公式、事件的独立性条件概率与全概率公式、事件的独立性 知识梳理 1.事件相互独立 (1)两个事件相互独立 一般地， 当 P(AB)P(A)P(B)时， 就称事件 A 与 B 相互独立(简称独立).如果事件 A 与 B 相互独立，则A 与 B，A 与B ，A 与B 也相互独立. (2)多个事件相互独立 两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，An相互独 立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的 概率之积”. 2.条件概率 条件设 A，B 是两个事件，且 P(B)0 定义 已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的
2、概率，称为条 件概率 记作P(A|B) 计算公式P(A|B)P（AB） P（B） 图形 3.独立性与条件概率的关系 当 P(B)0 时，A 与 B 独立的充要条件是 P(A|B)P(A). 4.乘法公式 P(BA)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)，其中 P(A)0，P(B)0. 5.全概率公式 (1)P(B)P(A)P(B|A)P(A )P(B|A ) (2)定理 1(全概率公式的推广) 若样本空间中的事件 A1，A2，An满足： 任意两个事件均互斥，即 AiAj，i，j1，2，n，ij； A1A2An； P(Ai)0，i1，2，n. 则对中的任意事件 B，都有 BBA1BA2BAn，
3、且 P(B) n i1P(BAi) n i1P(Ai)P(B|Ai). 上述公式也称为全概率公式.n3 时的情形可借助下图来理解. 条件概率的性质 假设 A，B，C 都是事件，且 P(A)0，则： (1)0P(B|A)1； (2)P(A|A)1； (3)若 B 和 C 互斥，则 P(BC)|A)P(B|A)P(C|A). 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P(B)都成立.() (2)对任意两个事件，P(AB)P(A)P(B).() (3)若 P(A)P(B)P(AB)，则事件 A，B 相互独立.() 解析对于(1)，只有当
4、A，B 为相互独立事件时，公式 P(AB)P(A)P(B)才成立； 对于(2)，只有当 A、B 互斥时，才能成立. 答案(1)(2)(3) 2.打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击 一个目标，则他们同时中靶的概率是() A.14 25 B.12 25 C.3 4 D.3 5 答案A 解析因为甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，所以 P(甲)4 5， P(乙) 7 10，所以他们都中靶的概率是 4 5 7 10 14 25. 3.已知 5%的男人和 0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑 选一人，则
5、此人恰是色盲的概率为() A.0.012 45B.0.057 86 C.0.026 25D.0.28 65 答案C 解析设 A 表示“此人恰好是色盲”，B1表示“随机挑选一人为男人”，B2表示 “随机挑选一人为女人”，则 P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)1 20.05 1 20.002 50.026 25. 4.(2021石家庄二中质检)据统计，连续熬夜 48 小时诱发心脏病的概率为 0.055， 连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜 48小时未诱发心 脏病，则他还能继续连续熬夜 24 小时不诱发心脏病的概率为() A.6 7 B. 3 35
6、C.11 35 D.0.19 答案A 解析设“连续熬夜 48 小时未诱发心脏病”记为事件 A，“连续熬夜 24 小时未 诱发心脏病”记为事件 B.由他还能继续连续熬夜 24 小时不诱发心脏病的概率 P(B|A)P（AB） P（A） 0.81 0.945 6 7，故选 A. 5.(2021湖北调研)某学校选拔新生补进“篮球” “电子竞技” “国学”三个社团， 根据资料统计， 新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019 年某新 生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团 的概率依次为 m， 1 3，n，已知这三个社团他都能进入的概率为 1 24，至少进入一
7、个社 团的概率为3 4，则 mn_. 答案 3 4 解析由题意可得 1 3mn 1 24，即 mn 1 8，1 11 3 (1m)(1n)3 4，即(1m)(1 n)3 8，解得 mn 5 8mn 3 4. 6.(2021湖南六校联考)甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概 率分别为4 5和 3 4；乙笔试、面试通过的概率分别为 2 3和 1 2.若笔试、面试都通过则被录 取， 且甲、 乙录取与否相互独立， 则该次考试甲、 乙同时被录取的概率是_， 只有一人被录取的概率是_. 答案 1 5 8 15 解析甲被录取的概率 P14 5 3 4 3 5，乙被录取的概率 P 22 3 1
8、2 1 3，则该次考试 甲、乙同时被录取的概率是 P1P23 5 1 3 1 5，只有一人被录取的概率是 P 1(1P2) P2(1P1)3 5 2 3 2 5 1 3 8 15. 考点一条件概率 1.从 1， 2， 3， 4， 5 中任取 2 个不同的数， 事件 A“取到的 2 个数之和为偶数”， 事件 B“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)() A.1 8 B.1 4 C.2 5 D.1 2 答案B 解析法一P(A)C 2 3C22 C25 4 10 2 5， P(AB)P(B) C22 C25 1 10.由条件概率计算公式， 得 P(B|A)P（AB） P（A） 1 10 2
9、5 1 4. 法二事件 A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共 4 个. 事件 AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即 n(AB)1. 故由古典概型概率 P(B|A)n（AB） n（A） 1 4. 2.(2020大同模拟)某射击选手射击一次击中 10 环的概率是4 5，连续两次均击中 10 环的概率是1 2，已知该选手某次击中 10 环，则随后一次击中 10 环的概率是( ) A.2 5 B.5 8 C.1 2 D.4 5 答案B 解析设该选手某次击中 10 环为事件 A，随后一次击中 10 环为事件 B，则 P(A) 4 5，P(AB) 1 2， 某次击中
10、10 环，随后一次击中 10 环的概率是 P(B|A)P（AB） P（A） 1 2 4 5 5 8.故选 B. 3.有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机 抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_. 答案0.72 解析设种子发芽为事件 A，种子成长为幼苗为事件 B(发芽又成活为幼苗). 依题意 P(B|A)0.8，P(A)0.9. 根据条件概率公式 P(AB)P(B|A)P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼 苗的概率为 0.72. 感悟升华(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)P（AB） P（A） ，这是求条 件
11、概率的通法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)， 再求事件 A 与事 件 B 的交事件中包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)n（AB） n（A） . 考点二相互独立事件同时发生的概率 【例 1】 (2020全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛 的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人 被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛 结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为1 2
12、. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 解(1)甲连胜四场的概率为1 2 1 2 1 2 1 2 1 16. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 1 16；乙连胜四场的概率为 1 16； 丙上场后连胜三场的概率为1 8. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1 1 16 1 16 1 8 3 4. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空 结果有三种情况：胜胜负胜，
13、胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 1 16， 1 8， 1 8. 因此丙最终获胜的概率为1 8 1 16 1 8 1 8 7 16. 感悟升华求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立 事件入手计算. 【训练 1】 (1)(2021淄博模拟)某校为了解家长对学校食堂的满意情况， 分别从高 一、高二年级随机抽取 20 位家长的满意度评分，其频数分布表如图表示： 满意度评 分分组 50，60)60，70)70，80)80，90)90，100合计 高一1366420 高二26552
14、20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分评分70 分70 分评分60，且 b80. 设事件 A 表示“甲同学被项目 A 招募”，由题意可知，P(A) 50 100 1 2； 设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”，由题意可知，P(B)60 a ； 设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”，由题意可知，P(C)80 b ； 设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”，由题意可知，P(D)160 200 4 5. (1)由于事件“甲同学至多被三个项目招募”与事件“4”是对立的，所以甲同 学至多被三个项目招募的概率是 1P(4)1 1 10 9 10. (2)由题意可知
15、， P(0)P(A B C D ) 11 2 160 a 180 b 14 5 1 40； P(4)P(ABCD)1 2 60 a 80 b 4 5 1 10. 解得 a120，b160. B 级能力提升 12.(多选题)(2021济南调研)甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球， 乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3表示由甲罐取出的球是红球， 白球和黑球的事件； 再从乙罐中随机取出一球， 以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是() A.P(B)2 5 B.P(B|A1) 5 11 C.事件
16、 B 与事件 A1相互独立 D.A1，A2，A3是两两互斥的事件 答案BD 解析易见 A1， A2， A3是两两互斥的事件， P(B)P(BA1)P(BA2)P(BA3) 5 10 5 11 2 10 4 11 3 10 4 11 9 22.故选 BD. 13.设袋中装有 10 个阄，其中 8 个是白阄，2 个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取 一个，则乙抓到白阄的概率为_. 答案 4 5 解析设 A 表示“甲抓到有物之阄”， B 表示“乙抓到白阄”， 则 P(A) 2 10， P(A ) 8 10，从而 P(B)P(BA)P(BA ) P(A)P(B|A)P(A )P(B|A ) 2 10 8 9 8 10 7 9 4 5. 14.三个箱子中，第一箱装有 4 个黑球 1 个白球，第二箱装有 3 个黑球 3 个白球， 第三箱装有 3 个黑球 5 个白球，现任取一箱，再从该箱中任取一球，试求取出的 球是白球的概率. 解设 Ai表示“取出第 i 个箱子” ，i1，2，3，B 表示“取出白球” P(A1)P(A2)P(A3)1 3， P(B|A1)1 5，P(B|A 2)3 6，P(B|A 3)5 8. 由全概率公式，得 P(B) 3 i1P(B|Ai)P(Ai) 53 120.
