1、中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 1 微专题 3 两边夹，夹出好味道两边夹，夹出好味道 知识梳理 在不等式中有一个显而易见的性质“若axa则 ax ” ，这就是不等式的“两边夹”性质， 又如：( )( )f xag x恒成立，即 maxmin ( )( )f xag x等，笔者对“两边夹”已有的文献也进行 了翻阅，发现仍然有待整理拓展的空间，本文通过典型例题谈谈“两边夹逼”的一些新的感受，如 何突破思维瓶颈，大胆的转化变量与不变量，不等关系与相等关系，真正夹出我们需要的好味道。 例题讲解 例 1已知 222 52259xxaxaxcxx对任意xR恒成立， 则
2、a c . 答案 17 2 ac 解析用两边夹逼的方法，令 22 5259xxxx，解得 2x 故7447aac，即7c 所以 222 52712120 xxaxaxaxax对任意xR恒成立， 所以 22 101 3 221810230 aa a aaa 故 17 2 ac 2.若实数 , x y满足 ln41ln432 ,xyxyx，则3xy. 答案 1 3 2 xy 解析 ln4141 11 ln4343 12 xyxy xyxy 12 :ln41ln432xyxyx 又 ln41ln432xyxyx ln41ln432xyxyx 当且仅当 ln4141 1 ln4343 1 xyxy x
3、yxy 一 一 联系微信 1303862 5569 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 2 当且仅当 411 431 xy xy ，所以 0 1 2 x y 故 1 3. 2 xy 点评以上二例有一个共同特点，静态结构，构造的结构简明，操作有序，笔者称该类型 为“夹死” ，即“axaxa”解决“条件为不等式，目标为等式”问题的利器。 例 2（1）（2012 浙江理 17）设 a R，若0 x时，均有0) 1(1) 1( 2 axxxa，则 a . 答案 3 2 a 解析 1只需令2x ，(2 3)(32 )0aa 即 2 0(23)0a，得 3 2 a （见类
4、型 1）. 解析 2变形可得 11 0 x aax xx ， 即直线 ya 在函数 11 ,(0) x yyxx xx 之间 由图像可知，只有当 3 2 a 满足。 （2）.（2008 浙江高考理科第 15 题）已知t为常数，函数 2 2yxxt 在区间0,3上 的最大值为 2，则t . 答案1t 解析函数 2 2yxxt 在区间0,3上的最大值为 2, 等价于 2 22xxt 恒成立，且等号能取到 222 222222xxtxxtxx 所以线段y t 夹在 22 22,22yxxyxx 之间且至少与一支有交点， 由图像得1t ，即1t 点评以上典例有共同特点， “两静一动”结构，笔者称该类型
5、为“夹横” ，构造的模型 “两边具体函数，中间一条水平线” ，即“ )()(xgaxf ”解决“条件为不等式，目标 为等式或范围”问题的较佳选择。 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 3 例 3（1）.已知函数 2 ( )2, ,f xxaxba bR ，若对任意 1,3x ，总有 1 ( ) 2 f x 成 立，求 , a b的值 答案 11 4, 2 ab 解析 22 135 ( ) 222 f xxaxbx 即 ,1,3yaxb x 夹在函数 22 35 , 22 yxyx 的图像之间 经过计算，经过 313 (1, ), (3,) 22 AB 的直线
6、11 4 2 yx 与函数 2 3 2 yx 相切 即夹在函数 22 35 , 22 yxyx 的图像之间直线只有唯一一条 11 4 2 yx 所以 11 4, 2 ab （2）.（2018 绍兴一模）已知0a 函数 2 ( )3f xxxa 在区间 1,1 上的最大值是 2，则a . 答案3a 或 5 4 a 解析等价于 2 ( )32f xxxa 对 1,1 恒成立，且等号要取到 变形得 22 15xxax 对 1,1 恒成立，且等号至少取到一个 即等价于在 1,1x 时 1 yxa 图像夹在 22 23 1,5yxyx 之间且至少与一支图像有交点 当 1 yxa 与 2 2 1yx 相切
7、时， 2 1axx 由 5 0, 4 a 当 1 yxa 与过 2 2 1yx 左端点( 1,4)时，3a 所以3a 或 5 4 a 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 4 点评以上两例为 “一动两静”结构，笔者称该类型为“夹缝” ，构造的模型“两边具 体函数，中间动态函数（一般动直线） ” ，即“ )()()(xhxfxg ”解决“条件为不等式， 目标为等式或范围”问题的较佳选择。 例 4.已知函数 2 f xaxb x ，实数 , a bR ，对任意的 1,2x 都有 f xm ，则m 的最小值为 答案 min 3 2 2 m 解析由题意知 2 axbm
8、x ， 22 maxbm xx 由于 2 maxb x ，为了使m最小，由图像得 线段 ,1,2yaxb x 两端点 ,A B两点必须落在 2 ym x 图像上 易求得直线AB的方程： 3yxm 直线AB为 2 ym x 的割线， 同理为了使m最小，直线AB成为 2 ym x 的切线， 联立 2 3 ym x yxm 得 2 2320 xmx ， 0, 解得 3 m2 2 当 3 m2 2 时，找不到直线夹在曲线 2 ym x 与 2 ym x 之间 故 3 m2 2 ，所以 min 3 2 2 m 点评以上例题的特点， “一动两动” ，笔者称“夹紧” ，构造的模型“两边动态函数，中 间动态函
9、数（一般动直线） ” ，即“ )()()(xhxfxg ”解决“条件为不等式，目标为范 围”问题的较佳选择。 相似题 相似题 1函数 2 ,f xaxbxc xR， ,0g xaxb a，当11x 时， 1f x ， 且 g x的最大值为 2，则ab 答案2ab 解析因为 g x的最大值为 2，所以2ab 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 5 由 0111fc ，由 111131fabcc ， 故题目变为 22 1211022axa xaxa x 对11x 恒成立 此时注意到 2 22h xaxa xx axa，0 x 是一个零点 由于对11x ， 0h x
10、 ，故02a ，可得0b 所以2ab 相似题 2（2018 年 9 月衢州湖州丽水三地市）若 , x y是实数,e是自然対数的底数, 2 3213 x y eln yxx ,则2x y 的值为_. 答案 8 2 3 xy 解析由切线不等式得 2 32 1 3 x y exyxy （当且仅当20 xy时取等号） 21321 1 3ln yxxyxxxy （当且仅当211yx 时取等号） 由于条件 2 3213 x y eln yxx ，所以 2 3213 x y eln yxxxy 即 20 xy 且 211yx 成立，解得 24 , 33 xy ，所以 8 2 3 xy 相似题 3若关于x的不
11、等式 2 ( cos1)(16 )0axaxxa在(0. )有解，则实数a的取值 范围为. 答案 1 1(, 1)(0,)a a 解析进行适当的变形 22 1 ( cos1)(16 )0(cos)(16)0 x axaxxaxx aa 由于0 x，即 2 1116 (cos )()0 x x aax 在(0. )有解 把 1 a 当成主元，直线 1 y a 与两函数 2 16 cos , x yx y x 的 图像关系 只需要 1 1(, 1)(0,)a a 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 6 相似题 4. （20172017 届浙江模考届浙江模考） 已知
12、函数 2 ( )3f xxxa， 若 2 ( )4f xb对任意的 1,1x 恒成立，则3ab的取值集合为 答案32ab 解析 222 ( )4( )2232f xbf xbxxabx 1,1x 时3yxab夹在 22 3,3yxyx 之间， 发现折线顶点( , )a b只能处于(0, 2)，即0,2ab 所以32ab 课后练习 1.(2018年8月七彩阳光)已知 , a b为实数， 不等式 22 712xaxbxx 对一切实数x 都成立，则ab. 答案5ab 解析 1：(特殊秒杀)，显然 22 712xaxbxx ，可得 7,12ab ，则5ab 解析 2：(两边夹 1） 222222 71
13、2712712xaxbxxxxxaxbxxx 恒成立 令3x 与4x 得39ab 且416ab ，解得 7,12ab ，所以5ab 2（2008 广东 14 题）已知aR，若关于x的方程 2 1 0 4 xxaa 有实根，则a的 取值范围是. 答案 1 ,0 4 a 解析 2：(分离后两边夹）由方程 2 1 0 4 xxaa 变形得 2 1 4 aaxx 由函数性质可得 2 1 4 xx，由绝对值性质可得 111 444 aaaa （当且仅当 1 ,0 4 a 取等号） 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 7 由夹逼得 11 44 aa ，故 1 ,0 4 a
14、 . 3.若实数 , a b满足2lnln2 2 a bab，则ab 答案 3 2 ab 解析：变形后套用 ln10 xxx ，1 x ex两个公式 变形得lnlnlnln2 2 a abb， 所以ln1,ln221 22 aa bb，即lnln212122 22 aa abbb 而2lnln2 2 a bab，所以可得2lnln2 2 a bab，当且仅当1,21 2 a b取等号， 所以 1 2, 2 ab，则 3 2 ab 4.（2018.5 浙大附中模拟）设Ra，若0 x 时，恒有 2 (1)110axxax，则实 数a的取值范围是_ 答案12a 解析： 11 (1)()0aax xx
15、 即只需要0 x 时直线y a 夹在 11 ( )1, ( )f xg xx xx 之间 由图像可得，12a 5.已知二次函数 2 ( )f xaxbxc，对一切实数x，不等式 2 1 ( ) 2 x xf x 恒成立，且 (4)(2)f xfx ，求函数的解析式. 答案 2 111 ( ) 424 f xxx 解析：取1x ，构造两边夹不等式1 (1)1f ，得1abc 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 8 由 (4)(2)f xfx ，得对称轴1x 即1 2 b a , 由不等式 ( )f xx 恒成立，即 2 (1)0axbxc恒成立可得 由 22 (
16、1)40(41)0baca ,而 2 (41)0a 得 2 (41)0a即 1 4 a ，所以 11 24 bc，经检验满足题意 所以 2 111 ( ) 424 f xxx 6.已知 2 1 ( )= 4 f xaxbx， 若存在0,abR， 使对于任意的0,7x，( )2f x 恒成立， 则a的最大值是 答案 m 1 4 ax a 解析：(两边夹 1）进行变形 2 1 ( )222 4 f xaxbx ，由于0 x 恒成立，只需 要考虑 (0,7x 恒成立 此时又可变形 79 44 axb xx ，即yaxb夹在 79 , 44 yy xx (0,7x之间 考虑极端位置（求直线 BC 的情
17、况） 设 9 ( ,) 4 C t t ，由 22 999 444 yyk xxt 切 直线 BC 方程为 2 99 () 44 yxt tt ，又 1 (7,) 4 B，代入得 2 199 (7) 444 t tt 方程化简得 2 18630tt，求得3t ，所以 min 1 4 a 即 m 1 4 ax a 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 9 7： （2018.11 月杭州重点中学)已知函数 f xlnxaxb ,对于任意的 0,abR 都存 在 0 1,xm 使得 0 ()1f x 成立，则实数m的取值范围为 答案 2 1me 解析： （命题转换）
18、考虑其反面， 存在 0,abR 对任意的 0 1,xm 使得 0 ()1f x 成立， 求m 0 ()11ln1ln1f xxlnxaxaxbxb 即直线夹在y axb 夹在 ( ), ( )ln1ln1g xxxxh 之间 现求m趋向于最大的临界状态 yaxb 过 (1,1)B 且斜率为 0 的时候，此时 1y 与 l(1)ng xx 相交于点 2 (,1)C e,即存在0,abR对任意的 0 1,xm 使得 0 ()1f x 成立， 此时m范围为 2 1me 对于任意的 0,abR 都存在 0 1,xm 使得 0 ()1f x 成立，则实数m的取值范围为 2 me 8.若对任意的 1,1x
19、 ，恒有 3 4,xaxb a bR 成立，则当b取得最小值的时候，实 数a的值为 答案3a 解： 3 4xaxb 3 4axbxaxb 即 1,1x 时，曲线 3 4yx必须夹在两平行线 ,yaxb yaxb 之间，b取得最小值时， 两直线都须过曲线的一端点且与曲线相切， 此时 3 4yx，求导 2 12yx，设切点 3 00 ,4xx 1 3 2 0 0 0 44 12 1 l x kkx x 切线 332 000 4121240 xxx解得 0 1 2 x 此时 2 0 123ax 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 10 9.（2018 年 10 月温
20、州九校联考）若 2 32xxaa 对 1,1x 恒成立，则实数a的 取值为 答案 7 0 8 a 分析： 222 32232xxaaxxaax 即当 1,1x ，折线 3yxaa 图像夹在两抛物线 22 2,2yxyx 之间，画图得 两个极端位置， 3yxaa 过点( 1,1) 求得 0,a 过点(1,1)求得 0,a 当 2yxa 与抛物线 2 2yx 相切， 7 0 8 a 所以实数a的取值为 7 0 8 a 10. 若存在实数若存在实数a, ,对任意对任意(0,xm，不等式，不等式 2 1 (2)ln0 a xxa x 恒成立，则实恒成立，则实 数数m的取值范围是的取值范围是_ 答案 1
21、5 0, 2 m 解析：进行适当的变形 不等式 2 1 (2)ln0 a xxa x 恒成立，等价于不等式 2 (2)ln(1)ln 0 xxaax恒成立 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 11 等价于 2 (2)(1)0 xxaax恒成立，等价于 2 (2 )(1)0axxax 恒成立 等价于直线y a 夹在 2 2 ,1yxx yx 之间 因 2 2 ,1yxx yx 左边交点坐标为 3515 (,) 22 A 由图像可知，当 15 2 a 时，m有最大值， max 15 2 m 所以 15 0, 2 m 11.11. 函数函数 2 ,f xaxbxc
22、xR， ,0g xaxb a，当当11x 时时， 1f x ，且且 g x的最大值为的最大值为 2 2，则，则ab 答案2ab 解析：因为 g x的最大值为 2，所以2ab 由 0111fc ，由 111131fabcc ，可得1c 故题目变为 22 121 1022axa xaxa x 对11x 恒成立 此时注意到 2 22h xaxa xx axa，0 x 是一个零点 由于对11x ， 0h x ，故02a ，可得0b 所以2ab 12（2014 浙江高考压轴题）已知函数 ).(3 3 Raaxxxf （2）设 ,Rb 若 4 2 bxf对1 , 1x恒成立，求ba3的取值范围. 答案2,
23、0 解析： 233 ( )4( )2232f xbf xbxxabx 1,1x 时 3yxab 夹在 33 3,3yxyx 之间， 发现折线顶点( , ) a b处在两射线及两射线与 3 3yx 围成的区域内 由线性规划 32,0Zab 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 12 微专题 9零点相同处理恒成立 知识梳理 一、共零点法方法理论基础 我们定义：( )0f x 的解区间为( )f x正值区间，( )0f x 的解区间 为( )f x负值区间. （1）假设( )( )0f xg x对任意的x恒成立，说明( )f x与( )g x有相 同的正值区间，即他们
24、需要有共同的解区间端点，如果有零点，那么这两 个函数的零点必须是共有的. 如图：二次函数( )f x与( )g x具有相同的正值区间 12 (,)(,)xx，有 相同的负值区间 12 ( ,)x x，( )f x,( )g x具有相同零点 12 ,x x. （2）假设( )( )0f xg x对任意的x恒成立， 说明( )f x的正值区间是 ( )g x的负值区间或者( )f x的负值区间是( )g x的正值区间，如果有零点， 此时他们也需要有共同的解区间端点，那么这两个函数的零点也必须是共有 的. 如图：二次函数( )f x正值区间与( )g x负值区间均为 12 (,)(,)xx， 二次函
25、数( )f x负值区间与( )g x正值区间均为 12 ( ,)x x，( )f x,( )g x具有相 同零点 12 ,x x. 对于共零点问题，一般以下面几个类型来考查： 例题讲解 例 1 （2014 浙江高考）设, a bR，若0 x 时，恒有 4322 0(1)xxaxbx，则ab 答案1ab 解析 因0 x 不等式恒成立，不妨令1x ，得到0ab，则代入ab 得到 3 (1)()0 xxb 对任意的0 x 恒成立，设 3 ( )1, ( )f xxg xxb 可以知道 3 ( )1, ( )f xxg xxb两函数有共同的零点， 即(1)0g，计算11bab 点评本题解题的关键是找到
26、隐藏着的ab，的关系，通过因式分解，变为两函数乘积恒成立类型， 从而可以借助于共零点模型。 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 13 例 2（2019 浙江五校）若不等式sin 0 6 xabx 对 1,1x 上恒成立，则ab（） A 2 3 B 5 6 C1D2 答案 5 6 ab. 解析 如图，作出函数 sin 6 yx 在1,1x 上的图象，为使不等式 sin 0 6 xabx 对1,1x 上恒成立，当且仅当函数 yxab 的图象恰经过函数 sin 6 yx 的零点，则 由 sin0 6 yx ，得 12 15 , 66 xx ，所以 5 0 6 1 6
27、 ab ab ，所以 5 6 ab. 点评本题考察折线函数与正弦函数有共零点的问题，由正弦函数确定有两零点，从而根据共零点 模型，此两零点也是折线的零点，代入解方程便就得结论. 例 3:若对任意的 ( 1,)x 都有不等式 (ln( 1)0 x eaxb恒成立，则ab的取值范围 是. 答案1,)ab 解析由题意可得，函数,ln(1) x yea yxb有公共的零点，记为 00 1xx ， 可得 00 00 0 ln10ln1 xx eaae xbbx ， 0 00 ln11 x abexx ，设( )ln(1)(1) x f xexx 1 ( )(0)0 1 x fxef x ，且( )f x
28、在( 1,) 单调递增， 即当( 1,0)x 时，( )0f x ，当(0,)x时，( )0f x ， 可得 min ( )(0)1f xf，又当x 时，( )f x ，当1x 时，( )f x 所以( )1,)1,)f xab 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 14 点评 此题通过零点相同，把目标式表示为隐零点 0 x的函数式，再结合导数求函数的值域，从而求得 范围。 例 4:设函数 ( )lnf xx ，是否存在实数a，使得 2 0 2 ax ax ff ef xa 对任意正实数x恒成立？ 若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由. 答案 2
29、2 a 解析 1：隐零点与最值 2 ( )ln2lnlnln2 2 ax ax g xff efaxaaxxxa xa （其中0,0 xa）则 1 ( )ln2lng xaaaxa x ， 22 11 ( )0 aax gx xxx ( )g x 在0.（）单调递减， ( )0g x 在区间0.（）必存在实根，不妨设 0 ()0g x 即 00 0 1 ln2ln0gxaaaxa x ，变形得0 0 1 lnln21(*)xa ax ( )g x在 0 0,x（）单调递增，在 0, x （）单调递增，得 max0 ( )g xg x 代入可得 00 0 1 2g xax ax ，根据题意 00
30、 0 1 20g xax ax 恒成立， 由基本不等式可得，0 0 1 2ax ax ，可得0 0 1 2ax ax ，即 0 1ax ，所以 0 1 x a 再代入得 12 lnln2 2 aa a 解析 2：共零点思想 2 ( )ln2lnlnln2 2 ax ax g xff efaxaaxxxa xa (1)(ln2ln )0axax 对任意的正实数x恒成立，易知 1,ln2lnyaxyax 两零点必然相同 所以 12 lnln2 2 aa a . 点评 对于部分恒成立问题，如果能应用共零点思想解题，能启到对解题的简化作用。 相似题 相似题 1(2012 浙江高考)设aR， 若0 x
31、时均有 2 1110axxax()（）， 则a . . 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 15 答案 3 2 a 解析 若0 x 时均有 2 1110axxax()（），因 2 ( )1h xxax在(0,)有一零点 所以只需要 2 ( )11, ( )1g xaxh xxax()在(0,)具有相同零点且 10a ,( )11g xax()零点 1 1 x a ， 即 13 ()0 12 ha a 或0a （舍去）,综合可得 3 2 a 点评两个函数乘积恒大于 0（或小于 0），且在定义域有零点的，则这两个函数在定义域内有相同 的零点. .相似题 2 （20
32、19.11 义乌模拟）已知 2 ( )(|1) ln |f xxaxa，满足( )0f x 在定义域上恒 成立，则a的值为. 答案0a . 解析 因为( )ln|g xxa有两个变号零点1,1aa ， 所以 2 ( ) |1h xxa也有共同的变号零点， 故 2 2 |1|10 |1|10 aa aa ，得0a .相似题 3 若不等式 2 (3)0axxb对任意的0,x恒成立，则（） A 2 9ab B 2 9a b ， 0a C 2 9baD 2 9ba， 0a 答案B 解析由于x 时， 2 xb，而不等式 2 (3)0axxb对任意的0,x恒成立 所以,3axx，即0a ， 可知 2 (
33、)3, ( )f xaxg xxb在0,x具有相同零点 3 x a 代入可得 2 2 9 09ba b a ，故选 B. 点评先x 取值情况分析出0a ，再由共零点的问题有公共零点，代入解方程便就得结论. 相似题 4 ：已知当xR时，均有不等式 20 xx a eaex成立，求实数a的取值范围. 答案. 2 1 2aae e 或 解析 1：分参两边夹 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 16 条件 2 200 xx xx x a eaexaa ee 即对相同的x， 2 ( ), ( ) xx x f xg x ee 位于直线ya的同侧， 由图像可得， 2 1
34、2aae e 或 解析 2：共零点法 当0a 时，不合题意舍去， 当0a 时，由于( )20 x f xa e无零点，所以只需要( )0 x g xaex成立， 即 x x a e 恒成立，又 min 1 () x x ee ，可得 1 a e ， 当0a 时，由于( )2 x f xa e有零点 2 lnx a ，所以 2 lnx a 也是( ) x g xaex的零点 代入得 2 2 2ln02ae a ，综上可得： 2 1 2aae e 或 点评：共零点1x 只是为 2 ( )g xxaxb当0 x 时的零点，具体在解题时，还需分析 2 ( )g xxaxb在 R 上零点的分析情况，从而
35、根据实根分布情况，列出条件. 课后练习 1若0) 13ln()(1( 2 axxaxx在R上始终成立，则a的值为（） A.0B1C2D3 答案 C. 解析：令)()() 13ln()(1()( 2 xgxfaxxaxxxh，由解析 1 可得 4 5 a，此时)(xf有 两个零点，要使得0)(xh恒成立，即)(xf与)(xg同号，而 )(xf可取正也可取负，要使得)(xf与)(xg取值的正负情况完 全相同， 则)(xf与)(xg必定零点个数相同且取到的零点完全一 样。即0)(xg，即 113 2 axx 的两根也为a与1，解得 2a. 2已知函数( )(21)(1)f xxaln xa的定义域为
36、(1,)a ，若( )0f x 恒成立，则 a的值为 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 17 答案 1 3 a . 解析：令1xat ，则(0,)t，题转变为(231)ln0tat在(0,)t恒成立， 可知231,lnytayt在(0,)t具有相同零点1t ，得 1 1 30 3 aa 3设0a ，若任意0 x 时有 2 ()0 xaxbxa（）恒成立，则 a b 的取值范围 答案 ：(, 1)(0,) 1 3 a . 解析：只需要 2 ( ), ( )g xxa h xxbxa在(0,)具有相同零点a, 即 2 01aababa ， 所以(, 1)(0,)
37、 1 aa ba 4 （2019 鄞州期中）不等式 22 (| 1)(12 )0 xaxaxaa 对任意x R 恒成立，则 a 答案：1a . 解析：由题意不等式 22 (| 1)(12 )0 xaxaxaa ，等价于 22 ( ) | 1, ( )12f xxaxag xxaa 在R上有两个相同的零点， 又 22 ( )12g xxaa 的零点为1,1aa ，可得 (1)0 (1)0 f a fa ，解得1a 5设, a bZ，若对任意0 x ，都有 2 (2)20axxb，则a ，b . 答案：1a ，2b . 解析：因为对任意0 x ，函数 2 (2)20yaxxb，所以0a ，0b .
38、 函数 2 (2)20yaxxb的零点是 1 2 0 x a ， 2 2xb， 3 2xb ， 因当0 x 时函数图象有两个零点，又不等式恒成立，所以 1 2 x a 与 3 2xb 是相同零点， 所以 2 2b a ，即 2 2a b .又 , a bZ，所以1a ，2b . 6已知函数 2 ( ) x f xxaxbee，, a bR，当0 x 时， 0fx ，则实数a的取值范围 为（） A20a B20a C1a D01a 答案.C 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 18 解析 1: 由于 x yee与 1yx 在 (0,)x上具有相同的正负区间。故命
39、题等价于 2 10 xaxbx在(0,)x恒成立，由共零点性 得101abba ， 此时不等式转变为 2 110 xax在 (0,)x恒成立 由图像可得，只需要101aa ，故选 C. 解析 2: 因( ) x h xee在定义域上有一个零点为1x ，所以 2 ( )g xxaxb的0 x 时也只有一个零点， 分析函数 2 ( )g xxaxb图像可得， 2 ( )g xxaxb 在 R 上有一正与一非正两个零点， 由方程实根分布可得， 10 0 ab b ，解得1a , 故选 C. 7.（2020 山东模拟）若关于x的不等式(2)()0axlnxax在(0,)上恒成立，则实数a的 取值范围是
40、. 答案. 2 1 (,2e e 解析: 令( )2f xax，( )g xlnxax， （1）当0a 时，( )20f x ，而( )0g xlnx在(0,)上不恒成立，故0a ， （2）当0a 时，( )f x为增函数，且经过点(0, 2)，令( )0f x 可得零点 2 x a ， 1 ( )0g xa x ，故( )g x在(0,)上单调递增，由题可得， 2 x a 也是( )g x的零点， 得 22 ( )20gln aa ，解得 2 2ae （3）当0a 时，( )2f xax为减函数，故( )0f x 在(0,)恒成立， 故只需( ) 0g x 在(0,)上恒成立即可 令 1 (
41、 )0g xa x 可得 1 x a ，当 1 0 x a 时，( )0g x，当 1 x a 时，( )0g x， ( )g x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 ( a ，)上单调递减， 故( )g x在 1 x a 处取得最大值 11 ()()1gln aa ，令 1 ()10ln a ，解得 1 a e 综上，a的取值范围是 2 1 (,2e e 8. （2017 杭州期末） 已知不等式(2)()0axln xa对(,)xa 恒成立， 则a的值为 答案.1 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 19 解析: 由于单调函数 ()yln xa 在 (,
42、)xa 有零点 1xa ，所以 1xa 也是函数 2yax 在 (,)xa 的唯一零点，代入可得 2 20aa ，解得 2a 或 1a ， 当 2a 时，两函数具有相同的正负值区间，得( 2)()0axln xa ，不合题意舍去， 当 1a 时，满足题意，所以 1a . 9.（2020 杭州期末）若不等式 2 (|)(2)0 xabxx对任意实数x恒成立，则(ab) A1B0C1D2 答案.D 解析: 二次函数 2 2yxx 开口向下，在R上有两个零点0,2，因 2 (|)(2)0 xabxx 恒成立， 所以0,2也是 |yxab 的两个零点，可得可得|0 |0ab 且|2 |0ab ， 解得
43、 1ab ，所以 2ab . 10. （2020 嘉兴期末） 若不等式(|)cos()0 23 xabx 对 13x ，恒成立， 则(ab) A 1 3 B 2 3 C 5 6 D 7 3 答案.A 解 析 :因( )cos() 23 g xx 在 13x ，有 两 个 变 号 零 点 1 3 3 7 ， 由 题 意 可 得 1 3 3 7 ，也 为 ( ) |f xxab 的两个变号零点，所以可得 1 ( )0 3 f且 7 ( )0 3 f，代入后解得 4 1 3 ab，可得 1 3 ab，选 A. 11 （2020 江苏模拟）对任意的(0,)x，不等式 2 ()( 210)0 x xal
44、nxax a 恒成立，则 实数a的取值范围是 答案.10a 解析:由定义域易得0a ，函数( ) x f xxaln a 为增函数，且( )0f a ， 所以( ) x f xxaln a 与( )h xxa符号相同，即命题等价于 2 ()( 210)0 xaxax恒成立， 因( ) h xxa 在 (0,)x的唯一变号零点为xa ， 所以x a 也为 2 ( )210g xxax 在(0,)x的唯一变号零点， 即 2 ( )10010g aaa （负值舍去） ，所以10a . 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 20 12.（2020 浙江期末）设0a ，若
45、关于x的不等式 2 (4)(2 )0 xa xb对任意的( , )xa b恒 成立，则ba的最大值为_. . 答案. 1 4 解析:不等式 2 (4)(2 )0 xa xb等价于： 2 40 20 xa xb 或 2 40 20 xa xb 若不等式 2 (4)(2 )0 xa xb对任意的( , )xa b恒成立，则不等式的解集必须包含( , ) a b. 2 40 22 20 2 aa xaxx xb xb 或 当0b 时，的解不包含 0，而( , )a b中有 0，与题意不符； 当0b 时，的解为 2 a x 且2xb ，不包含( , ) a b，与题意不符. 2 40 22 20 2
46、aa xax xb xb 若不等式的解集包含( , ) a b，必须 2 2 2 a a a b bb 即 1 4 0 a b 所以，当 1 ,0 4 ab 时，ba有最大值 1 4 . 补充习题： 15（2014 湖州期末） 若函数 221 ( )221 x f xxa xa 的定义域和值域都是0,)， 则实数a 1a 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 21 微专题 38最小角定理与最大角定理的应用 知识梳理 一、最小角定理 1、直线与平面成的角： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做这条斜线和平面所成的角. 为什么要这样定义？因为线面角的定义是为
47、了反映直线相对于平面的倾斜程度的，而任何一条 直线和平面内的所有直线所成的角的最大值都是， 而最小值可以反映直线的倾斜程度. 由此也可 以引出下面的最小角定理. 2、最小角定理 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，是它和平面内所有直线所成的角中最小的 角. 证明：如图，是平面的一条斜线，点在平面内的射影是点，直线是平面内除以 外的的任意一条直线. 作于点，则 . （即三余弦定理：水平角竖直角斜角） 从而，. 得证. 故三余弦定理可以直接推出最小角定理. 二、最大角定理 1、二面角的大小的定义 先直观的感受一下如下几个二面角的大小关系： 二面角大小的定义： 在二面角的棱上任取一点， 分
48、别在半平面内作 垂直 ，则叫做二面角的平面角，的度数就是二面角的度数. 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 22 为什么这样定义二面角的大小？ 因为是半平面内的所有直线与另一个半平面所成角的最大值. （对于任意给定一个 二面角，此最小值均为 0） 先发挥一下空间想象力， 以为圆心， 定长 为半径， 在内作半圆， 设半圆弧的中点为， 点是半圆上一动点， 它在内的射影点为. 则当点从点移动到点的过程中， 点的高度越 来越高；点从点移动到点的过程中，点的高度越来越低. 从而当点在点处时，即 时，与成的角 的正弦值最大，从而角 最大. 2、最大角定理 如图，是二面角的
49、平面角，且，是 上异于点的任一点，则 . 证明：， （即三正弦定理：线线角面面角线面角）. 从而 得证. 例题讲解 例 1（最大角定理应用，2014 年浙江省理科第 15 题） 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为， 某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角 的大小. 若，则的最大值是.（仰角 为直线 与平面所成角） 答案： 解法一： （解三角形，化为函数求最值） 过作，交于，连接，则. 设. 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 23 若在线段上，则. 由，得， 在直角中， ， 令，则函
50、数在单调递减， 时，取得最大值为 若在的延长线上，则， 在直角中， ， 设，则求导可得，当时，函数取得最大值. 故答案为：. 解法二： （最大角定理） 如下图，不妨取平面，再过作于点，连，可得. 故为二面角的平面角. 由最大角定理可知： 与平面所成角的最大值即为二面角的大小. 因为且垂直墙面， 所以由勾股定理得. 易得. 所以， ，即的最大值为. 中学数学星空，666 微专题联合出品2022 版微专题 52 讲试读 24 点评：的最大仰角， 即为与平面所成角的最大值. 因为点在射线上移动， 则是 平面内的一条动直线，由最大角定理，与平面所成角的最大值，即为二面解 的大小，问题转化为求二面角的正
