1、1 圆锥曲线极坐标方程的应用 蔡玉书 （江苏省苏州市第一中学，215006） 中图分类号：0123.1文献标识码：A文章编号：1005-6416(2015)12-0006-04 知识介绍 (1)以圆锥曲线的焦点F(椭圆是左焦点、 双曲线是右焦点)为极点， 对称轴(椭圆是长轴， 双曲线是实轴)为极轴，离心率为e，焦点到相应准线的距离为p则该圆锥曲线的极坐标 方程为 1cos ep e ，椭圆(双曲线)的极坐标方程均可写为 2 . cos b ac (2)以原点为极点： (i)椭圆 22 22 1 xy ab 的极坐标方程为 22 2 2222 cossin a b ba ； (ii)双曲线 22
2、 22 1 xy ab 的极坐标方程为 22 2 2222 cossin a b ba ； (iii)抛物线 2 2ypx的极坐标方程为 2 sin2 cos .p 2例题选讲 例 1：设椭圆的两个焦点为 1 F、 2 F，过点 1 F的直线与椭圆交于点P、Q若 212 | |PFFF，且 12 3| 4|PFQF，则椭圆的短轴与长轴的比值为_1 (2014，全国高中数学联合竞赛) 解：根据椭圆的第一定义知 12 | 2 .PFPFa 由题意 212 | | 2PFFFc，故 1 | 22 .PFac 设 12 .PFF 于是， 椭圆的极坐标方程可写为 . 1cos ep e 2 则 1 |
3、1cos ep PF e ， 2 |. 1cos()1cos epep QF ee 由 12 3| 4|PFQF，得 34 1cos1cos epep ee 1 cos 7 e 因为 212 | |PFFF，所以， 112 | 2|cosPFFF 224 cosacc 2 cosacc 12 cos .ee 由式、得 5 7 e 故椭圆的短轴与长轴的比值为 2 22 6 1 27 bb e aa 例 2：设F为抛物线 2 4yx的焦点，A、B为抛物线上异于原点O的两点，且满足 0FA FB 延长AF、BF，分别与抛物线交于点C、D求四边形ABCD面积的最小 值 解：以焦点F为极点、对称轴Fx为
4、极轴建立极坐标系由于焦点到相应准线的距离 为 2刚该圆锥曲线的极坐标方程为 2 . 1cos 设AFx 由对称性，不妨设0 2 则 22 |,|. 1cos1cos FAFC 故| |ACFAFC 3 2 224 . 1cos1cossin 由0FA FB ，从而，FAFB 将换成 2 得 2 2 44 |. cos sin 2 BD 故 1 | 2 ABCD SACBD 四边形 222 832 32. sincossin 2 当且仅当 4 时，上式等号成立 故四边形ABCD面积的最小值为 32 例 3：在周长为定值的ABC中，已知6AB ，且当顶点C位于定点P时，cosC有 最小值 7 25
5、 （1）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程； （2）过点A作直线与（1）中的曲线交于M、N两点，求|BMBN 的最小值的集 合 解： （1）以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系 设| 2 (3)CACBa a为定值则点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆 故焦距2| 6.cAB 注意到， 222 | cos 2| CACBAB C CA CB 22 (|)2| 2| CACBCA CBAB CA CB 2 218 1. | a CA CB 又 2 2 | | 2 CACB CA CBa ，故 4 2 18 cos1.C a 由题意得 2 2 187 125. 25 a a
6、 此时，| |, (0, 4)PAPB P 因此，点C的轨迹方程为 22 1(0). 2516 xy y （2）再以A为极点、Ax为极轴建立极坐标系，则椭圆 22 1(0) 2516 xy y的极坐标方 程为 16 (0,). 53cos 且 设直线MN的倾斜角为则 1616 |,|. 53cos53cos AMBM 由椭圆定义得 | (10 |)(10 |)BMBNAMBM 16161616 10010 53cos53cos53cos53cos 2 16 84 100. 259cos 若无条件限制，当 2 cos1时，|BMBN 取得最小值 16 但0，从而，这样的M、N不存在，即|BMBN
7、 的最小值的集合为空集 例 4：如图 1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1( ,0)Fc、 2( ,0) F c设A、B为椭圆上位于x轴上方的两点， 1 AF 221 ,BF AFBF与交于点P证明： 12 PFPF为定值 （改编自 2012 年高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） （数学） ） 证明：以 1 F为极点、 1 F x为极轴建立极坐标系则椭圆 5 的极坐标方程为 22 ,. 1cos epcab epc eacc 故 2 cos b ac 设 1 AF x则 22 12 , coscos bb AFBF
8、 acac 22 12 coscos bb AFBF acac 2 222 2 , cos ab ac 4 12 222 . cos b AF BF ac 由椭圆定义得 1212 2 ,2 .AFAFa BFBFa 因为 1 AF 2 BF，所以， 112 222 2AFaAFPFAP BFPFPF 112 2 12 2aAFAF BF PF AFBF 类似地， 212 1 12 2aBFAF BF PF AFBF 故 12 12 12 2 2 AF BF PFPFa AFBF 4 2 222 2 222 2 cos 22 2 cos b b ac aa aba ac 22 ac a （定值）
9、 例 5： 已知椭圆 22 1 43 xy 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 1 F、 2 F 求 该平行四边形面积的最大值 解：研究一般的椭圆： 6 22 22 1(0). xy ab ab 以 1 F为极点、 1 F x为极轴建立极坐标系 则椭圆方程化为 2 . 1coscos epb eac 则过点 1 F的弦长为 222 222 2 . coscoscos bbab AB acacac 故ABCD的面积为 12sin SAB FF 22 2222 2 4sin4 . cos sin sin ab cab c bac c 令 2 2 ( )sin0 sin2 b fc 则 2
10、2 ( )( )(01) b fg tc tt t 而 2 2 ( )(0) b g tc tt t 在区间0, b c 上单调递减，在区间, b c 上单调递增，故 （1）1 b c ，即2bab时，( )g t在区间(0,1上单调递减则( )g t的最小值为 222 (1).gbca 此时，S取最大值 2222 44 . b cbab aa （2）当1 b c ，即2ab时，( )g t在区间0, b c 上单调递减，在区间,1 b c 上单调递 增，则( )g t的最小值为2. b gbc c 此时，S取最大值 2 4 2. 2 ab c ab bc 7 综上，当2bab时，S取最大值
11、222 4bab a ； 当2ab时，S取最大值2.ab 对于本题，2,3,1,abcS取最大值 6 例 6：过椭圆 22 1 32 xy 的右焦点F作两条垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点 分别为M、N （1）证明：直线MN必过定点，并求出此定点； （2）若弦的斜率均存在，求FMN面积的最大值 下面研究一般的问题： 过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点F作两条垂直的弦AB、CD，设AB、CD的 中点分别为M、N （1）证明：直线MN必过定点，并求出此定点； （2）若弦的斜率均存在，求FMN面积的最大值 （1）证明：以F为极点、Fx为极轴建立极坐标系 则椭圆方程为. 1
12、cos ep e 设点 11 (, ), 1cos ep A e 22 (,), 1cos ep B e 33 (,), 21sin ep C e 44 3 (,), 21sin ep D 则点 3412 , 222 MN ，即 22 2222 cossin ,. 1cos1sin2 e pe p MN ee 8 记 22 56 2222 cossin ,. 1cos1sin e pe p ee 故 56 cossin 22222 222 1cos1sin2 . eee e pe pe p 设MN上任意一点P的极坐标为( , ) 则由直线两点式极坐标方程得 56 sin sin 2sin()
13、2 . 令，得 56 cossin1 . 对照式、得时， 2 2 2 e p e ，即点 2 2 , 2 e p e 在直线MN上 注意到， 2 2 . 1 e p c e 回到平面直角坐标系， 直线MN经过定点 22 22 ,0 12 e pe p ee ， 即 2 22 ,0 (1)(2) e p ee 对于例 6， 2 2 1 ,2 3 b ep c ，直线MN经过定点 3 ,0 5 （2）解：记S为PMN的面积 则 56 1 | 2 S 42 2222 1sincos 2 (1sin)(1cos) e p ee 4242 4242 22 1sin2sin2 44(1)sin 2 1si
14、n 2 4 e pe p eee e 42 2 4 . 4(1) sin2 sin2 e p e e 9 （i）当 2 4 4(1) 1 e e ，即 2 2( 21)1e时，由基本不等式得 4222 22 4 . 4(1)4 1 2sin2 sin2 e pe p S ee e （ii）当 2 4 4(1) 1 e e ，即 2 02( 21)e时， 2 4 4(1)e e t t 在区间(0,1上单调递减， 故 4242 4222 . 4(1)(2) e pe p S eee 对于例 6， 2 2 1 ,2 3 b ep c ，面积的最大值为 4 . 25 参考文献： 1 2014 全国高中数学联合竞赛J中等数学，2014(11)
