1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1 卷）文 一、选择题：每小题5 分,共 60分 1、已知集合Ax x3n2,nN, B6,8,10,12,14，则集合AB中的元素个数为 （ A） 5（ B）4（C）3（D）2 2、已知点A(0,1),B(3,2) ，向量 AC( 4, 3)，则向量BC （ A）( 7, 4)（B）(7,4)（C）( 1,4)（ D）(1,4) 3、已知复数z满足(z1)i1i，则z（） （A）2i（ B）2i（C）2i（D）2i 4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任 取 3 个不同的数，则
2、这3个数构成一组勾股数的概率为（） （ A） 3 10 （B） 1 5 （C） 1 10 （D） 1 20 5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ， E的右焦点与抛物线 2 C:y8x的焦点重合，A,B是 C 的准线与E 的两个交点，则AB （ A）3（B）6（C）9（D）12 6、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思 为： “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆 底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多 少？ ”已知 1 斛米的体积约为1.62
3、立方尺，圆周率约为3，估算出堆放 的米约有（） （ A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛 7、已知an 是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10（） （ A） 17 2 （B） 19 2 （C）10（D）12 8、函数f (x)cos( x)的部分图像如图所示，则f (x)的单调递减区间为（） （ A） 13 (k,k),kZ 44 （ B） 13 (2k,2k),kZ 44 （ C） 13 (k,k),kZ 44 （ D） 13 (2k,2k),kZ 44 9、执行右面的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n （ ） （ A）5（B）6（C）7（D
4、）8 10、已知函数f (x) xx 1 22,1 log (x1),x1 2 ， 且f (a)3，则f (6a) （A） 7 4 （B）5 4 （C） 3 4 （D） 1 4 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和 俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r() （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 x a 12、设函数yf (x)的图像与y2的图像关于直线yx对称，且 f( 2)f ( 4)1，则a() （A）1（B）1（C）2（D）4 二、填空题：本大题共4 小题 ,每小题 5 分 13、数列an 中 a12,an 12a
5、n,Sn为an的前 n 项和，若 Sn126，则n. 14.已知函数 31 fxaxx的图像在点1, f 1的处的切线过点2,7，则a. xy20 x2y10 15. 若 x,y 满足约束条件,则 z=3x+y的最大值为 2xy20 16.已知F是双曲线 2 y 2 C : x1的右焦点， P 是 C 左支上一点，A 0,66，当APF周长最小时， 8 该三角形的面积为 三、解答题 17. （本小题满分12 分）已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边， 2 sin B2sin AsinC. （I）若ab，求cosB; （II）若B90，且a2,求ABC的面积 . 18. （本小题满分1
6、2 分）如图四边形ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点，BE平面 ABCD， （I）证明：平面AEC平面BED； （II）若ABC120，AEEC,三棱锥EACD的体积为 6 3 ，求该三棱锥的侧面积. 19. （本小题满分12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位： 千元） 对年销售量y （单位：t）和年利润z （单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 x和年销售量yii1,2,8 i 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. （I）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方 程类型（给出
7、判断即可，不必说明理由）； （II）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立y关于 x 的回归方程； （III）已知这种产品的年利润z与 x，y 的关系为z0.2yx，根据（ II）的结果回答下列问题： （i）当年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 20. （本小题满分12 分）已知过点A 0,1且斜率为k 的直线 l 与圆 C： 22 x2y31交于 M，N 两点. （I）求 k的取值范围； （II）若OM ON12，其中O 为坐标原点，求MN. 21. （本小题满分12 分）设函数 2xln f xeax. （I）讨论f
8、x的导函数fx的零点的个数； （II）证明：当a0时fx2aaln 2 a . 请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做 ,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22. （本小题满分10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图 AB是O 直径， AC 是O切线， BC 交O与点 E. （I）若 D为 AC 中点，证明：DE 是O切线； （II）若OA3CE ，求 ACB的大小 . 23. （本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 C1:x2，圆 22 C2: x1y21，以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系. （I）求C1,C2
9、的极坐标方程 . （II）若直线 C 的极坐标方程为 3 4 R ，设C2,C3的交点为 M ,N，求C2MN 的面积. 24. （本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f xx 12 xa ,a0. （I）当a1时求不等式f x1的解集； （II）若fx 的图像与 x轴围成的三角形面积大于6，求 a的取值范围 . 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1 卷）文 答案 一、选择题 （1）D（2）A（3）C（4）C（5）B（6）B （7）B（8）D（9）C（10）A（11）B（12） C 二、填空题 （13）6（14）1（15）4（16）12 6 三、解答题 17、
10、解： （I）由题设及正弦定理可得 2 b=2ac. 又 a=b，可得 cosB= 222 acb 2ac = 1 4 6 分 （II）由（ I）知 2 b=2ac. 因为B= o 90，由勾股定理得 222 ac =b. 故 22 ac =2ac，的 c=a=2. 所以 ABC 的面积为 1.12 分 18、解： （I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以ACBD. 因为BE平面 ABCD,所以 ACBE,故 AC平面 BED. 又 AC平面 AEC,所以平面 AEC平面 BED.5分 o （II）设AB=x，在菱形ABCD 中，又 ABC= 120，可得 AG=GC= 3 2 x x，GB=G
11、D= 2 . 因为AEEC,所以在 RtAEC 中，可的EG= 3 2 x. 由 BE平面 ABCD,知 EBG 为直角三角形，可得BE= 2 2 x. 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积 VE ACD= 1 3 1 2 AC GD BE= 66 3 x. 243 故x=2 9 分 从而可得AE=EC=ED=6. 所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为 3+25.12 分 19、解： （I）由散点图可以判断，y=c+dx适宜作为 年销售量 y关于年宣传 费x的回归方程式类型 . （II）令wx，先建立y 关于 w 的线性回归方程式
12、.由于 8 (ww)(yy) ii 108.8 i 1 d=68 8 1.6 2 (ww) i i 1 , cydw563686.8100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y=100.668w,因此 y 关于 x 的回归方程为 y100.6 68 x （）（i）由（ II）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值 y100.668 49=576.6， 年利润z 的预报值 z=576.60.24966.329 分 （ii）根据（ II）的结果知，年利润z的预报值 z=0.2(100.6+68x)-x=-x13.6 x20.12. 所以当 13.6 x ，即x=46.24 时 ，z取得最
13、大值. =6.8 2 故年宣传费为46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分 20、解： （I）由题设 ， 可 知 直 线l的方程为ykx1. 因为l与 C交于两点，所以 2k3 1 1 2 k 1 . 解得4747 k. 33 所以 k的取值范围为(47 ,47) 33 .5 分 （II）设M x1,y1,N(x2,y2). 将ykx1代入方程 22 (x2)(y3)1，整理得 22 (1 k )x4(1 k)x70. 所以 4(1k)7 xx,x x 122122 1 k1k . OM ONc xy y 1212 2 1 kxxk xx1 1212 4k 1k 2 1k 8 . 由题
14、设 可 得 4k 1k 2 1k 8=12，解得k=1，所以l的方程是y=x+1. 故圆心C在l 上，所以MN2.12 分 21、解： 2 xa （I）fx的定义域为0, fx2e(x 0) x . 当a 0时， fx 0，fx 没有零点； 2x 当a 0时，因为e单调递增， a x 单调递 减 ， 所 以fx 在 0,单调递增，又fa 0， 当 b 满足 0b a 4 且 b 1 4 时，f (b) 0，故当a0 时 fx 存在唯一零点 . 6 分 （II）由（ I），可设fx 在 0,的唯一零点为 x ，当 x0，x0时，fx0； 0 当 xx，时 ， fx 0. 0 故 fx 在 0，单
15、调递减， 在x，单调递增， 所以xx0 时，f x 取得最小值， 最小值为 f x0. 0 2 xaa22 由于2e 00fx2axa1n2aa1n ，所以00 x2xaa 00 . 故当a 0时，fx2aa1n 2 a .12 分 22、解： （I）连接 AE，由已知得， AEBC,ACAB. 在 RtAEC 中，由已知得，DE=DC 故, DEC=DCE. 连结OE，则 OBE=OEB. ooo 又 OED+ABC= 90，所以 DEC+OEB=90，故 OED=90，DE 是O 的切线. 5 分 （II）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2 3，BE= 2 12x.由射影定理可得， 2
16、 AECE BE， 所以2122 xx ，即 42120 o xx.可得x3，所以 ACB=60 . 10 分 23、解： （I）因为xcos ,ysin，所以 C的极坐标方程为cos2， 1 C的极坐标方程为 2 22cos4 sin40.5 分 （II）将 4 代入 22 cos4 sin40，得23 240，解得 12 2,22.故122，即MN2 由于 1 C的半径为1，所以C2MN的面积为 2 2 .10 分 24、解： （I）当a1时，f x1化为x12 x 110. 当x1时，不等式化为x40，无解； 当1 x1时，不等式化为3x20，解得 2 3 ； x 1 当x1，不等式化为-x+20，解得 1x2. 2 所以 fx1 的解集为 xx.5 分 2 3 xa x 12 ,1 （II）由题设 可 得 ，fx3x1 2a, 1xa, xa xa 12 ,. 所以函数 fx 的图像与 x轴围成的三角形的三个丁点分别为 2a12 A,0 ,B 2a1,0 ,C a,a1,ABC 的面积为 33 2 a1. 由题设得 2 3 2 a1 6，故a 2. 所以a的取值范围为 2，. 10 分
