1、1 当当3n时，在时，在闭区间闭区间2, 1 nnnn pppA内至少有内至少有2)( n p对孪生素数对孪生素数. 孪生素数对无穷孪生素数对无穷 张 忠 （江苏省 南通市 邮政编码 226000 原南通轴瓦厂退休职工教师） 摘要该文依据同余理论和筛法， 针对在模 nn ppp 21 内的不小于 n p的形如1 n x的孪生素 数生成的充要条件： 2 1 11 nn px且1 n x, ., 2 , 1,mod0）（nipi采用堆垒筛法 n i in sS 1 1 1 找出了关于模: n 联立二次不同余式 n x）（., 2 , 1,mod1nipi的最小正解系 n X中 n x的分布规律，
2、从而用数学归纳法证明了: 当3n时，在闭区间2, 1 nnnn pppA内至少有2)( n p对孪生素数. 即证明了孪生素数对无穷. 关键词模，素数，基数，密度，堆垒筛法，联立不同余式. 中图分类号0156 一. 名词、代(符)号及相关定义的说明： 1. 文中未作特别声明的小写字母均表整数. 2. 21nn ppp.2 32nnn ppp 3.)(a表a的欧拉函数. 4.)( k p表 k p的忠言函数忠言函数（此为作者命名） ，并约定:，1)2()( 1 p而当2k时: ，2)( kk pp且约定:).()()()()( 321kk pppp 5. n X表集合 n X的基数，即集合 n X
3、中不同元素的个数. 6. n 表模 n 的最小正简化剩余系： .1),( |1 nnnnn . 1)(,2 1)(,3,2, 1 1 1 nnnnnnnnnnn p （注:,3,2,1 nnn ,1)(),(, nnnn 表模 n 的由小到大排列的最小正简化剩余数列.） 7.1 k v表从小到大的正孪生素数对中的第k对孪生素数. 8.为同余符号. 如ba ，)(mod k p表关于模 k p : a与b同余. 9.为不同余符号. 如a)(mod k pb表关于模 k p : a与b不同余. 2 定义一. 定义x.)0,(mod kkkk prpr为关于模 k p的一次不同余式，x表关于模 k
4、p与 k r不同 余的)( k p类数. 而用于求关于模 k p一次不同余式x），（.0mod kkkk prpr解系的图称为模 k p 对 k r的一次筛，记作. kk rs例: 图一为 1 1 s的筛图，其解系为.2 1 X 图一 1 1 s: （注图中列内含红色格的整数均为被 1 1 s筛除掉的数） 定义二. 定义x)(mod1 k p为关于模 k p的一种二次不同余式， 用于求其解系的图称为关于模 k p对剩余为1类数的二次筛，记作.1 k s所有 k p的倍数 k ap均称为 1 k s的筛芯，1 k ap则称为 1 k s的两个筛孔，表被 1 k s筛掉的两个数. 例: 1 4 s
5、表不同余式x).(mod1 4 p其筛芯为7 4 p的所有倍数.)(7 Zaa.其最小正解系为: ).(mod.3, 2, 0.75432 4 pX，X的基数, 2)( kk ppX图二为 1 4 s筛图: 图二 1 4 s筛图 （注：图中凡是列内含红色格点的整数，均表被 1 k s筛除掉的数.下同.） 定义三. 定义 n x.), 2 , 1,(mod1nipi为关于模 n 的联立二次不同余式，其关于模 n 的最小 正解系记作. n X n X的基数),()()()( 21nnn pppX而求 n X的图解法称为堆垒筛法，记 作.2 1 1 1 21 nn sssS并称1 n x为模 n 的
6、孪生简化剩余. 例: 下图图三为关于模: 2 2 x）（. 2 , 1,mod1ipi的二次筛 1 1 1S 212 ss的筛图. 图三 1 1 1S 212 ss的筛图 定义四. 若a含素因数, lkj ppp且, lkj ppp则定义仅只有筛芯最小的素因数 j p的 1 j s实筛，1a而其它,1 k s 1 l s等诸筛皆因与 1 j s重合而均为虚筛. 定义五. 定义模 k 中 k x的个数)( k 与 k 之比 kk )(为 k x在内 k 的平均密度为.)( kk 定义六. 定义闭区间 k A内 k x的个数与 k A内连续整数个数之比为 k x在 k A内 k 的密度. 3 定义
7、七. 定义在 k 个连续整数中参于实筛的 1 k s的筛芯个数)(2 1kk p与 1 k s的筛芯总数 1k 之比： 11) (2 kkk p为在 k 内 1 k s筛的平均实筛率. 定义八. 定义在闭区间 k A内 k 参于实筛的 1 k s的筛芯个数与 k A内 1 k s的筛芯总数 1k 之比： 为 1 k s在 k A内的实筛率. 该文的一个重要约定重要约定: 因在最小的连续2 1 nn pp个正整数2, 1 1 nn pp中，为防止 1 n s误筛 可能是孪生素数对的， 1 , nn pp故该文约定凡筛芯位于凡筛芯位于 n p的的 1 n s只能虚筛而不能实筛只能虚筛而不能实筛.
8、素数及孪生素数成因的素数及孪生素数成因的分析分析： 由素数的判别法知: 若整数 2 1 1 kk pb且 k b，kipi）（., 2 , 1,mod0则 n b的为素数. 且：若模若模 k 的简化剩余数列中的第的简化剩余数列中的第e项项: 2 1 1 kk pe，则，则Ppe ekk )1( . 同理：对于相差为2的两个整数1 n x，若若 2 1 11 kk px且且1 k x）（., 2 , 1,mod0kipi则则： 1 k x是一对是一对孪生素数孪生素数. 故知要找出孪生素数分布规律，关键是要先要找出关于模： k 在联立二次不 同余式 k x）（., 2 , 1,mod1kipi的最
9、小正解系 k X中的 k x在模 k 内的分布规律. 以下用数学归纳法证明. 命题命题: 当当3n时，在时，在闭区间闭区间2, 1 nnnn pppA内至少有内至少有2)( n p对孪生素数对孪生素数. 即即: 当当3n时时， 在在闭区间闭区间2, 1 nnnn pppA内至少有内至少有2)( n p个个 n x., 2, 1,mod1）（nipi 证： . . 当3n时，由已知最小的两个素数知：, 2 1 p, 3 2 p. 6 212 pp易知模 2 的最小正 简化剩余系为: 222 |).(mod. 5, 1|. 2, 1,mod0 222 ）（ipi 由素数判别法知：凡大于1小于.25
10、 2 3 p的模 2 的简化剩余 2 均为素数，故知： , 1 1 2 ,52 32 p,761 1 3 4212 p,116524 5212 p ,131212 1 5 6212 p.236353210 9222 p， 同时也确定了：, 52 23 p,30 3213 ppp，13, 52, 3233 pppA 因x）（ 1 mod1p等价于:，)(mod2 11 pxx）（ 2 mod1p等价于:，)(mod0 2 px 故易知 2 x）（. 2 , 1,mod1ipi等价于:).6(mod6 22 x故知：二次联立不同余式： 3 x），（. 32 , 1,mod1ipi等价于: 323
11、)6(mod6xx,5mod1 3 ）（p 故 知 在 模30 3 内 有6 2 个 1 3 s的 筛 芯 :.30252015105，有5 3 p个 4 ： 2 x，1266 2 ，1826 2 ，2436 2 .3046 2 恰为5 3 p的一个完全剩余系， 故知其中 必然有且仅有2个 2 x被筛除. 故知 1 3 s在模30 3 内的平均实筛率为. 3162)(2 22 经查: 仅筛芯为2555 2 ，的 1 3 s在模 3 内共筛去了2个： 2 x，6.24余下的 2 x即我们所求的联 立 不 同 余 式 3 x），（. 32 , 1,mod1ipi关 于 模 的 最 小 正 解 集.
12、30,18,12 3 X 3 X的 基 数 , 3)( 33 X故知 3 x在模 3 内的平均密度为.101303)( 33 而在13, 1 2, 1 323 ppA内的连续13个整数中有2个， .126 2 x有2个 1 3 s的筛芯： .105，因该文约定筛芯位于 3 p的 1 3 s只能虚筛而不能实筛， 而筛芯位于10的 1 3 s因与 1 1 s重合 而虚筛，故知13, 1 3 A仅受 1 3 s的虚筛，（即 1 3 s在 3 A 内的实筛率为020小于 1 3 s在 3 内 的 平 均 实 筛 率. 3162)(2 22 ）故 3 A 内 有2个 2 x即.126 3 ，x而 因 ,
13、 5161 3min3 px故 知 在2, 3233 pppA内 有22)( 3 p个.126 3 ，x且 因 ,.12, 64911 3 2 43 xpx故知在 3 A内至少有22)( 3 p对孪生素数：，16. 112 而在13, 52, 3233 pppA内的连续9个整数中有2个， 3 x故知在 3 x在 3 A内的密度为，92 大于 3 x在模 3 内的平均密度.101)( 33 故知 3 A在模 3 内是 3 x的高密度区. 由知：当3n时，原命题“在闭区间13, 5 3 A内至少有22)( 3 p个.126 3 ，：x”成立. 即 在闭区间13, 5 3 A内至少有2对孪生素数：，
14、 .7516.1311112，成立. 该结论可在下面的图四 1 1 1 1 3213 sssS中获得验证. 图四 1 1 1 1 3213 sssS筛图 现归纳假设：当3 kn时，原命题成立. 即在闭区间2, 1 kkkk pppA内至少有2)( k p 个， k x是 k x的高密度区. 且知： k x在 k 内的平均密度为,)( kk 1 k s在 k 内的平均实筛率为,)(2 11kk 因当21 kn时已由模 1k 的最小正剩余系 1 k确定了：,2 1 kk p.3 11 kk p故当 3 kn时， k ， k A， 1k ， 1k A k X等诸相关数值也随之而定: ， kkkkk
15、ppppp 1121 ， 111211 kkkkkk pppppp 5 kkk xxX|., 2, 1,mod1）（kipi即 kkkkkk xxxxX)(mod| 11 .mod1）（ k p ),( kk X，2, 1 kkkk pppA，2, 111 kkkk pppA.2, 1 11 kkk ppA 则当41 kn时， 1k ， 1k A， 1 k A k X等诸相关数值均可视为已知值. 且联立不同余式: 1k x），（. 1,2 , 1,mod1kkipi等价于: 11 )(mod kkkk xxx,mod1 1） （ k p 由排列组合易知： 1k x在 1k 内的平均密度为,)(
16、 11kk 1 1 k s在 1k 内的平均实筛率为 ,)(2 kk . 而在闭区间2, 1 11 kkk ppA内有且仅有2 1kkp p个连续整数，其中有且仅有 1 k p个 1k p的倍数：, 1k p,2 1k p,3 1k p.)2(, 1 kk pp而由该文约定筛芯位于 1k p的 1 1 k s只能 虚筛，且筛芯位于,2 1k p,3 1k p 1 )2(, kk pp的 1 1 k s也因均含小于 1k p的素因数而为虚筛，（即 1 1 k s在 1 k A内的实筛率为0) 1(0 1 k p小于 1 1 k s在 1k 内的平均实筛率） ，故知 1 k A内的 k x即 .
17、1k x故 1 k A内至少有2)(2) 1(2)2()()2( 1111 kkkkkkkkk ppppppp个. 1k x 因2, 1 11 kkk ppA内的, 2 1min1 kk px故知在2, 111 kkkk pppA内至少有2)( 1k p 个. 1k x且因),(11 11 2 211 kkkkkk Axpppx故知在 1k A内至少有2)( 1k p对孪生素数： . 1 1k x 由知当1 kn时，原命题成立. 由, ,知：当3n时，原命题“在闭区间2, 1 nnnn pppA内至少有2)( n p对孪生素数” 成立. 故知孪生素数对无穷. 验证：验证：以下用堆垒二次筛图 1
18、 1 1 n i in sS来直观地验证: 在闭区间2, 1 nnnn pppA内至 少有2)( n p对孪生素数：1 n x n x.).), 2, 1,(mod1 nni Axnip 验证验证 1当4n时:, 5 31 ppn, 7 4 ppn33, 72, 4344 pppAAn 4 x.)43, 2, 1,(mod1，ipi的二次堆垒筛为.1 1 1 1 1 43214 ssssS 图五 1 1 1 1 1 43214 ssssS筛图 （说明：上图最下一行为连续的最小正整数数列，所有列中含红格的整数表被所对应的二次筛 )41 ( 1isi的所筛除，余下的整数均为所求的.) 4 x 6
19、由图五知在33, 7 4 A内有3个.301812 4 ，：x故知在内至少有32)( 4 p对孪生素数： .1311112，.1917118，.3129130， 由验证 1 知: 当4n时原命题成立. 验证验证 2当5n时:, 7 41 ppn,11 5 ppn75,112, 5455 pppAAn 5 x.)543, 2, 1,(mod1，ipi的二次堆垒筛为.1 1 1 1 5215 sssS 图六 1 5 S筛图 由图六及该文的约定知：在75,11 5 A内有52)11(2)(6 5 p个.726042301812 5 ，：x 故知在 5 A内至少有5对孪生素数：， .1311112，
20、.1917118， .3129130 ，.4341142， .6159160.7371172， 故由验证 2 知: 当5n时原命题成立. 为简便验证，现给出10040内的1|vvVvi为孪生素数对.表. 7 （说明:表中的第一列和第一行的数值之和为表内 i v的序号. i例如: 表中4的序号为，110则 表, 4 1 v而141 1 v表孪生素数对中的第1对孪生素数. 53，表中150的序号为，12210则表 ,150 12 v而11501 12 v表孪生素数对中的第12对孪生素数.151149，. ） 验证验证 3当25n时:,89 241 ppn,97 25 ppn，8631,972, 2
21、5242525 pppAAn 25 A内含，102v9，108 10 v.8628 186 v，故知 25 A内实含孪生素数178对：，11021 9 v ，11081 10 v. 18628 186 v，远大于计算值482)97(2)( 25 p对. 由验证 3 知: 当25n时原命题成立. 验证验证 4当26n时:,97 251 ppn,101 26 ppn，9795,1012, 26252626 pppAAn 26 A内含，102 9 v，108 10 v.9768 206 v，故知 25 A内实含孪生素数198对：，11021 9 v ，11081 10 v. 197681 206 v，远大于计算值502)101(2)( 26 p对. 由验证 4 知: 当26n时原命题成立. 参考文献 1 华罗庚. 数论导引. 科学出版社出版M. 1957 年 7 月第一版. 2 闵士鹤, 严士健. 初等数论M. 湖北人民出版社出版. 1957 年 11 月第一版. 3 熊全淹. 初等数论M. 湖北人民出版社出版. 1982 年 6 月第一版. 作者简介：张忠（曾用名：张忠言）男1945 年生汉族籍贯：江苏省南通市大专毕业。 退休前为南通轴瓦厂教育科职工教师（中教一级） ，主要教机械制图和初高中数学。四十余年来一直 坚持运用联立不同余式和堆垒筛法探索素数的分布规律。
