1、课题：等比数列的前 n 项和 铜川矿务局第一中学张向伟 一、教材分析一、教材分析 本节课选自普通高中课程标准数学教科书数学（必修 5）（北 师大版）第一章第三节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看等比 数列的前 n 项和是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中 有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导 过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都 是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 二、学情分析二、学情分析 从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式 的形成、 特点等方面进行类比， 这是积极因素， 应因势利导。不利
2、因素是： 本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同， 这对学 生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽 视， 尤其是在后面使用的过程中容易出错。 教学对象是刚进入高中的学生， 虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成， 但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、 不严谨。 三、设计思想三、设计思想 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引 导下，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，深入探 讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知， 在“探究
3、”中创新。设计思路如下： 创设情境 布疑激趣 探寻特例 提出猜想 简单应用 总结评估 观察实验 建立模型 深入思考 证明猜想 四、教学目标四、教学目标 1、掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 n 项和公式解决相 关问题。 2、通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类 讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价 值、应用价值，发展数学的理性思维。 五、教学重点与难点五、教学重点与难点 重点：掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 n 项和公式解决 相关问题。 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 六
4、、六、教学过程教学过程 （一）复习回顾 1、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？ 2、（提问）等差数列前 n 项和公式是什么？ （二）创设问题情景 引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人 一口答应了下来,但提出了如下条件：在 30 天中，富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元,以后每天所借的钱数都比上一天多 1 万;但 借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后每天所还的钱数都是上 一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想 到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。 ”请在座的同学思考 讨论一下,穷人能否
5、向富人借钱? 设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入 到研究者的角色中来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。到研究者的角色中来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： 穷人 30 天借到的钱：465 2 30)301 ( 3021 30 S（万元） 穷人需要还的钱： 292 30 2221S? 直觉先行直觉先行, ,思辨引路思辨引路, ,在矛盾冲突中引发学生积极的思维在矛盾冲突中引发学生积极的思维! 教师紧接着把如何求 292 30 2
6、221S？的问题让学生探 究： 292 30 2221S若用公比 2 乘以上面等式的两边，得到 30292 30 22222S 若式减去式，可以消去相同的项，得到： 10737418231230 30 S(分) 1073(万元) 465（万元） 答案:穷人不能向富人借钱 （三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式？（学生很自然地模仿 以上方法推导） 学生 A：) 1 ( 1 1 2 1 2 111 nn n qaqaqaqaaS )2( 1 1 1 2 11 nn n qaqaqaqaqS （1）-（2）有 n n qaaSq 11 )
7、1 ( 学生 B： 1 1 2 111 nn n qaqaqaas qaqsaasqa qsaqaqaaqa nnnn n n 11 11 2 1111 qaaqss nnn 1 )1( 1 1 q q qaa s n n 推导等比数列前 n 项和 n S的公式，引导学生类比前面的特例完成以 上推导课本上的推导方法后， 教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发 言） 学生 C： q a a a a a a n n 12 3 1 2 q aaa aaa n n 121 32 即 q as as nn n 1 )1( 1 1 q q qaa s n n 。 “特例类比猜想”是一
8、种常用的科学的研究思路！ 教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设 问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥 了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、 成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ 【基础知识形成性练习】 1, 11 )1 ( 1, 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 1 在公比为 q 的等比数列 n a中 (1)若 3 1 , 3 2 1 qa ，则 n S_； （2）若8, 2, 2 1 nqa，则 n S_； （3）若 2 1 , 2, 8 1 n aqa，则 n S_； 2判断
9、正误： （1） 1111 +1 2422 n n （ ） 121 c(1) (4) 1- n nn c cccc c (四)新知应用 例 1、求等比数列, 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 的前 8 项的和 变式 1：求等比数列, 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 的第 6 项到第 10 项的和 例 2、求数列)0(1 132 aaaaa n 的前 n 项和。 变式 2：求 n xxx 111 x 1 32 的值 例 1 例 2 教师板演示范，强调解题的规范。变式 1，变式 2 学生分析解 法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过 程。 （五）课
10、堂小结 等差数列等比数列 求和公式 推导方法 公式应用 由学生完成课堂总结，教师完善，点评 （六）布置作业 六、教学反思六、教学反思 （2) 21 )21 (1 ) 2(8421 1 n n （3) 21 )21 (1 22221 32 n n 本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。所以采用了探究教 学的方式，大部分内容由学生自行探究讨论完成。教学设计从学生的角度 出发， 采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合 的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引 导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数 学应用（5）知识评估。
11、学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方 法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感 受到了创造的快乐， 激发了学习数学的爱好， 教学的知识目标、 能力目标、 情感目标均得到了较好的落实。 导学案:等比数列的前n项和 班级_姓名_ 【知能目标】【知能目标】 1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法， 并能用其思想 方法求某类特殊数列的前n项和. 2.掌握等比数列前n项和公式以及性质， 并能应用公式解决有关等比数列 前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1 和q1 这两种情况. 3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题. 【重难点】【重难点】
12、重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问 题. 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握. 【学习过程学习过程】 一、复习回顾 1、等比数列的定义？通项公式？性质？ 2、等差数列前 n 项和公式是什么？ 二、情境导入 引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人 一口答应了下来,但提出了如下条件：在 30 天中，富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元,以后每天所借的钱数都比上一天多 1 万;但 借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后每天所还的钱数都是上 一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但
13、又想 到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。 ”请在座的同学思考 讨论一下,穷人能否向富人借钱? 三、自主探究 推导：等比数列的前 n 项和公式 方法 1（主要重点方法：错位相减法） 方法 2（提取公因式法） 方法 3（等比定理法） 四、辨析练习 1 在公比为 q 的等比数列 n a中 (1)若 3 1 , 3 2 1 qa ，则 n S_；（2）若8, 2, 2 1 nqa，则 n S_；（3）若 2 1 , 2, 8 1 n aqa，则 n S_； 2判断正误： （1） 1111 +1 2422 n n （ ） 121 c(1) (4) 1- n nn c cccc c 五、新知
14、应用 例 1、求等比数列, 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 的前 8 项的和 变式 1：求等比数列, 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 的第 6 项到第 10 项的和 （2) 21 )21 (1 ) 2(8421 1 n n （3) 21 )21 (1 22221 32 n n 例 2、求数列)0(1 132 aaaaa n 的前 n 项和。 变式 2：求 n xxx 111 x 1 32 的值 六、课时小结 （由学生完成课堂总结，教师完善，点评） 七、自测自评 1、在等比数列 2n中，前 n 项和 n S =（） (A)2n -1(B)2n-2(C)2n+1-1(D) 2n+1-2 2、在等比数列 n a 中，公比 q=2，且前 5 项和为 1，那么前 5 项和等于 (A)31(B)33(C)35(D) 37 3、数列 2 1 n 中，前 n 项和为 n S，则 S2009_ 4、在等比数列 n a 中： （1）已知 ,26, 2 31 Sa 求 q 和 3 a； （2）已知 q= 2 1 ， 8 7 3 5 S，求 1 a与 4 a 思考题：思考题：求和. 23n x+2x +3x +nx
