1、课题：课题： 2.4.1.22.4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程 课课 型：型：新授课 教学目标教学目标： 1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般 方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程 x 2 y 2DxEyF=0 表示圆的条件 2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待 定系数法求圆的方程。 教学重点：教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的 互化，根据已知条件确定方程中的系数 D、E、F 教学难点教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 新疆 学案 王新敞 教学过程教学过程： 一、课题引入： 问题：问题：求过三点 A（0，0
2、） ，B（1，1） ，C（4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦， 那么这个问题有没有其它的解决方法呢？ 带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程圆的一般方程。 二、探索研究： 请同学们写出圆的标准方程： (xa) 2(yb)2=r2，圆心(a，b)，半径 r 把圆的标准方程展开，并整理： x 2y22ax2bya2b2r2=0 取 222 ,2,2rbaFbEaD得 0 22 FEyDxyx 这个方程是圆的方程 反过来给出一个形如 x 2y2DxEyF=0 的方程， 它表示的曲线一定是圆吗？ 把 x 2y2DxEyF=0 配方得 4 4 ) 2 ()
3、2 ( 22 22 FEDE y D x 这个方程是不是表示圆？ (1)当 D 2E24F0 时，方程 表示以（- 2 D ，- 2 E ）为圆心,FED4 2 1 22 为半 径的圆； （2）当04 22 FED时，方程只有实数解 2 D x， 2 E y，即只表示一个 点（- 2 D ，- 2 E ）; （3）当04 22 FED时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 新疆 学案 王新敞 综 上 所述 ，方 程0 22 FEyDxyx表 示的 曲 线不 一定 是圆 新疆 学案 王新敞 只 有 当 04 22 FED时，它表示的曲线才是圆，我们把形如形如0 22 FEyDxyx （04 2
4、2 FED）的方程称为圆的一般方程。如）的方程称为圆的一般方程。如 2 2 14xy 我们来看圆的一般方程的特点：圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)x 2 和 y 2 的系数相同，不等于 0 没有 xy 这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆 的方程就确定了 (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征比较明 显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 (三)、知识应用与解题研究： 例例 1 1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及 半径。 22 22 1 444129
5、0 2 44412110 xyxy xyxy 学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般 方程的判断方法求解。但是，要注意对于 22 1 4441290xyxy来说，这里的 9 1,3, 4 DEF 而不是D=-4,E=12,F=9. 解： 例例 2 2 （课本例 （课本例 4 4）求过三点 A（0，0） ，B（1，1） ，C（4，2）的圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而 条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程 新疆 学案 王新敞 解：设所求的圆的方程为：0 22
6、FEyDxyx (0,0), (11AB ， ）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上 面的方程，可以得到关于FED,的三元一次方程组. 即 02024 02 0 FED FED F 解此方程组，可得：0, 6, 8FED 新疆 学案 王新敞 所求圆的方程为：068 22 yxyx 新疆 学案 王新敞 54 2 1 22 FEDr；3 2 , 4 2 FD 新疆 学案 王新敞 得圆心坐标为（4，-3）. 或将068 22 yxyx左边配方化为圆的标准方程，25) 3()4( 22 yx,从 而求出圆的半径5r，圆心坐标为(4,-3) 新疆 学案 王新敞 学生讨论交流
7、，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 、根据提设，选择标准方程或一般方程； 、根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组； 、解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程。 例例 3 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3） ，端点 A 在圆上 2 2 14xy 运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析：如图点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满 足方程 2 2 14xy。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的 条件，求出点 M 的轨迹方程。 解：设点 M 的坐标是（x,y）,点 A 的
8、坐标是 00 ,.B43x y由于点 的坐标是， MAB且是线段的重点，所以 00 43 , 22 xy xy 00 24,23xxyy于是有 因为点A在圆 2 2 14xy上运动，所以点 A 的坐标满足方程 2 2 14xy, 即 2 2 00 14xy 把代入，得 22 24 1234,xy 22 3 1 2 y 3 整理，得 x- 2 M 3 3 所以，点的轨迹是以， 为圆心，半径长为1的圆 2 2 6 4 2 -2 -4 -55 M O B A y x 课堂练习：课堂练习： 123 p第 1、2、3 题 课堂小结课堂小结 ： 1对方程0 22 FEyDxyx的讨论(什么时候可以表示圆) 新疆 学案 王新敞 2与标准方程的互化 新疆 学案 王新敞 3用待定系数法求圆的方程 新疆 学案 王新敞 4求与圆有关的点的轨迹。 课后作业：课后作业：课本 124 p习题 4.1A 组第 6 题,B 组第 1,2 题 课后记课后记: :
