1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 2022 届高三数学十月月考试卷届高三数学十月月考试卷 时间：120 分钟满分 150 份 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。合题目要求的。 1若集合 Ay|y2x，xR，By|yx2，xR，则（） AABBABCABDAB 2已知纯虚数 z 满足（12i）z2+ai，其中 i 为虚数单位，则实数 a 等于（） A1B1C2D2 3五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采
2、风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、 乙二人不相邻，则不同的排法共有（） A36 种B48 种C72 种D120 种 4如图，从地面上 C，D 两点望山顶 A，测得它们的仰角分别为 45和 30，已知 CD100 米，点 C 位于 BD 上，则山高 AB 等于（） A100 米B50米C50米D50（+1）米 5已知两组数据 x1，x2，xn与 y1，y2，yn，它们的平均数分别是和 ，则新的一组数据 2x1 3y1+1，2x23y2+1，2xn3yn+1 的平均数是（） ABCD 6衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为 a，经过 t 天后体 积
3、V 与天数 t 的关系式为： Vae kt 已知新丸经过 50 天后， 体积变为 ， 若一个新丸体积变为， 则需经过的天数为（） A125B100C75D150 7在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2+c2a2+bc，若 sinBsinCsin2A，则ABC 的形状是（） A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形 8已知函数 f（x）eax存在两个零点，则正数 a 的取值范围是（） A （0，）B （，+）C （0，）D （，+） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题
4、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9珠海市第二中学校歌决赛中，评委给 13 个班级的评分（十分制）如图，下列说法正确的是（） A13 个班级评分的极差为 7B13 个班级中评分不低于 7 分的有 6 支 C13 个班级评分的平均数约为 6.46D.第 6 个班级到第 12 个班级的评分逐渐降低 10设 O 为坐标原点，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的焦点若在双曲线上存在点 P， 满足F1PF
5、260，|OP|a，则（） A双曲线的方程可以是B双曲线的渐近线方程是 C双曲线的离心率为DPF1F2的面积为 11等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S100，S1525，则（） Aa50Ban的前 n 项和中 S5最小 CnSn的最小值为49D的最大值为 0 12已知函数 f（x）log2x，下列四个命题正确的是（） A函数 f（|x|）为偶函数B若 f（a）|f（b）|，其中 a0，b0，ab，则 ab1 C函数 f（x2+2x）在（1，3）上为单调递增函数D若 0a1，则|f（1+a）|f（1a）| 三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
6、，共 20 分分. 13已知(3, 4),(2,3)ab，则2| 3aa b 14已知直线 l（斜率大于 0）的倾斜角的正弦值为，在 x 轴上的截距为2，直线 l 与抛物线 C： x22py（p0）交于 A，B 两点若|AB|16，则 p 15已知三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，现沿 PA，PB，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平 面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2，则三棱锥 PABC 的内切球的体积为 16给出下列命题： 已知服从正态分布 N（0，2） ，且 P（22）=0.4，则 P（2）=0.3； f（x1）是偶函数，且在（0，+）上单调递增，则； 关注公众号品数学 高中
7、数学资料共享群（734924357） 已知直线 l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则 l1l2的充要条件是； 已知 a0，b0，函数 y=2aex+b 的图象过点（0，1） ，则的最小值是 其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设（acosB+bcosA）ac，且 sin2A sinA （1）求 A 及 a； （2）若 bc2，求 BC 边上的
8、高 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 an+12an+1，且 a1+2a2a3 （1）求数列an的通项公式；（2）求使得 Sn121 成立的 n 的最大值 19 （12 分）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上 1.3m 处的直径）越大，树就越高由于 测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高下面给出了某林场在研究树高与胸径 之间的关系时收集的某种树的数据 编号123456 胸径/cm18.120.122.224.426.028.3 树高/cm18.819.221.021.022.122.1 编号789101112 胸径/cm29.632.433.7
9、35.738.340.2 树高/cm22.422.623.024.323.924.7 （1）根据表格绘制树高 y 与胸径 x 之间关系的散点图； （2）分析树高 y 与胸径 x 之间的相关关系，并求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）预测当树的胸径为 50.6cm 时，树的高度约为多少 （精确 0.01） 附：回归方程x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 参考数据：， 20（12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面 111 ABC，D为 1 AB的中点， 1 BC交 1 BC于 点E，ACBC，2BCAC 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（7349
10、24357） （1）证明：DE 平面 11 BBC C； （2）（2）若 11 C BAB，求二面角 11 ABCA的余弦值 21（12 分）已知函数 f （ x）=ln xax，x（0，e，其中 e 为自然对数的底数 （1）若 x=1 为 f （ x） 的极值点，求 f （ x） 的单调区间和最大值； （2）是否存在实数 a，使得 f （ x） 的最大值是3？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由。 22 （12 分）已知椭圆 C：的离心率为，点 P在 C 上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 O 为坐标原点，试判断在椭圆 C 上是否存在三个不同点 Q，M，N（其中 M， N 的
11、纵坐标不相等） ，满足，且直线 HM 与直线 HN 倾斜角互补？若存在，求出直线 MN 的方程，若不存在，说明理由 2022 届高三数学十月月考参考答案与试题解析届高三数学十月月考参考答案与试题解析 一、一、单项选择题：单项选择题： 1A 2B3C4D 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 5解：由已知， （x1+x2+xn）n ， （y1+y2+yn）n ， 新的一组数据 2x13y1+1，2x23y2+1，2xn3yn+1 的平均数为（2x13y1+1+2x23y2+1+2xn 3yn+1）n2（x1+x2+xn）3（y1+y2+yn）+nn故选：B 6解：由题意得
12、Vae 50k a，可令 t 天后体积变为a，即有 Vae kt a， 由可得 e 50k ，又得 e （t50）k ，两边平方得 e （2t100）k ， 与比较可得 2t10050，解得 t75，即经过 75 天后，体积变为a故选：C 7解：在ABC 中，b2+c2a2+bc，cosA， A（0，） ，sin Bsin Csin2A，bca2， 代入 b2+c2a2+bc，（bc）20，解得 bcABC 的形状是等边三角形故选：C 8解：函数 f（x）eax存在两个零点，eax0 在（0，+）存在两个不同的解， axlnx 在（0，+）存在两个不同的解，即 a在（0，+）存在两个不同的解，
13、 令 g（x），g（x）， 故 x（0，e时，g（x）0，x（e，+）时，g（x）0， 故 g（x）在（0，e上单调递增，在（e，+）上单调递减， 且 x0 时，g（x），g（e），x+时，g（x）0，故 0a， 故选：C 二、多项选择题：二、多项选择题： 9解：对于 A，13 个班级评分的极差为 1037，选项 A 正确；对于 B，13 个班级中评分不低于 7 分 的有 10、7、10、9、8、7 共 6 支，选项 B 正确；对于 C，计算 13 个班级评分的平均值为 （10+6+7+5+3+10+9+4+8+6+5+4+7）6.46，选项 C 正确； 对于 D，从第 6 个班级到第 12
14、个班级的评分并不是逐渐降低的，其中第 9 个班级评分较高的， 选项 D 错误故选：ABC 10解：如图，O 为 F1F2的中点， 即 又， 又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a， 即 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 由得， 在F1PF2中，由余弦定理得，8a220a24c2，即 c23a2 又c2a2+b2，b22a2，即双曲线的渐近线方程为 双 曲 线 的 离 心 率 为， 双 曲 线 的 方 程 可 以 是， PF1F2的 面 积 故 BC 正确 11解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，S100，S1525， ，解得，an，a5，故 A 错误； （n5）
15、2，故 B 正确； nSn，设函数 f（x）（x0） ， 则 f（x），当 x（0，）时，f（x）0， 当 x（，+）时，f（x）0，f（x）minf（） ， 6，且 f（6）48，f（7）49，nSn的最小值为49，故 C 正确； （n10） ，没有最大值，故 D 错误故选：BC 12解：对于 A：函数 f（x）log2x，所以 f（|x|）log2|x|，由于 x（，0）（0，+） ， 所以 f（|x|）f（|x|）所以函数为偶函数，故选项 A 正确 对于 B：f（a）|f（b）|，所以 f（a）|f（|b|）f（b） ，所以log2alog2b，整理得 ab1，故 选项 B 正确 对于
16、C：函数 f（x2+2x），由于x2+2x0，所以 0 x2， 所以函数在（1，3）上不具备单调性，故选项 C 错误 对于 D：由于 0a1，所以 1+a11a0，所以 01a21，所以 f（1+a）0f（1a） ， 故 |f （ 1+a ） | |f （ 1 a ） | | log2（ 1+a ） | | log2（ 1 a ） | ，故|f（1+a）|f（1a）|故 D 正确故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13答案为：28 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 14解：由题意，直线 l（
17、斜率大于 0）的倾斜角的正弦值为，则直线 l 的倾斜角为 45， 故直线的斜率为 1，又直线 l 在 x 轴上的截距为2，则直线 l 的方程为 yx+2， 联立方程组，则 x22px4p0，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则有， 所以， 化简可得 p2+4p320，因为 p0，所以 p4故答案为：4 15解：三棱锥 PABC 展开后为一等边三角形，设边长为 a，则 4，a6， 三棱锥 PABC 棱长为 3，三棱锥 PABC 的高为 2， 设内切球的半径为 r，则 4，r， 三棱锥 PABC 的内切球的体积为 故答案为： 16答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，
18、共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17解解： （1）， 根据正弦定理得， 又sinC0， sin2AsinA，2sinAcosAsinA， sinA0， A（0，） ，.5 分 （2）由（1）知，由余弦定理得 a2b2+c22bccosA， 7b2+c2bc，7（bc）2+bc， bc2，74+bc，bc3设 BC 边上的高为 h ，.10 分 18解解： （1）数列an的前 n 项和为 Sn，满足 an+12an+1，整理得：an+1+12（an+1） ， 由 a1+2a2a32a2+1，解得 a11， 故数列an+1是以
19、 a1+12 为首项，2 为公比的等比数列；所以.6 分 （2）由于，所以， 由于 Sn121，所以 2n+12n121，即 2n+1n123，解得 1n6，故 n 的最大值为 6.12 分 19解解： （1）散点图如图， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） .2 分 （2）由散点图可以看出，当胸径 x 由小变大时，树高 y 也由小变大， 而 x 与 y 之间是正相关关系，由表中数据可得， （18.1+20.1+22.2+24.4+26.0+28.3+29.6+32.4+33.7+35.7+38.3+40.2）29.08， （18.8+19.2+21.0+21.0+22
20、.1+22.1+22.4+22.6+23.0+24.3+23.9+24.7）22.09 从而 14.82y 关于 x 的线性回归方程为；.10 分 （3）当 x50.6 时， 即当树的胸径为 50.6cm 时，树的高度约为 27.47cm.12 分 20 （1）证明：因为 111 ABCABC为三棱柱，所以平面 111 ABC平面ABC， 因为 1 CC 平面 111 ABC，所以 1 CC 平面ABC 又因为AC 平面ABC，所以 1 ACCC 又因为ACBC， 1 CCBCC， 1 CCBC 、平面 11 BBC C， 所以AC 平面 11 BBC C 由题知：四边形 11 BBC C为矩
21、形，又因 1 BC交 1 BC于点E，所以E为 1 BC的中点， 又因为D为 1 AB的中点，所以DE为 1 ABCV的中位线，所以DEAC， 所以DE 平面 11 BBC C.5 分 （2）由（1）知： 11111 C AC BC C、两两互相垂直，所以以 1 C为坐标原点，分别以 11111 C AC BC C、为x yz、 、 轴建立空间直角坐标系 1 Cxyz，如图所示： 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） 设 1 (0)CCh h，则 1(0,0,0) C， 1(2,0,0) A， 1(0,2,0) B，2,0,Ah，(0,2, )Bh，(0,0, )Ch，
22、所以 1 (0,2, )C Bh ， 1 ( 2,2,)ABh ， 因为 11 C BAB，所以 11 0C B AB ，所以022 20hh ，解得2h ， 所以2,0,2A，(0,2,2)B，(0,0,2)C， 所以 1 ( 2,2, 2)AB ， ( 2,0,0)AC ， 11 ( 2,2,0)AB ， 1 ( 2,0,2)AC ， 设平面 1 ABC的法向量为( , , )x y zn，则 1 0 0 AB AC n n ，所以 2220 20 xyz x ， 不妨令1y ，则0,1,1n； 设平面 11 ABC的法向量为( , , )x y zm，则 11 1 0 0 AB AC m
23、 m ，所以 220 220 xy xz ， 不妨令1y ， 则1,1,1m， 所以 26 cos 323 m n m n mn ， 因为平面 11 ABC与平面 1 ABC所 成的角为锐角， 所以二面角 11 ABCA的余弦值为 6 3 .12 分 21.解解： （1）f（x）=ln xax，x（0，e， f（x）=，由 f（0）=0，得 a=1 x（0，1） ，f（x）0，x（1，+） ，f（x）0， f（x）的单调增区间是（0，1） ，单调减区间是（1，e） ； f （ x） 的极大值为 f（1）=1；也即 f （ x） 的最大值为 f（1）=1.4 分 （2）解：f（x）=lnxax，
24、f（x）=a=， 当 a0 时，f（x）在（0，e单调递增， 得 f （ x） 的最大值是 f（3）=1ae=3，解得 a=0，舍去； a0 时，x（0，） ，f（x）0，x（，e） ，f（x）0， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（734924357） f（x）的单调增区间是（0，） ，单调减区间是（，e） ， f（x）在（0，e上的最大值为3，f（x）max=g（）=1lna=3， a=e2 综上：存在 a 符合题意，此时 a=e2.12 分 22解解： （1）由题意知可得，a2b2c2，+1，解得 a2，b1， 则椭圆 C 的方程为：+y21；.3 分 （2）由题意，直线 MN 的斜
25、率存在且不为 0，设直线 MN 方程为 ykx+m， 设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立，整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m240， 所以 x1+x2，x1x2y1+y2k（x1+x2）+2m.5 分 因为+，所以 Q（，） ， 因为 Q 在椭圆上，所以+（）21，化简得 16m21+4k2，满足0，.7 分 又因为直线 HM 与直线 HN 倾斜角互补，所以 kHM+kHN0，所以+0，.8 分 所以+0，所以 2kx1x2+（m+） （x1+x2）0，.10 分 所以0，因为 k0，所以 m2，代入 16m21+4k2得 k，.11 分 所以存在满足条件的三个点，此时直线 MN 的方程为 yx2 或 yx2.12 分
