1、第 1页（共 22页） 2021 年广西玉林市中考数学试卷年广西玉林市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上. 1 （3 分）计算：1+2 的结果是（） A1B1C3D3 2（3 分） 我市今年中考报名人数接近 101000 人， 将数据 101000 用科学记数法表示是 （） A10.1104B1.01105C1.0
2、1106D0.101106 3 （3 分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（） A圆锥B圆柱C长方体D三棱柱 4 （3 分）下列计算正确的是（） Aa5+a5a10B3（ab）3a3b C （ab） 3ab3 Da6a2a4 5 （3 分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投 6 次，他们的成绩如下表（单位：环） ： 甲6，7，8，8，9，9 乙5，6，x，9，9，10 如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩 x 是（） A6 环B7 环C8 环D9 环 6 （3 分）如图，ABC 底边 BC 上的高为 h1，PQR 底边 QR 上的高为 h2，则有（） Ah1h2Bh1h2 Ch
3、1h2D以上都有可能 7 （3 分）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说： “被直径平分的弦也与直径 第 2页（共 22页） 垂直” ，小熹说： “用反例就能说明这是假命题” 下列判断正确的是（） A两人说的都对 B小铭说的对，小熹说的反例不存在 C两人说的都不对 D小铭说的不对，小熹说的反例存在 8 （3 分）一个不透明的盒子中装有 2 个黑球和 4 个白球，这些球除颜色外其他均相同，从 中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是（） A至少有 1 个白球B至少有 2 个白球 C至少有 1 个黑球D至少有 2 个黑球 9 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程：x22x+m0 有两
4、个不相等的实数根 x1，x2，则 （） Ax1+x20Bx1x20Cx1x21Dx1x21 10 （3 分）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a两组对边分别相等 b一组对边平行且相等 c一组邻边相等 d一个角是直角 顺次添加的条件：acdbdcabc 则正确的是（） A仅B仅CD 11 （3 分）观察下列树枝分杈的规律图，若第 n 个图树枝数用 Yn表示，则 Y9Y4（） A1524B3124C3324D6324 12 （3 分）图（1） ，在 RtABC 中，A90，点 P 从点 A 出发，沿三角形的边以 1cm/ 第 3页（共 22页） 秒的速度逆时针运动一周，图（2）
5、是点 P 运动时，线段 AP 的长度 y（cm）随运动时间 x（秒）变化的关系图象，则图（2）中 P 点的坐标是（） A （13，4.5）B （13，4.8）C （13，5）D （13，5.5） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。把答案填在答题卡中的横线上。分。把答案填在答题卡中的横线上。 13 （3 分）4 的相反数是 14 （3 分）8 的立方根是 15 （3 分）方程 ? ?th ? h ?t?的解是 16 （3 分）如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿 一固定方向航行，甲、乙轮船每小时
6、分别航行 12 海里和 16 海里，1 小时后两船分别位于 点 A，B 处，且相距 20 海里，如果知道甲船沿北偏西 40方向航行，则乙船沿 方向航行 17 （3 分）如图，ABC 是等腰三角形，AB 过原点 O，底边 BCx 轴，双曲线 y? ? ?过 A， B 两点，过点 C 作 CDy 轴交双曲线于点 D，若 SBCD8，则 k 的值是 18 （3 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接对角线 AD，AE，AC，DF，DB，AC 与 BD 交于点 M，AE 与 DF 交于点为 N，MN 与 AD 交于点 O，分别延长 AB，DC 于点 G， 第 4页（共 22页） 设 AB3有以下
7、结论： MNAD MN2 ? DAG 的重心、内心及外心均是点 M 四边形 FACD 绕点 O 逆时针旋转 30与四边形 ABDE 重合 则所有正确结论的序号是 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 8 小题小题，满分共满分共 66 分分。解答应写出证明过程或演算步理解答应写出证明过程或演算步理（含相应的含相应的 文字说明文字说明） ，将解答写在答题卡上。，将解答写在答题卡上。 19 （6 分）计算： h? ?（4）0+（1） 16sin30 20 （6 分）先化简再求值： （a2? h ?） ?th? ? ，其中 a 使反比例函数 y? ? ?的图象分别位 于第二、四象限 21 （8 分）如
8、图，在ABC 中，D 在 AC 上，DEBC，DFAB （1）求证：DFCAED； （2）若 CD? h ?AC，求 ? ?t?的值 22 （8 分）2021 年是中国共产党建党 100 周年华诞 “五一”后某校组织了八年级学生参加 建党 100 周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同 学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘 制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图： 第 5页（共 22页） 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程） ； （2）该校八年级有学生 650
9、人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？ （3） “优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派 2 人参加区级比赛， 求抽到甲、乙两人的概率 23 （8 分）如图，O 与等边ABC 的边 AC，AB 分别交于点 D，E，AE 是直径，过点 D 作 DFBC 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 EF，当 EF 是O 的切线时，求O 的半径 r 与等边ABC 的边长 a 之间的数 量关系 24 （8 分）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电有 A，B 两个焚烧炉，每个焚烧 炉每天焚烧垃圾均为 100 吨，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比 B 焚烧炉多发电 50
10、 度，A，B 焚烧炉每天共发电 55000 度 （1）求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉各发电多少度？ （2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉的发 电量分别增加 a%和 2a%，则 A，B 焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求 a 的最小 值 25 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知 OAOC，OB 第 6页（共 22页） OD，过点 O 作 EFBD，分别交 AB、DC 于点 E，F，连接 DE，BF （1）求证：四边形 DEBF 是菱形： （2）设 ADEF，AD+AB12，BD4 ?，求
11、AF 的长 26 （12 分）已知抛物线：yax23ax4a（a0）与 x 轴交点为 A，B（A 在 B 的左侧） ， 顶点为 D （1）求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）若直线 y?t ? ?x 与抛物线交于点 M，N，且 M，N 关于原点对称，求抛物线的解析 式； （3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 D在直线 l：y? ? ? 上，设直线 l 与 y 轴的交点为 O，原抛物线上的点 P 平移后的对应点为点 Q，若 OP OQ，求点 P，Q 的坐标 第 7页（共 22页） 2021 年广西玉林市中考数学试卷年广西玉林市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考
12、答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上. 1 （3 分）计算：1+2 的结果是（） A1B1C3D3 【解答】解：1+21 故选：A 2（3 分） 我市今年中考报名人数接近 101000 人， 将数据 101000 用科学记数法表示是 （） A10.1104B1.01105C1.01106D0.101106 【解答】
13、解：1010001.01105， 故选：B 3 （3 分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（） A圆锥B圆柱C长方体D三棱柱 【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩 形大小不一， 故该几何体是长方体 故选：C 4 （3 分）下列计算正确的是（） Aa5+a5a10B3（ab）3a3b C （ab） 3ab3 Da6a2a4 【解答】解：A、a5+a52a5，故此选项不合题意； B、3（ab）3a3b，故此选项不合题意； C、 （ab） 3a3b3，故此选项不合题意； D、a6a2a4，故此选项符合题意 故选：D 第 8页（共 22页） 5 （3 分）甲
14、、乙两人进行飞镖比赛，每人各投 6 次，他们的成绩如下表（单位：环） ： 甲6，7，8，8，9，9 乙5，6，x，9，9，10 如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩 x 是（） A6 环B7 环C8 环D9 环 【解答】解：根据题意可得甲的中位数是? ? ?8， 因为两人的比赛成绩的中位数相同， 所以乙的中位数是 8， 8（9+x）2， 所以 x7， 故选：B 6 （3 分）如图，ABC 底边 BC 上的高为 h1，PQR 底边 QR 上的高为 h2，则有（） Ah1h2Bh1h2 Ch1h2D以上都有可能 【解答】解：如图，分别作出ABC 底边 BC 上的高为 AD 即 h1，
15、PQR 底边 QR 上的 高为 PE 即 h2， 在 RtADC 中，h1AD5sin55， 在 RtPER 中，h2PE5sin55， h1h2， 故选：A 第 9页（共 22页） 7 （3 分）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说： “被直径平分的弦也与直径 垂直” ，小熹说： “用反例就能说明这是假命题” 下列判断正确的是（） A两人说的都对 B小铭说的对，小熹说的反例不存在 C两人说的都不对 D小铭说的不对，小熹说的反例存在 【解答】解：被直径平分的弦也与直径垂直，这个结论错误，当弦是直径时，不一定满 足条件，结论不成立， 反例：当弦是直径，且与已知直径的夹角为 60时，结论不
16、成立 故选：D 8 （3 分）一个不透明的盒子中装有 2 个黑球和 4 个白球，这些球除颜色外其他均相同，从 中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是（） A至少有 1 个白球B至少有 2 个白球 C至少有 1 个黑球D至少有 2 个黑球 【解答】解：至少有 1 个球是白球是必然事件，故本选项符合题意； 至少有 2 个球是白球是随机事件，故本选项不符合题意； 至少有 1 个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意； 至少有 2 个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 9 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程：x22x+m0 有两个不相等的实数根 x1，x2，则 （） Ax1+
17、x20Bx1x20Cx1x21Dx1x21 【解答】解：根据题意得（2）24m0，解得 m1， 所以 x1+x22，x1x2m1 故选：D 10 （3 分）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a两组对边分别相等 b一组对边平行且相等 c一组邻边相等 d一个角是直角 第 10页（共 22页） 顺次添加的条件：acdbdcabc 则正确的是（） A仅B仅CD 【解答】解：由 a 得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加 c 即一组邻边 相等的平行四边形是菱形，再添加 d 即一个角是直角的菱形是正方形，故正确； 由 b 得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加 d 即
18、有一个角是直角的平 行四边形是矩形，再添加 c 即一组邻边相等的矩形是正方形，故正确； 由 a 得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加 b 得到一组对边平行且相等 的平行四边形仍是平行四边形，再添加 c 即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得 到四边形是正方形，故不正确； 故选：C 11 （3 分）观察下列树枝分杈的规律图，若第 n 个图树枝数用 Yn表示，则 Y9Y4（） A1524B3124C3324D6324 【解答】解：由题意得： 第 1 个图：Y11， 第 2 个图：Y231+2， 第 3 个图：Y371+2+22， 第 4 个图：Y4151+2+22+23， 第 9 个图
19、：Y91+2+22+23+24+25+26+27+28， Y9Y424+25+26+27+2824（1+2+22+23+24）24（3+4+8+16）2431 故选：B 12 （3 分）图（1） ，在 RtABC 中，A90，点 P 从点 A 出发，沿三角形的边以 1cm/ 第 11页（共 22页） 秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点 P 运动时，线段 AP 的长度 y（cm）随运动时间 x（秒）变化的关系图象，则图（2）中 P 点的坐标是（） A （13，4.5）B （13，4.8）C （13，5）D （13，5.5） 【解答】解：由图象可知：AB8，BC18810， 当 x13 时，即点
20、运动了 138， 此时点 P 在线段 BC 上，BP1385， 则 P 点为 BC 的中点， 又因为A90， 所以 AP? h ?BC5 所以图（2）中 P 的坐标为（13，5） 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。把答案填在答题卡中的横线上。分。把答案填在答题卡中的横线上。 13 （3 分）4 的相反数是4 【解答】解：4 的相反数是4， 故答案为：4 14 （3 分）8 的立方根是2 【解答】解：8 的立方根为 2， 故答案为：2 15 （3 分）方程 ? ?th ? h ?t?的解是 x? h ? 【解答】解：去分
21、母得：2x1， 解得：x? h ?， 检验：当 x? h ?时，2（x1）0， 分式方程的解为 x? h ? 第 12页（共 22页） 故答案为：x? h ? 16 （3 分）如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿 一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行 12 海里和 16 海里，1 小时后两船分别位于 点 A，B 处，且相距 20 海里，如果知道甲船沿北偏西 40方向航行，则乙船沿北偏 东 50方向航行 【解答】解：由题意可知：AP12，BP16，AB20， 122+162202， APB 是直角三角形， APB90， 由题意知APN40， BPN90AP
22、N904050， 即乙船沿北偏东 50方向航行， 故答案为：北偏东 50 17 （3 分）如图，ABC 是等腰三角形，AB 过原点 O，底边 BCx 轴，双曲线 y? ? ?过 A， B 两点，过点 C 作 CDy 轴交双曲线于点 D，若 SBCD8，则 k 的值是3 第 13页（共 22页） 【解答】 解：过点 A 作 AEy 轴，交 BC 与点 E，设点 A（a，? ?）则 B（a，t ? ?） ， BE2a， ABC 是等腰三角形，底边 BCx 轴，CDy 轴， BC4a， 点 D 的横坐标为 3a， 点 D 的纵坐标为 ? ?， CD? ? ? ? ? ? ? ? ?， SBCD? h
23、 ? ? ? ? ? ?8， h ? ? ? ? ? ? ? ?， k3， 故答案为 3 18 （3 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接对角线 AD，AE，AC，DF，DB，AC 与 BD 交于点 M，AE 与 DF 交于点为 N，MN 与 AD 交于点 O，分别延长 AB，DC 于点 G， 设 AB3有以下结论： MNAD MN2 ? DAG 的重心、内心及外心均是点 M 四边形 FACD 绕点 O 逆时针旋转 30与四边形 ABDE 重合 则所有正确结论的序号是 第 14页（共 22页） 【解答】解：如图，连接 BE 在AFN 和DEN 中， ?h ?th ? ?0 ?h? ?
24、?ht ? ? ?t ， AFNDEN（AAS） ， ANAN， 同法可证 ANAM，AMDM， AMMDDNNA， 四边形 AMDN 是菱形，故正确， EDFBDC30，EDC120， MDN60， DMDN， DMN 是等边三角形， MNDM? ? ?0? ? ? ? ? ?2 ?，故正确， DABADC60， ADG 是等边三角形， DBAG，ACDG， 点 M 是ADG 的重心、内心及外心，故正确， DOE60， 第 15页（共 22页） 四边形 FACD 绕点 O 逆时针旋转 60与四边形 ABDE 重合，故错误， 故答案为： 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 8 小题小题，满分
25、共满分共 66 分分。解答应写出证明过程或演算步理解答应写出证明过程或演算步理（含相应的含相应的 文字说明文字说明） ，将解答写在答题卡上。，将解答写在答题卡上。 19 （6 分）计算： h? ?（4）0+（1） 16sin30 【解答】解：原式4+116 h ? 4+113 1 20 （6 分）先化简再求值： （a2? h ?） ?th? ? ，其中 a 使反比例函数 y? ? ?的图象分别位 于第二、四象限 【解答】解：反比例函数 y? ? ?的图象分别位于第二、四象限， a0， |a|a， （a2? h ?） ?th? ? ? ?th? ? t? ?th? 1 21 （8 分）如图，在A
26、BC 中，D 在 AC 上，DEBC，DFAB （1）求证：DFCAED； （2）若 CD? h ?AC，求 ? ?t?的值 【解答】 （1）证明：DFAB，DEBC， DFCABF，AEDABF， DFCAED， 又DEBC， DCFADE， 第 16页（共 22页） DFCAED； （2）CD? h ?AC， ? ? ? h ? 由（1）知DFC 和AED 的相似比为：? ? ? h ?， 故：? ?t? ?（? ?） 2（h ?） 2?h ? 22 （8 分）2021 年是中国共产党建党 100 周年华诞 “五一”后某校组织了八年级学生参加 建党 100 周年知识竞赛，为了了解学生对党史
27、知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同 学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘 制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图： 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程） ； （2）该校八年级有学生 650 人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？ （3） “优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派 2 人参加区级比赛， 求抽到甲、乙两人的概率 【解答】解： （1）抽取的学生人数为：25%40（人） ， 则达到“良好”的学生人数为：4040%16（人） ，达到“合格”的学生所占的百分比
28、为：1040100%25%， 达到“优秀”的学生所占的百分比为：1240100%30%， 将两个统计图补充完整如下： 第 17页（共 22页） （2）650（5%+25%）195（人） ， 答：估计成绩未达到“良好”及以上的有 195 人； （3）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有 2 种， 抽到甲、乙两人的概率为 ? h? ? h ? 23 （8 分）如图，O 与等边ABC 的边 AC，AB 分别交于点 D，E，AE 是直径，过点 D 作 DFBC 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 EF，当 EF 是O 的切线时，求O 的半径 r 与等边
29、ABC 的边长 a 之间的数 量关系 【解答】 （1）证明：连结 OD，如图所示： 第 18页（共 22页） DAO60，ODOA， DOA 是等边三角形， ODAC60， ODBC， 又DFC90， ODF90， ODDF， 即 DF 是O 的切线； （2）设半径为 r，等边ABC 的边长为 a， 由（1）可知：ADr，则 CDar，BEa2r 在 RtCFD 中，C60，CDar， CF? h ?t ?， BFat h ?t ?， 又EF 是O 的切线， FEB 是直角三角形，且B60，EFB30， BF2BE， at h ?（ar）2（a2r） ， 解得：a3r， 即 r? h ? ?，
30、 O 的半径 r 与等边ABC 的边长 a 之间的数量关系为：r? h ? ? 24 （8 分）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电有 A，B 两个焚烧炉，每个焚烧 炉每天焚烧垃圾均为 100 吨，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比 B 焚烧炉多发电 50 度，A，B 第 19页（共 22页） 焚烧炉每天共发电 55000 度 （1）求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉各发电多少度？ （2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和 B 焚烧炉的发 电量分别增加 a%和 2a%，则 A，B 焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求 a 的最小 值 【解答】解： （1）设焚
31、烧 1 吨垃圾，A 焚烧炉发电 m 度，B 焚烧炉发电 n 度， 根据题意得： ? t l ? b0 h00? l? ? bb000， 解得 ? ? ?00 l ? ?b0 ， 答：焚烧 1 吨垃圾，A 焚烧炉发电 300 度，B 发焚烧炉发电 250 度； （2）改进工艺后每焚烧一吨垃圾 A 焚烧炉发电 300（1+a%）度，则 B 焚烧炉发电 250 （1+2a%）度，依题意有 100300（1+a%）+100250（1+2a%）550001+（5+a）%， 整理得 5a55， 解得 a11， a 的最小值为 11 25 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交
32、于点 O，已知 OAOC，OB OD，过点 O 作 EFBD，分别交 AB、DC 于点 E，F，连接 DE，BF （1）求证：四边形 DEBF 是菱形： （2）设 ADEF，AD+AB12，BD4 ?，求 AF 的长 【解答】 （1）证明：OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD， ABDCDB， 在BOE 和DOF 中， 第 20页（共 22页） ? ? ? ? ? ?t ? ? ， BOEDOF（ASA） ， BEDF， BEDF， 四边形 DEBF 是平行四边形， EFBD， 四边形 DEBF 是菱形； （2）过点 F 作 FGAB 于点 G，如图， ADEF，E
33、FBD， ADB90， 在 RtABD 中，AD2+BD2AB2， AD+AB12，BD4 ?， AD2+（4 ?）2（12AD）2， 解得 AD4，AB8， ABD30， 四边形 DEBF 是菱形， EBF2ABD60， BEF 是等边三角形， OBOD，EFAD， AEBE4， FGBE， EGBG2， 在 RtBGF 中，BF4，BG2， 根据勾股定理得，FG?t ? ? ?， 在 RtAGF 中，AG6， 第 21页（共 22页） 根据勾股定理得， AF? ? ? ?4 ? 26 （12 分）已知抛物线：yax23ax4a（a0）与 x 轴交点为 A，B（A 在 B 的左侧） ， 顶点
34、为 D （1）求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）若直线 y?t ? ?x 与抛物线交于点 M，N，且 M，N 关于原点对称，求抛物线的解析 式； （3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 D在直线 l：y? ? ? 上，设直线 l 与 y 轴的交点为 O，原抛物线上的点 P 平移后的对应点为点 Q，若 OP OQ，求点 P，Q 的坐标 【解答】解： （1）取 y0，则有 ax23ax4a0， 即 x23x40， 解得 x11，x24， A（1，0） ，B（4，0） ， 对称轴为直线 x? th? ? ? ? ?， （2）设 M 的横坐标为 x1，N 的横坐标为
35、x2， 根据题意得： ? ? ?t ?t ? ? ?t ? ? ， 即 ?t ? t ? ?t ? ? 0， ?h? ? ?t? ? ? ， 又M，N 关于原点对称， 第 22页（共 22页） ?t? ? ? ? 0， a? h ?， ? ? h ? ?t ? ? ? t ?， （3）? ? h ? ? t ? ? t ? ? h ? ?t ? ? ?t ?b ? ， 由题意得向上平移后的抛物线解析式为 ? ? h ?t ? ? ? ? ?， 抛物线向上平移了四个单位， 设 P（x，h ? ?t ? ? ? t ?） ，则 Q（x，h ? ?t ? ? ? ? ?） ， 由题意得 O（0，?
36、?） ， OPOQ， h ? ?t ? ? ? t ? ? h ? ?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得?h?t h ?，? ? ? ?， 若 ? ?t h ?， 则 y? h ? ? t ? ? t ? ? h ? ? ? t h ? ?t ? ? ? ? t h ? t ? ?t ? ?， P（t h ?，t ? ?） ，Q（t h ?， ? ? ） ， 若 ? ? ? ?， 则 y? h ? ? t ? ? t ? ? h ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? ? t ? ?t ? ?， P（? ?，t ? ?） ，Q（ ? ?， ? ? ） ， 综上，P（ h ?， ? ?） ，Q（ h ?， ? ? ）或 P（? ?， ? ?） ，Q（ ? ?， ? ? ）
