1、第 1页（共 25页） 2021 年贵州省黔东南州中考数学试卷年贵州省黔东南州中考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，分，10 个小题共个小题共 40 分分.） 1 （4 分）2021 的相反数是（） A2021B2021C ? ? D? ? ? 2 （4 分）下列运算正确的是（） A ? ? ?Ba3a2a6 C （a3）2a6Da2b2（ab）2 3 （4 分）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 30角的三角板的直角边和含 45角的三角板的直角边垂直，则1 的度数为（） A45B60C70D75 4 （4 分）一个不透明的袋子中装有 2 个白球和 3 个黑球，这
2、些球除了颜色外无其他差别， 从中摸出 3 个球，下列事件属于必然事件的是（） A至少有 1 个球是白色球B至少有 1 个球是黑色球 C至少有 2 个球是白球D至少有 2 个球是黑色球 5 （4 分）由 4 个棱长均为 1 的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为 （） A18B15C12D6 6 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x2ax+60 的一个根是 2，则 a 的值为（） A2B3C4D5 7 （4 分）如图，抛物线 L1：yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（1，0） ，与 y 第 2页（共 25页） 轴交于点 B（0，2） ，虚线为其对称轴，若将抛
3、物线向下平移两个单位长度得抛物线 L2， 则图中两个阴影部分的面积和为（） A1B2C3D4 8 （4 分）如图，在 RtACB 中，ACB90，AC6，BC8，若以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，则 CD 的长为（） A? ? B? ? C?t ? D5 9 （4 分）已知直线 yx+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 是第一象限内的点， 若PAB 为等腰直角三角形，则点 P 的坐标为（） A （1，1） B （1，1）或（1，2） C （1，1）或（1，2）或（2，1） D （0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1） 10 （4 分）如图，在边长为 2 的正方
4、形 ABCD 中，若将 AB 绕点 A 逆时针旋转 60，使点 B 落在点 B的位置， 连接 BB， 过点 D 作 DEBB， 交 BB的延长线于点 E， 则 B E 的长为（） 第 3页（共 25页） A ? ? ?B? ? ? ?C? ? ?Dt ? ? 二、填空题（每个小题二、填空题（每个小题 3 分，分，10 个小题共个小题共 30 分）分） 11 （3 分）目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止 2020 年 12 月底，基本医 疗保险覆盖超过 13 亿人，覆盖 94.6%以上的人口在这里，1300000000 用科学记数法表 示为 12 （3 分）分解因式：4ax24ay2
5、 13 （3 分）黔东南州某校今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两 队队员（各 50 名）的身高得到：平均身高（单位：cm）分别为：?甲?160，?乙?162方 差分别为：S2甲1.5，S2乙2.8现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上 一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 （填写“甲队”或“乙队” ） 14（3 分） 如图， BD 是菱形 ABCD 的一条对角线， 点 E 在 BC 的延长线上， 若ADB32， 则DCE 的度数为度 15 （3 分）已知在平面直角坐标系中，AOB 的顶点分别为点 A（2，1） 、点 B（2，0） 、 点 O（0，0） ，若以原
6、点 O 为位似中心，相似比为 2，将AOB 放大，则点 A 的对应点的 坐标为 16 （3 分）不等式组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的解集是 17 （3 分）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示） 让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端 AB，量的弧 AB 的中心 C 到 AB 的 距离 CD1.6cm，AB6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm 第 4页（共 25页） 18 （3 分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计） ，若该圆锥 的底面圆周长为 20cm， 侧面积为 240cm2， 则这个扇形
7、的圆心角的度数是度 19 （3 分）如图，若反比例函数 y? ? ? 的图象经过等边三角形 POQ 的顶点 P，则POQ 的 边长为 20 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的函数图象经过点（1，2） ，且与 x 轴交 点的横坐标分别为 x1、x2，其中1x10，1x22，下列结论：abc0；2a+b 0；4a2b+c0；当 xm（1m2）时，am2+bm2c；b1，其中正确 的有 （填写正确的序号） 三、解答题（三、解答题（6 个小题，共个小题，共 80 分）分） 21 （14 分） （1）计算：2cos302 1? ? ? t ? ? ?t? ?t? ?； 第 5页（共
8、25页） （2）先化简： ? ?t?t ? ? ? ? ?t ? ，然后 x 从 0、1、2 三个数中选一个你认为合适的 数代入求值 22 （14 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛， 竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理， 绘制成不完整的统计图表 组别成绩 x（分）频数 A75.5x80.56 B80.5x85.514 C85.5x90.5m D90.5x95.5n E95.5x100.5p 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 m，n，p （2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全
9、频数分布直方图 （3）已知该校有 1000 名学生参赛，请估计竞赛成绩在 90 分以上的学生有多少人？ （4）现要从 E 组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E 组中的小丽和 小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概 率 23 （12 分）如图，PA 是以 AC 为直径的O 的切线，切点为 A，过点 A 作 ABOP，交 O 于点 B （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 AB6，cosPAB? ? ?，求 PO 的长 第 6页（共 25页） 24 （12 分）黔东南州某销售公司准备购进 A、B 两种商品，已知购进 3 件 A 商品和 2 件 B
10、 商品，需要 1100 元；购进 5 件 A 商品和 3 件 B 商品，需要 1750 元 （1）求 A、B 两种商品的进货单价分别是多少元？ （2）若该公司购进 A 商品 200 件，B 商品 300 件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地 销售已知每件 A 商品运往甲、乙两地的运费分别为 20 元和 25 元；每件 B 商品运往甲、 乙两地的运费分别为 15 元和 24 元 若运往甲地的商品共 240 件， 运往乙地的商品共 260 件 设运往甲地的 A 商品为 x（件） ，投资总运费为 y（元） ，请写出 y 与 x 的函数关系式； 怎样调运 A、B 两种商品可使投资总费用最少？最少费用是
11、多少元？（投资总费用 购进商品的费用+运费） 25 （12 分）在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分BAD 【探究发现】 （1）如图，若BAD120，ABCADC90求证：AD+ABAC； 【拓展迁移】 （2）如图，若BAD120，ABC+ADC180 猜想 AB、AD、AC 三条线段的数量关系，并说明理由； 若 AC10，求四边形 ABCD 的面积 26 （16 分）如图，抛物线 yax22x+c（a0）与 x 轴交于 A、B（3，0）两点，与 y 轴 第 7页（共 25页） 交于点 C（0，3） ，抛物线的顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线的对称轴上，点 Q
12、 在 x 轴上，若以点 P、Q、B、C 为顶点，BC 为边 的四边形为平行四边形，请直接写出点 P、Q 的坐标； （3）已知点 M 是 x 轴上的动点，过点 M 作 x 的垂线交抛物线于点 G，是否存在这样的 点 M，使得以点 A、M、G 为顶点的三角形与BCD 相似，若存在，请求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由 第 8页（共 25页） 2021 年贵州省黔东南州中考数学试卷年贵州省黔东南州中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，分，10 个小题共个小题共 40 分分.） 1 （4 分）2021 的相反数是（） A2021B20
13、21C ? ? D? ? ? 【解答】解：2021 的相反数是2021， 故选：B 2 （4 分）下列运算正确的是（） A ? ? ?Ba3a2a6 C （a3）2a6Da2b2（ab）2 【解答】解：A 选项， ?和 ?不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误； B 选项，原式a5，故该选项错误； C 选项，原式a6，故该选项正确； D 选项，a2b2（a+b） （ab） ，故该选项错误； 故选：C 3 （4 分）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 30角的三角板的直角边和含 45角的三角板的直角边垂直，则1 的度数为（） A45B60C70D75 【解答】解：由题意得ABC，DEF
14、 为直角三角形，B45，E30，EFD 90， 第 9页（共 25页） AGEBGF45， 1E+AGE， 130+4575， 故选：D 4 （4 分）一个不透明的袋子中装有 2 个白球和 3 个黑球，这些球除了颜色外无其他差别， 从中摸出 3 个球，下列事件属于必然事件的是（） A至少有 1 个球是白色球B至少有 1 个球是黑色球 C至少有 2 个球是白球D至少有 2 个球是黑色球 【解答】解：至少有 1 个球是白球是随机事件，A 选项不正确； 至少有 1 个球是黑球是必然事件，B 选项正确； 至少有 2 个球是白球是随机事件，C 选项不正确； 至少有 2 个球是黑球是随机事件，D 选项不正
15、确； 故选：B 5 （4 分）由 4 个棱长均为 1 的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为 （） A18B15C12D6 【解答】解：正视图中正方形有 3 个； 左视图中正方形有 3 个； 俯视图中正方形有 3 个 则这个几何体表面正方形的个数是：2（3+3+3）18 第 10页（共 25页） 则几何体的表面积为 18 故选：A 6 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x2ax+60 的一个根是 2，则 a 的值为（） A2B3C4D5 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2ax+60 的一个根是 2， 222a+60， 解得 a5 故选：D 7 （4 分）如图，抛物线
16、L1：yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） ，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 L2， 则图中两个阴影部分的面积和为（） A1B2C3D4 【解答】解：如图所示， 过抛物线 L2的顶点 D 作 CDx 轴，与 y 轴交于点 C， 则四边形 OCDA 是矩形， 抛物线 L1：yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0， 第 11页（共 25页） 2） ， OB2，OA1， 将抛物线 L1向下平移两个单位长度得抛物线 L2，则 ADOC2， 根据平移的性质及抛物线的
17、对称性得到阴影部分的面积等于矩形 OCDA 的面积， S阴影部分S矩形OCDAOAAD122 故选：B 8 （4 分）如图，在 RtACB 中，ACB90，AC6，BC8，若以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，则 CD 的长为（） A? ? B? ? C?t ? D5 【解答】解：以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D， ADC90，即 CDAB 在 RtACB 中，ACB90，AC6，BC8， 则由勾股定理得到：AB? ? ?10 ? ?ACBC? ? ?ABCD，即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 CD? ?t ? 故选：C 9 （4 分）已知直线 yx+1
18、 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 是第一象限内的点， 若PAB 为等腰直角三角形，则点 P 的坐标为（） 第 12页（共 25页） A （1，1） B （1，1）或（1，2） C （1，1）或（1，2）或（2，1） D （0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1） 【解答】解：直线 yx+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 当 y0 时，x1，当 x0 时，y1； 故 A、B 两点坐标分别为 A（1，0） ，B（0，1） ， 点 P 是第一象限内的点且PAB 为等腰直角三角形， 当PAB90时，P 点坐标为（2，1） ； 当PBA90时，P 点坐标为（1，2）
19、； 当APB90时，P 点坐标为（1，1） ； 故选：C 10 （4 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，若将 AB 绕点 A 逆时针旋转 60，使点 B 落在点 B的位置， 连接 BB， 过点 D 作 DEBB， 交 BB的延长线于点 E， 则 B E 的长为（） A ? ? ?B? ? ? ?C? ? ?Dt ? ? 【解答】解：分别延长 AD 和 BE 交于点 F， 第 13页（共 25页） 由题知，AB2，ABF60， BFABcos602 ? ? ?4，AFBFcos604 ? ? ?2 ?，F90ABF 30， DFAFAD2 ? ?2， EFDFcosF（2 ? ?
20、?） ? ? ?3?， 由题知，ABB是等边三角形， BEBFBBEF42（3?）? ?1， 故选：A 二、填空题（每个小题二、填空题（每个小题 3 分，分，10 个小题共个小题共 30 分）分） 11 （3 分）目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止 2020 年 12 月底，基本医 疗保险覆盖超过 13 亿人，覆盖 94.6%以上的人口在这里，1300000000 用科学记数法表 示为1.3109 【解答】解：13000000001.3109 故答案为：1.3109 12 （3 分）分解因式：4ax24ay24a（xy） （x+y） 【解答】解：4ax24ay24a（x2y2） 4
21、a（xy） （x+y） 故答案为：4a（xy） （x+y） 13 （3 分）黔东南州某校今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两 队队员（各 50 名）的身高得到：平均身高（单位：cm）分别为：?甲?160，?乙?162方 差分别为：S2甲1.5，S2乙2.8现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上 一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择甲队 （填写“甲队”或“乙队” ） 【解答】解：S2甲1.5，S2乙2.8， 第 14页（共 25页） S2甲S2乙， 甲队身高比较整齐， 故答案为：甲队 14（3 分） 如图， BD 是菱形 ABCD 的一条对角线， 点 E 在 BC
22、 的延长线上， 若ADB32， 则DCE 的度数为64度 【解答】解：四边形 ABCD 为菱形， BCCD，ADBC， CBDBDC，CBDADB32， CBDBDC32， DCECBD+BDC64， 故答案为：64 15 （3 分）已知在平面直角坐标系中，AOB 的顶点分别为点 A（2，1） 、点 B（2，0） 、 点 O（0，0） ，若以原点 O 为位似中心，相似比为 2，将AOB 放大，则点 A 的对应点的 坐标为（4，2）或（4，2） 【解答】解：如图，观察图象可知，点 A 的对应点的坐标为（4，2）或（4，2） 故答案为： （4，2）或（4，2） 16 （3 分）不等式组 ? ? ?
23、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的解集是? ? ? ? ? t 第 15页（共 25页） 【解答】解：解不等式 5x+23（x1） ，得：x? ? ?， 解不等式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得：x4， 则不等式组的解集为? ? ? x4， 故答案为? ? ? x4 17 （3 分）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示） 让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端 AB，量的弧 AB 的中心 C 到 AB 的 距离 CD1.6cm，AB6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为4cm 【解答】解：C 点是? ?的中点，CDAB， CD
24、过圆心，ADBD? ? ?AB? ? ? ?6.43.2（cm） ， 设圆心为 O，连接 OA，如图， 设O 的半径为 Rcm，则 OD（R1.6）cm， 在 RtOAD 中， （R1.6）2+3.22R2，解得 R4（cm） ， 所以圆形瓦片所在圆的半径为 4cm 故答案为 4 18 （3 分）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计） ，若该圆锥 的底面圆周长为 20cm，侧面积为 240cm2，则这个扇形的圆心角的度数是150度 第 16页（共 25页） 【解答】解：设圆锥的母线长为 lcm，扇形的圆心角为 n， 圆锥的底面圆周长为 20cm， 圆锥的侧面展开图扇形的弧
25、长为 20cm， 由题意得：? ? ?20l240， 解得：l24， 则?t ? ?20， 解得，n150，即扇形的圆心角为 150， 故答案为：150 19 （3 分）如图，若反比例函数 y? ? ? 的图象经过等边三角形 POQ 的顶点 P，则POQ 的 边长为2 【解答】解：如图，过点 P 作 x 轴的垂线于 M， POQ 为等边三角形， OPOQ，OMQM? ? ?OQ， 设 P（a， ? ? ） ， 则 OMa，OQOP2a，PM? ? ? ， 在 RtOPM 中， PM? ? ?a， ? ? ?a， a1（负值舍去） ， OQ2a2， 故答案为：2 第 17页（共 25页） 20
26、（3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的函数图象经过点（1，2） ，且与 x 轴交 点的横坐标分别为 x1、x2，其中1x10，1x22，下列结论：abc0；2a+b 0；4a2b+c0；当 xm（1m2）时，am2+bm2c；b1，其中正确 的有 （填写正确的序号） 【解答】解：抛物线开口向下，a0，对称轴在 y 轴的右侧，a、b 异号，因此 b0，与 y 轴的交点在正半轴，c0， 所以 abc0，故错误； 对称轴在 01 之间，于是有 0? ? ?1，又 a0，所以 2a+b0，故正确； 当 x2 时，y4ab+c0，故错误； 当 xm（1m2）时，yam2+bm+c2，所以
27、 am2+bm2c，故正确； 当 x1 时，yab+c0，当 x1 时，ya+b+c2，所以2b2，即 b1，故 正确； 综上所述，正确的结论有：， 故答案为： 三、解答题（三、解答题（6 个小题，共个小题，共 80 分）分） 21 （14 分） （1）计算：2cos302 1? ? ? t ? ? ?t? ?t? ?； （2）先化简： ? ?t?t ? ? ? ? ?t ? ，然后 x 从 0、1、2 三个数中选一个你认为合适的 数代入求值 第 18页（共 25页） 【解答】解： （1）原式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （2）原式? ? ? ? ? ?
28、 ? ? ? x+2， x 取 0 或 2 时，原式无意义， x 只能取 1， 当 x1 时，原式3 22 （14 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛， 竞赛得分为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理， 绘制成不完整的统计图表 组别成绩 x（分）频数 A75.5x80.56 B80.5x85.514 C85.5x90.5m D90.5x95.5n E95.5x100.5p 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 m18，n8，p4 （2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图 （3）已
29、知该校有 1000 名学生参赛，请估计竞赛成绩在 90 分以上的学生有多少人？ （4）现要从 E 组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E 组中的小丽和 小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概 率 第 19页（共 25页） 【解答】解： （1）抽取的学生人数为：1428%50（人） ， m5036%18， 由题意得：p4， n506141848， 故答案为：18，8，4； （2）p+n+m4+8+1830， 这次调查成绩的中位数落在 C 组； 补全频数分布直方图如下： （3）? ?t ? ? ?t?人， 即估计竞赛成绩在 90 分以上的学生有 240
30、人； （4）将“小丽”和“小洁”分别记为：A、B，另两个同学分别记为：C、D 画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有 2 种， 恰好抽到小丽和小洁的概率为： ? ? ? ? ? 23 （12 分）如图，PA 是以 AC 为直径的O 的切线，切点为 A，过点 A 作 ABOP，交 O 于点 B （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 AB6，cosPAB? ? ?，求 PO 的长 第 20页（共 25页） 【解答】 （1）证明：连接 OB， PA 是以 AC 为直径的O 的切线，切点为 A， PAO90， OAOB，ABOP， POAPOB， 在PAO 和
31、PBO 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， PAOPBO（SAS） ， PBOPAO90， 即 OBPB， PB 是O 的切线； （2）解：设 OP 与 AB 交于点 D ABOP，AB6， 第 21页（共 25页） DADB3，PDAPDB90， ?th? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， PA5， PD? ? ? t， 在 RtAPD 和 RtAPO 中，?th? ? ? ?，?th? ? ? ?， ? ? ? ? ?， PO? ? ? ? ? t 24 （12 分）黔东南州某销售公司准备购进 A、B 两种商品，已知购进 3 件 A 商品和 2 件 B 商品，需要 1100
32、元；购进 5 件 A 商品和 3 件 B 商品，需要 1750 元 （1）求 A、B 两种商品的进货单价分别是多少元？ （2）若该公司购进 A 商品 200 件，B 商品 300 件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地 销售已知每件 A 商品运往甲、乙两地的运费分别为 20 元和 25 元；每件 B 商品运往甲、 乙两地的运费分别为 15 元和 24 元 若运往甲地的商品共 240 件， 运往乙地的商品共 260 件 设运往甲地的 A 商品为 x（件） ，投资总运费为 y（元） ，请写出 y 与 x 的函数关系式； 怎样调运 A、B 两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用 购
33、进商品的费用+运费） 【解答】解： （1）设 A 商品的进货单价为 x 元，B 商品的进货单价为 y 元， 根据题意，得 ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得： ? ? ? ? ? ?， 答：A 商品的进货单价为 200 元，B 商品的进货单价为 250 元； （2）设运往甲地的 A 商品为 x 件，则设运往乙地的 A 商品为（200 x）件， 运往甲地的 B 商品为（240 x）件，运往乙地的 B 商品为（60+x）件， 则 y20 x+25（200 x）+15（240 x）+24（60+x）4x+10040， y 与 x 的函数关系式为 y4x+10040； 投资总费用 w200200+
34、300250+4x+100404x+125040， 自变量的取值范围是：0 x200， k40， 第 22页（共 25页） y 随 x 增大而增大 当 x0 时，w 取得最小值，w最小125040（元） ， 最佳调运方案为： 调运 240 件 B 商品到甲地， 调运 200 件 A 商品、 60 件 B 商品到乙地， 最小费用为 125040 元 答：调运 240 件 B 商品到甲地，调运 200 件 A 商品、60 件 B 商品到乙地总费用最小，最 小费用为 125040 元 25 （12 分）在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分BAD 【探究发现】 （1）如图，若BAD120，ABC
35、ADC90求证：AD+ABAC； 【拓展迁移】 （2）如图，若BAD120，ABC+ADC180 猜想 AB、AD、AC 三条线段的数量关系，并说明理由； 若 AC10，求四边形 ABCD 的面积 【解答】解： （1）证明：AC 平分BAD，BAD120， DACBAC60 ADCABC90 ACDACB30， AD? ? ?，? ? ? ? ? AD+ABAC， （2）AD+ABAC， 理由：过点 C 分别作 CEAD 于 E，CFAB 于 F 第 23页（共 25页） AC 平分BAD，CEAD 于 E，CFAB， CFCE ABC+ADC180，EDC+ADC180， FBCEDC 在C
36、ED 和CFB 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， CFBCED（AAS） ， FBDE， AD+ABAD+FB+AFAD+DE+AFAE+AF， 在四边形 AFCE 中，由（1）题知：AE+AFAC， AD+ABAC， 在 RtACE 中，AC 平分BAD，BAD120， DACBAC60， 又AC10 CEACh? ? ?h?t? ? ?， CFCE，AD+ABAC， ?四边形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26 （16 分）如图，抛物线 yax22x+c（a0）与 x 轴交于
37、A、B（3，0）两点，与 y 轴 第 24页（共 25页） 交于点 C（0，3） ，抛物线的顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线的对称轴上，点 Q 在 x 轴上，若以点 P、Q、B、C 为顶点，BC 为边 的四边形为平行四边形，请直接写出点 P、Q 的坐标； （3）已知点 M 是 x 轴上的动点，过点 M 作 x 的垂线交抛物线于点 G，是否存在这样的 点 M，使得以点 A、M、G 为顶点的三角形与BCD 相似，若存在，请求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由 【解答】 解：（1） 将点B （3， 0） ， C （0， 3） 分别代入yax22x+c中， 得：? ?
38、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得 ? ? ? ? ? ?， 抛物线得函数关系为 yx22x3； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为 x? ? ? ?1， 故设点 P（1，m） ， 设点 Q（x，0） ， 当以点 P、Q、B、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形时， 点 C 向右平移 3 个单位向上平移 3 个单位得到点 B，同样 P（Q）向右平移 3 个单位向上 平移 3 个单位得到点 Q（P） ， 则 13x 且 m30， 解得 ? ? ? ? ? t 或 ? ? ? ? ? ?， 故点 P、Q 的坐标分别为（1，3） 、 （4，0）或（1，3） 、 （2，0） ； 第
39、 25页（共 25页） （3）当 y0 时，x22x30，解得：x11，x23， A（1，0） ， 又 yx22x3（x1）24， 抛物线得顶点 D 得坐标为（1，4） ， C（0，3） 、B（3，0） 、D（1，4） ， BD222+4220，CD212+12，BC232+32， BD2CD2+BC2， BDC 是直角三角形，且BCD90， 设点 M 得坐标（m，0） ，则点 G 得坐标为（m，m22m3） ， 根据题意知：AMGBCD90， 要使以 A、 M、 G 为顶点得三角形与BCD 相似， 需要满足条件： ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ?， 当 m1 时，此时有： ? ?
40、? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ?， 解得：? ? ?，m21 或 m10，m21，都不符合 m1，所以 m1 时无解； 当1m3 时，此时有： ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ?， 解得：? ? ?，m21（不符合要求，舍去）或 m10，m21（不符合要求，舍去） ， M（? ? ，?）或 M（0，0） ， 当 m3 时，此时有： ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ?， 解得：? ? ? ，? ?（不符合要求，舍去）或 m16，m21（不符要求，舍去） ， 点 M（6，0）或 M（? ? ，0） ， 答：存在点 M，使得 A、M、G 为顶点得三角形与BCD 相似，点 M 的坐标为：M（0， 0）或 M（? ?，0）或 M（6，0）或 M（ ? ? ，0）
