1、第 1页（共 24页） 2021 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1 （3 分）? ? ?的绝对值是（ ） A7B7C? ? ? D? ? 2 （3 分）下列运算一定正确的是（） Aa2aa3B （a3）2a5 C （a1）2a21Da5a2a3 3 （3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） ABCD 4 （3 分）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（） ABCD 5（3 分） 如图， AB 是O 的直径， BC 是O 的切线， 点 B 为切点， 若 A
2、B8， tanBAC? ? ?， 则 BC 的长为（） A8B7C10D6 6 （3 分）方程 ? ? ? ? ?的解为（ ） Ax5Bx3Cx1Dx2 7 （3 分）如图，ABCDEC，点 A 和点 D 是对应顶点，点 B 和点 E 是对应顶点，过 点 A 作 AFCD，垂足为点 F，若BCE65，则CAF 的度数为（） 第 2页（共 24页） A30B25C35D65 8 （3 分）一个不透明的袋子中装有 12 个小球，其中 8 个红球、4 个黄球，这些小球除颜色 外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（） A? ? B? ? C ? ? D? ? 9 （3 分
3、）如图，在ABC 中，DEBC，AD2，BD3，AC10，则 AE 的长为（） A3B4C5D6 10 （3 分）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家在 整个过程中，小辉离家的距离 s（单位：m）与他所用的时间 t（单位：min）之间的关系 如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（） A75m/min，90m/minB80m/min，90m/min C75m/min，100m/minD80m/min，100m/min 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 11 （3 分）火星赤道半径约为 3396000
4、米，用科学记数法表示为米 12 （3 分）在函数 y? ? ?中，自变量 x 的取值范围是 13 （3 分）已知反比例函数 y? ? ?的图象经过点（2，5） ，则 k 的值为 第 3页（共 24页） 14 （3 分）计算 ?t ?2 ? ?的结果是 15 （3 分）把多项式 a2b25b 分解因式的结果是 16 （3 分）二次函数 y3x22 的最大值为 17 （3 分）不等式组 ? ? ? ? ? ? ?的解集是 18 （3 分）四边形 ABCD 是平行四边形，AB6，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，若 CE2，则 ABCD 的周长为 19 （3 分）一个扇形的弧长是 8cm，圆心
5、角是 144，则此扇形的半径是cm 20 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC，垂足为 点 E ， 过 点 A 作 AF OB ， 垂 足为 点 F 若 BC 2AF ， OD 6 ， 则 BE 的 长 为 三、解答题（其中三、解答题（其中 21-22 题各题各 7 分，分，23-2 题各题各 8 分，分，25-27 题各题各 10 分，共计分，共计 60 分）分） 21 （7 分）先化简，再求代数式（ ? ? ? ? ?） ? ?的值，其中 a2sin451 22 （7 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ABC 的
6、顶点和线段 DE 的端点均在小正方形的顶点上 （1）在方格纸中将ABC 向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度后得到 MNP（点 A 的对应点是点 M，点 B 的对应点是点 N，点 C 的对应点是点 P） ，请画出 MNP； （2） 在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF （点F在小正方形的顶点上） 连 接 FP，请直接写出线段 FP 的长 第 4页（共 24页） 23 （8 分）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰 球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选 一种） ”的问题，在全校范围内随机抽取部分学
7、生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制 成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的 40%请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若春宁中学共有 1500 名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名 24 （8 分）已知四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 DA 的延长线上，连接 CE 交 AB 于点 G， 过点 B 作 BMCE，垂足为点 M，BM 的延长线交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 H （1）如图 1，求证：CEBH； （2）如图 2，若 AEAB，
8、连接 CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中 的四个三角形（AEG 除外） ，使写出的每个三角形都与AEG 全等 25 （10 分）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的 A、B 两种型号的毛笔若购买 3 支 第 5页（共 24页） A 种型号的毛笔和 1 支 B 种型号的毛笔需用 22 元；若购买 2 支 A 种型号的毛笔和 3 支 B 种型号的毛笔需用 24 元 （1）求每支 A 种型号的毛笔和每支 B 种型号的毛笔各多少元； （2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共 80 支，总费用不超过 420 元，那么该中 学最多可以购买多少支 A 种型号的毛笔？ 26 （10 分）
9、已知O 是ABC 的外接圆，AB 为O 的直径，点 N 为 AC 的中点，连接 ON 并延长交O 于点 E，连接 BE，BE 交 AC 于点 D （1）如图 1，求证：CDE? ? ?BAC135； （2）如图 2，过点 D 作 DGBE，DG 交 AB 于点 F，交O 于点 G，连接 OG，OD，若 DGBD，求证：OGAC； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AG，若 DN? ? ? ? ，求 AG 的长 27 （10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标系的原点，抛物线 yax2+bx 经过 A（10， 0） ，B（? ?，6）两点，直线 y2x4 与 x 轴交于点 C，与 y
10、轴交于点 D，点 P 为直线 y 2x4 上的一个动点，连接 PA （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当点 P 在第一象限时，设点 P 的横坐标为 t，APC 的面积为 S，求 S 关 于 t 的函数解析式（不要求写出自变量 t 的取值范围） ； （3）如图 2，在（2）的条件下，点 E 在 y 轴的正半轴上，且 OEOD，连接 CE，当直 线 BP 交 x 轴正半轴于点 L，交 y 轴于点 V 时，过点 P 作 PGCE 交 x 轴于点 G，过点 G 作 y 轴的平行线交线段 VL 于点 F，连接 CF，过点 G 作 GQCF 交线段 VL 于点 Q， CFG 的平分线交 x 轴于点
11、 M，过点 M 作 MHCF 交 FG 于点 H，过点 H 作 HRCF 于 点 R，若 FR+MHGQ，求点 P 的坐标 第 6页（共 24页） 第 7页（共 24页） 2021 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1 （3 分）? ? ?的绝对值是（ ） A7B7C? ? ? D? ? 【解答】解：? ? ? ? ? ? ? ?， 故选：D 2 （3 分）下列运算一定正确的是（） Aa2aa3B （a3）2a5 C （a1）2a21Da5a2a3 【解
12、答】解：A、a2aa3，原计算正确，故此选项符合题意； B、 （a2）3a6，原计算错误，故此选项不符合题意； C、 （a1）2a22a+1，原计算错误，故此选项不符合题意； D、a5与 a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意 故选：A 3 （3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） ABCD 【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 4 （3 分）八个大小相同的正
13、方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（） 第 8页（共 24页） ABCD 【解答】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为 2、1、2， 故选：C 5（3 分） 如图， AB 是O 的直径， BC 是O 的切线， 点 B 为切点， 若 AB8， tanBAC? ? ?， 则 BC 的长为（） A8B7C10D6 【解答】解：AB 是O 的直径，BC 是O 的切线， ABBC， ABC90， tanBAC? ? ? ? ? ?， BC? ? ? ?86 故选：D 6 （3 分）方程 ? ? ? ? ?的解为（ ） Ax5Bx3Cx1Dx2 【解答】解：去分母得：3x12（2+x） ，
14、去括号得：3x14+2x， 移项合并得：x5， 检验：当 x5 时， （2+x）（3x1）0， 分式方程的解为 x5 故选：A 7 （3 分）如图，ABCDEC，点 A 和点 D 是对应顶点，点 B 和点 E 是对应顶点，过 点 A 作 AFCD，垂足为点 F，若BCE65，则CAF 的度数为（） 第 9页（共 24页） A30B25C35D65 【解答】解：ABCDEC， ACBDCE， BCE65， ACDBCE65， AFCD， AFC90， CAF+ACD90， CAF906525， 故选：B 8 （3 分）一个不透明的袋子中装有 12 个小球，其中 8 个红球、4 个黄球，这些小球除
15、颜色 外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（） A? ? B? ? C ? ? D? ? 【解答】解：从袋子中随机摸出一个小球共有 12 种等可能结果，摸出的小球是红球的 结果数为 8， 摸出的小球是红球的概率为 t ? ? ? ?， 故选：D 9 （3 分）如图，在ABC 中，DEBC，AD2，BD3，AC10，则 AE 的长为（） A3B4C5D6 【解答】解：DEBC， 第 10页（共 24页） ? ? ? ? ?， AD2，BD3，AC10， ? ? ? ? ?， AE4 故选：B 10 （3 分）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按
16、原路回家在 整个过程中，小辉离家的距离 s（单位：m）与他所用的时间 t（单位：min）之间的关系 如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（） A75m/min，90m/minB80m/min，90m/min C75m/min，100m/minD80m/min，100m/min 【解答】解：由题意，得： 小辉从家去图书馆的速度为：15002075（m/min） ； 小辉从图书馆回家的速度为：1500（7055）100（m/min） 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 11 （3 分）火星赤道半径约为 3396000 米，用
17、科学记数法表示为3.396106米 【解答】解：33960003.396106 故答案是：3.396106 12 （3 分）在函数 y? ? ?中，自变量 x 的取值范围是 x? ? ? 【解答】解：7x50，x? ? ? 故答案为：x? ? ? 13 （3 分）已知反比例函数 y? ? ?的图象经过点（2，5） ，则 k 的值为 10 【解答】解：反比例函数 y? ? ?的图象经过点（2，5） ， 第 11页（共 24页） k2（5）10， 故答案为：10 14 （3 分）计算 ?t ?2 ? ?的结果是 2 ? 【解答】解：原式3 ? ?2 ? ? 3 ? ? 2 ? 故答案为：2 ? 1
18、5 （3 分）把多项式 a2b25b 分解因式的结果是b（a+5） （a5） 【解答】解：a2b25b b（a225） b（a+5） （a5） 故答案为：b（a+5） （a5） 16 （3 分）二次函数 y3x22 的最大值为2 【解答】解：在二次函数 y3x22 中， 顶点坐标为（0，2） ， 且 a30， 抛物线开口向下， 二次函数 y3x22 的最大值为2 故答案为：2 17 （3 分）不等式组 ? ? ? ? ? ? ?的解集是 x3 【解答】解：解不等式 3x72，得：x3， 解不等式 x510，得：x15， 则不等式组的解集为 x3， 故答案为：x3 18 （3 分）四边形 ABC
19、D 是平行四边形，AB6，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，若 CE2，则 ABCD 的周长为20 或 28 【解答】解：当 E 点在线段 BC 上时，如图： 第 12页（共 24页） 四边形 ABCD 为平行四边形， BCAD， BEAEAD， AE 平分BAD， BAEEAD， BEABAE， BEAB， AB6， BE6， CE2， BCBE+CE6+28， 平行四边形 ABCD 的周长为：2（6+8）28， 当 E 点在线段 BC 延长线上时，如图： 四边形 ABCD 为平行四边形， BCAD， BEAEAD， AE 平分BAD， BAEEAD， BEABAE， BEAB， AB
20、6， BE6， 第 13页（共 24页） CE2， BCBECE624， 平行四边形 ABCD 的周长为：2（6+4）20， 综上，平行四边形 ABCD 的周长为 20 或 28 故答案为 20 或 28 19 （3 分）一个扇形的弧长是 8cm，圆心角是 144，则此扇形的半径是10cm 【解答】解：设扇形的半径为 rcm，由题意得， ? ?t? ?8， 解得 r10（cm） ， 故答案为：10 20 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC，垂足为 点 E，过点 A 作 AFOB，垂足为点 F若 BC2AF，OD6，则 BE 的长为3 ?
21、【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， OAOBOCOD， OEBC， BECE，BOECOE， 又BC2AF， AFBE， 在 RtAFO 和 RtBEO 中， ? ? ?t ? ?t， RtAFORtBEO（HL） ， AOFBOE， AOFBOECOE， 又AOF+BOE+COE180， 第 14页（共 24页） BOE60， OBOD6， BEOBsin606 ? ? ?3 ?， 故答案为：3 ? 三、解答题（其中三、解答题（其中 21-22 题各题各 7 分，分，23-2 题各题各 8 分，分，25-27 题各题各 10 分，共计分，共计 60 分）分） 21 （7 分）先化简，再求
22、代数式（ ? ? ? ? ?） ? ?的值，其中 a2sin451 【解答】解：原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 a2sin4512 ? ? ?1? ?1 时， 原式? ? ? ? ? ? 22 （7 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ABC 的顶点和线段 DE 的端点均在小正方形的顶点上 （1）在方格纸中将ABC 向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度后得到 MNP（点 A 的对应点是点 M，点 B 的对应点是点 N，点 C 的对应点是点 P） ，请画出 M
23、NP； （2） 在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF （点F在小正方形的顶点上） 连 接 FP，请直接写出线段 FP 的长 第 15页（共 24页） 【解答】解： （1）如图，MNP 为所作； （2）如图，DEF 为所作； FP? ? 23 （8 分）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰 球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选 一种） ”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制 成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的 40%请你根据图中提供的信息解
24、答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若春宁中学共有 1500 名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名 【解答】解： （1）本次调查共抽取的学生数有：2440%60（名） ； （2）最喜欢冰球项目的人数有：601624128（名） ，补全统计图如下： 第 16页（共 24页） （3）根据题意得： 1500 ? ? ?300（名） ， 答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有 300 名 24 （8 分）已知四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 DA 的延长线上，连接 CE 交 AB 于点 G， 过点 B 作 BMCE，
25、垂足为点 M，BM 的延长线交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 H （1）如图 1，求证：CEBH； （2）如图 2，若 AEAB，连接 CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中 的四个三角形（AEG 除外） ，使写出的每个三角形都与AEG 全等 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是正方形， BCCDADAB，BCDADC90， BMCE， HMCADC90， H+HCM90E+ECD， 第 17页（共 24页） HE， 在EDC 和HCB 中， ? ? ? ? ? b? ? ? ? ， EDCHCB（AAS） ， CEBH； （2）BCG，DCF，DHF，ABF，
26、 理由如下：AEAB， AEBCADCD， EDCHCB， EDHC， ADCD， AEHDCDAB， 在AEG 和BCG 中， ?h ?h ? b? ?h ? ?h? ? ? ? ， AEGBCG（AAS） ， AGBG? ? ?AB， 同理可证AFBDFH， AFDF? ? ?AD， AGAFDF， 在AEG 和ABF 中， ? ? ? ?h ? ? ? b? ?h ? ? ， AEGABF（SAS） ， 同理可证AEGDHF，AEGDCF 25 （10 分）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的 A、B 两种型号的毛笔若购买 3 支 A 种型号的毛笔和 1 支 B 种型号的毛笔需用 22
27、元；若购买 2 支 A 种型号的毛笔和 3 支 B 种型号的毛笔需用 24 元 第 18页（共 24页） （1）求每支 A 种型号的毛笔和每支 B 种型号的毛笔各多少元； （2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共 80 支，总费用不超过 420 元，那么该中 学最多可以购买多少支 A 种型号的毛笔？ 【解答】解： （1）设每支 A 种型号的毛笔 x 元，每支 B 种型号的毛笔 y 元； 由题意可得： ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得： ? ? ? ? ?， 答：每支 A 种型号的毛笔 6 元，每支 B 种型号的毛笔 4 元； （2）设 A 种型号的毛笔为 a 支， 由题意可得：6a+4
28、（80a）420， 解得：a50， 答：最多可以购买 50 支 A 种型号的毛笔 26 （10 分）已知O 是ABC 的外接圆，AB 为O 的直径，点 N 为 AC 的中点，连接 ON 并延长交O 于点 E，连接 BE，BE 交 AC 于点 D （1）如图 1，求证：CDE? ? ?BAC135； （2）如图 2，过点 D 作 DGBE，DG 交 AB 于点 F，交O 于点 G，连接 OG，OD，若 DGBD，求证：OGAC； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AG，若 DN? ? ? ? ，求 AG 的长 【解答】 （1）证明：如图 1，过点 O 作 OPBC，交O 于点 P，连接 A
29、P 交 BE 于 Q， 第 19页（共 24页） ? ? ? ? ?， BAPCAP， 点 N 为 AC 的中点， ? ? ? ? ?， ABECBE， AB 是O 的直径， C90， BAC+ABC90， QAB+QBA? ? ? ?9045， AQBEQP135， AQD 中，EQPCAP+ADQ135， CDE? ? ?BAC135； （2）证明：在DGO 和DBO 中， ?h ? ? t? ? t? th ? t? ， DGODBO（SSS） ， ABDDGO， DGBE， GDB90， ADG+BDC90， BDC+CBE90， ADGCBEABDDGO， OGAD； 第 20页（共
30、 24页） （3）解：如图 3，过点 G 作 GKAC 于 K，延长 GO 交 BC 于点 H， 由（2）知：OGAC， GHAC， OHBC90， OHBC， BHCH， KCOHC90， 四边形 GHCK 是矩形， CHGK， 设 GKy，则 BC2y，ONGKy， 由（2）知：ADGDBC， 在GKD 和DCB 中， ?h ? ? ? ? ?h ? ? ， GKDDCB（AAS） ， GKDCy， OEBC， EDBC， tanDBCtanE， ? ? ? ?t t，即 ? ? ? ? ? t ， EN? ? ? ? ， 第 21页（共 24页） ANCNy? ? ? ? ，ONy， 由
31、勾股定理得：AO2ON2+AN2， （y? ? ? ? ）2y2+（y? ? ? ? ）2， 解得：y1? ? ? ? （舍） ，y2? ? ? ? ， AG?h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 27 （10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标系的原点，抛物线 yax2+bx 经过 A（10， 0） ，B（? ?，6）两点，直线 y2x4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，点 P 为直线 y 2x4 上的一个动点，连接 PA （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当点 P 在第一象限时，设点 P 的横坐标为 t，APC 的面积为 S，求 S
32、 关 于 t 的函数解析式（不要求写出自变量 t 的取值范围） ； （3）如图 2，在（2）的条件下，点 E 在 y 轴的正半轴上，且 OEOD，连接 CE，当直 线 BP 交 x 轴正半轴于点 L，交 y 轴于点 V 时，过点 P 作 PGCE 交 x 轴于点 G，过点 G 作 y 轴的平行线交线段 VL 于点 F，连接 CF，过点 G 作 GQCF 交线段 VL 于点 Q， CFG 的平分线交 x 轴于点 M，过点 M 作 MHCF 交 FG 于点 H，过点 H 作 HRCF 于 点 R，若 FR+MHGQ，求点 P 的坐标 【解答】解： （1）把 A（10，0） ，B（? ?，6）代入
33、yax 2+bx，得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得 ? ? t ? ? ? ? ， 第 22页（共 24页） 抛物线的解析式为 y? t ?x 2? ? x （2）直线 y2x4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D， C（2，0） ，D（0，4） ， A（10，0） ， OA10，OC2， AC8， 由题意 P（t，2t4） ， S? ? ?PTAC? ? ? ?8（2t4）8t16 （3）如图 2 中，过点 P 作 PTCG 于 T，交 CF 于 W，过点 F 作 FJMH 交 MH 的延长 线于 J，连接 JQ PTCG， PTCODC90， ODPT
34、， ODCCPT， tanCPTtanODC? t? t? ? ? ? ? ? ?， HRRF，FJMJ，MHCF， RHMJ， FRHRHJFJH90， 第 23页（共 24页） 四边形 RFJH 是矩形， RFHJ， RF+HMMH+HJMJGQ，MJGQ， 四边形 MJQG 是平行四边形， JQGM，JQGGMJ， MF 平分CFG， CFMMFG， CFMH， FMHCFM， FMHMFH， FHHM， MGHFJH90，MHGFHJ， MHGFHJ（AAS） ， MGFJJQ，GMHHFJ， JFQJQF，GFJGQJ， GFQGQF， CFGQ，PTFG， WPFGFQ，WFPGQ
35、F， WPFWFP， WPWF， D，E 关于 x 轴对称， ECODCOPCG， ECPG， PGCECO， PCGPGC， PCPG， PTCG， CTTG， WTFG， CWWF， 第 24页（共 24页） WPWCWF， CPF90， LCP+PLC90， ODC+OCD90，OCDLCP， PLCODC， tanPLCtanODC? ? ?， B（? ?，6） ， OL? ? ? ?12? ?b ? ， L（?b ? ，0） ， 直线 PB 的解析式为 y? ? ?x? ?b ? ， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ?b ? ，解得 ? ? b ? ? ? ， P（b ?，5）
