1、第 1页（共 25页） 2021 年江苏省南京市中考数学试卷年江苏省南京市中考数学试卷 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 12 分分.在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中，恰有恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （2 分）截至 2021 年 6 月 8 日，31 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报 告接种新冠病毒疫苗超过 800000000 剂次用科学记数法表示 800000000 是（） A8108B0
2、.8109C8109D0.81010 2 （2 分）计算（a2）3a 3 的结果是（） Aa2Ba3Ca5Da9 3 （2 分）下列长度的三条线段与长度为 5 的线段能组成四边形的是（） A1，1，1B1，1，8C1，2，2D2，2，2 4 （2 分）北京与莫斯科的时差为 5 小时，例如，北京时间 13：00，同一时刻的莫斯科时间 是 8：00小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间 9：0017：00 之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（） A10：00B12：00C15：00D18：00 5 （2 分）一般地，如果 xna（n 为正整数，且 n1） ，那么 x 叫
3、做 a 的 n 次方根下列结 论中正确的是（） A16 的 4 次方根是 2 B32 的 5 次方根是2 C当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增大而减小 D当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增大而增大 6 （2 分）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这 条对角线所确定的平面垂直于纸板在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的 形状可以是（） ABCD 第 2页（共 25页） 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上） 7
4、 （2 分）（2）；|2| 8 （2 分）若式子 ?在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 9 （2 分）计算 ? ? ? ?的结果是 10 （2 分）设 x1，x2是关于 x 的方程 x23x+k0 的两个根，且 x12x2，则 k 11 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，AOB 的边 AO，AB 的中点 C，D 的横坐标分别 是 1，4，则点 B 的横坐标是 12 （2 分）如图，AB 是O 的弦，C 是?t ?的中点，OC 交 AB 于点 D若 AB8cm，CD 2cm，则O 的半径为cm 13 （2 分）如图，正比例函数 ykx 与函数 y? ? 的图象交于 A，B 两点，BCx
5、轴，ACy 轴，则 SABC 第 3页（共 25页） 14 （2 分）如图，FA，GB，HC，ID，JE 是五边形 ABCDE 的外接圆的切线，则BAF+ CBG+DCH+EDI+AEJ 15 （2 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABBCBD设ABC，则ADC （用含的代数式表示） 16 （2 分）如图，将 ABCD 绕点 A 逆时针旋转到 ABCD的位置，使点 B落在 BC 上，BC与 CD 交于点 E若 AB3，BC4，BB1，则 CE 的长 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内
6、作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤） 17 （7 分）解不等式 1+2（x1）3，并在数轴上表示解集 18 （7 分）解方程 ? th t h ? ?h 19 （7 分）计算? ? ?t? ? ? ?t? t ? ?t? ? ? ? ? 第 4页（共 25页） 20 （8 分）如图，AC 与 BD 交于点 O，OAOD，ABODCO，E 为 BC 延长线上一点， 过点 E 作 EFCD，交 BD 的延长线于点 F （1）求证AOBDOC； （2）若 AB2，BC3，CE1，求 EF 的长 21 （8 分）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进
7、行了调查通过简单 随机抽样，获得了 100 个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排 列，其中部分数据如表： 序号1225265051757699100 月均 用水 量/t 1.31.34.54.56.46.8111325.628 （1）求这组数据的中位数已知这组数据的平均数为 9.2t，你对它与中位数的差异有什 么看法？ （2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按 1.5 倍价格 收费若要使 75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？ 22 （8 分）不透明的袋子中装有 2 个红球、1 个白球，这些球除颜色外无其他差别 （1）从袋子中
8、随机摸出 1 个球，放回并摇匀，再随机摸出 1 个球求两次摸出的球都是 红球的概率 （2）从袋子中随机摸出 1 个球，如果是红球，不放回再随机摸出 1 个球；如果是白球， 放回并摇匀， 再随机摸出 1 个球 两次摸出的球都是白球的概率是 23 （8 分）如图，为了测量河对岸两点 A，B 之间的距离，在河岸这边取点 C，D测得 CD 80m，ACD90，BCD45，ADC1917，BDC5619设 A， B，C，D 在同一平面内，求 A，B 两点之间的距离 （参考数据：tan19170.35，tan56191.50 ） 第 5页（共 25页） 24 （8 分）甲、乙两人沿同一直道从 A 地去 B
9、 地甲比乙早 1min 出发，乙的速度是甲的 2 倍在整个行程中，甲离 A 地的距离 y1（单位：m）与时间 x（单位：min）之间的函数 关系如图所示 （1）在图中画出乙离 A 地的距离 y2（单位：m）与时间 x 之间的函数图象； （2）若甲比乙晚 5min 到达 B 地，求甲整个行程所用的时间 25 （8 分）如图，已知 P 是O 外一点用两种不同的方法过点 P 作O 的一条切线 要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明 26 （10 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（2，1） ， （2，3）两点 （1）求 b 的值； （2）当 c1 时
10、，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 （3）设（m，0）是该函数的图象与 x 轴的一个公共点当1m3 时，结合函数的图 象，直接写出 a 的取值范围 第 6页（共 25页） 27 （9 分）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图，圆锥的母线长为 12cm，B 为母线 OC 的中点，点 A 在底面圆周上，?宋 ? 的长为 4cm在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路 径，并标出它的长（结果保留根号） （2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成O 是圆锥的顶点，点 A 在圆 柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为 l，圆柱的高为 h 蚂蚁从点 A 爬行到
11、点 O 的最短路径的长为（用含 l，h 的代数式表示） 设? ?的长为 a，点 B 在母线 OC 上，OBb圆柱的侧面展开图如图所示，在图中 画出蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路 第 7页（共 25页） 2021 年江苏省南京市中考数学试卷年江苏省南京市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 12 分分.在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中，恰有恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请
12、将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （2 分）截至 2021 年 6 月 8 日，31 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报 告接种新冠病毒疫苗超过 800000000 剂次用科学记数法表示 800000000 是（） A8108B0.8109C8109D0.81010 【解答】解：将 800000000 用科学记数法表示为：8108 故选：A 2 （2 分）计算（a2）3a 3 的结果是（） Aa2Ba3Ca5Da9 【解答】解： （a2）3a 3a6a3a63a3 故选：B 3 （2 分）下列长度的三条线段与长度为 5 的线段能组成四边形的是（） A1，1，1B1
13、，1，8C1，2，2D2，2，2 【解答】解：A、1+1+135， 此三条线段与长度为 5 的线段不能组成四边形，故不符合题意； B、1+1+578， 此三条线段与长度为 5 的线段不能组成四边形，故不符合题意； C、1+2+25， 此三条线段与长度为 5 的线段不能组成四边形，故不符合题意； D、2+2+265， 此三条线段与长度为 5 的线段能组成四边形，故符合题意； 故选：D 4 （2 分）北京与莫斯科的时差为 5 小时，例如，北京时间 13：00，同一时刻的莫斯科时间 是 8：00小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间 9：0017：00 之间选择一个时刻开始通话，这个时
14、刻可以是北京时间（） A10：00B12：00C15：00D18：00 【解答】解：由题意得，北京时间比莫斯科时间晚 5 小时， 第 8页（共 25页） 当莫斯科时间为 9：00，则北京时间为 14：00；当北京时间为 17：00，则莫斯科时间为 12：00； 所以这个时刻可以是 14：00 到 17：00 之间， 所以这个时刻可以是北京时间 15：00 故选：C 5 （2 分）一般地，如果 xna（n 为正整数，且 n1） ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根下列结 论中正确的是（） A16 的 4 次方根是 2 B32 的 5 次方根是2 C当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增
15、大而减小 D当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增大而增大 【解答】解：A、（2）416， 16 的 4 次方根是2，故 A 不正确； B、32 的 5 次方根是 2，故 B 不正确； C、设 x? ? ?，y? ? ?，则 x152532，y15238， x15y15且 x1，y1， xy， 当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增大而减小，故 C 选项正确； D、当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增大而减小，故 D 不选项正确； 故选：C 6 （2 分）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这 条对角线所确定的平面垂直于纸板在灯光
16、照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的 形状可以是（） ABCD 【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点） 第 9页（共 25页） 与这条对角线所确定的平面垂直于纸板， 在地面上的投影关于对角线对称， 灯在纸板上方， 上方投影比下方投影要长， 故选：D 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上） 7 （2 分）（2）2；|2|2 【解答】解：（2）2；|2|2， 故答案为：2；2 8 （2 分）若式子 ?在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
17、x0 【解答】解：依题意有 5x0， 解得：x0 故答案为：x0 9 （2 分）计算 ? ? ? ?的结果是 ? ? 【解答】解： ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为： ? ? 10 （2 分）设 x1，x2是关于 x 的方程 x23x+k0 的两个根，且 x12x2，则 k2 【解答】解：根据题意，知 x1+x23x23，则 x21， 将其代入关于 x 的方程 x23x+k0，得 1231+k0 解得 k2 故答案是：2 11 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，AOB 的边 AO，AB 的中点 C，D 的横坐标分别 是 1，
18、4，则点 B 的横坐标是6 第 10页（共 25页） 【解答】解：边 AO，AB 的中点为点 C、D， CD 是OAB 的中位线，CDOB， 点 C，D 的横坐标分别是 1，4， CD3， OB2CD6， 点 B 的横坐标为 6 故答案为：6 12 （2 分）如图，AB 是O 的弦，C 是?t ?的中点，OC 交 AB 于点 D若 AB8cm，CD 2cm，则O 的半径为5cm 【解答】解：如图，连接 OA， C 是?t ?的中点， D 是弦 AB 的中点， OCAB，ADBD4， 第 11页（共 25页） OAOC，CD2， ODOCCDOACD， 在 RtOAD 中， OA2AD2+OD2
19、，即 OA216+（OA2）2， 解得 OA5， 故答案为：5 13 （2 分）如图，正比例函数 ykx 与函数 y? ? 的图象交于 A，B 两点，BCx 轴，ACy 轴，则 SABC12 【解答】解：方法一：连接 OC，设 AC 交 x 轴于点 N，BC 交 y 轴于 M 点， 正比例函数 ykx 与函数 y? ? 的图象交于 A，B 两点， 点 A 与点 B 关于原点对称， SAONSOBM， BCx 轴，ACy 轴， SAONSCON，SOBMSOCM， 即 SABC4SAON4 h ?xAyA4 h ? ? ? ?12； 方法二：根据题意设 A（t，? ?） ， 正比例函数 ykx
20、与函数 y? ? 的图象交于 A，B 两点， B（t，? ? ?） ， BCx 轴，ACy 轴， C（t，? ? ?） ， 第 12页（共 25页） SABC? h ?BCAC? h ? ?t（t）? ? ?（? ? ?）12； 故答案为：12 14 （2 分）如图，FA，GB，HC，ID，JE 是五边形 ABCDE 的外接圆的切线，则BAF+ CBG+DCH+EDI+AEJ180 【解答】解：如图，设圆心为 O，连接 OA，OB，OC，OD 和 OE， FA，GB，HC，ID，JE 是五边形 ABCDE 的外接圆的切线， OAFOBGOCHODIOEJ90， 即（BAF+OAB）+（CBG+
21、OBC）+（DCH+OCD）+（EDI+ODE）+（ AEJ+OEA）905450， OAOBOCODOE， OABOBA， OBCOCB， OCDODC， ODEOED， OEAOAE， OAB+OBC+OCD+ODE+OEA? h ? ?五边形 ABCDE 内角和? h ? ? ? ? ? h?h? ?270， BAF+CBG+DCH+EDI+AEJ（BAF+OAB）+（CBG+OBC）+（ DCH+OCD）+（EDI+ODE）+（AEJ+OEA）（OAB+OBC+OCD+ ODE+OEA）450270180， 第 13页（共 25页） 故答案为：180 15 （2 分）如图，在四边形 A
22、BCD 中，ABBCBD设ABC，则ADC180? ? ? （用含的代数式表示） 【解答】解：ABBDBC， BADBDA，BDCBCD， 四边形内角和为 360， ABD+BAD+BDA+DBC+BDC+BCD360， ABC+ADB+ADB+BDC+BDC360， 即ABC+2ADB+2BDC360， ABC，ADB+BDCADC， 2ADC360， ?宋 ? h?h? ? ? 故答案为：180? ? ? 16 （2 分）如图，将 ABCD 绕点 A 逆时针旋转到 ABCD的位置，使点 B落在 BC 上，BC与 CD 交于点 E若 AB3，BC4，BB1，则 CE 的长为 ? ? 第 14
23、页（共 25页） 【解答】解：法一、如图，过点 A 作 AMBC 于点 M，过点 B 作 BNAB于点 N，过 点 E 作 EGBC，交 BC 的延长线于点 G 由旋转可知，ABAB3，ABBABC， ABBABBABC， BB1，AMBB， BMBM? h ?， AM?t? t? ? ? ， SABB? h ? ? ? ? tt ? h ? ? tt ? ?t， h ? ? ? ? ?1? h ?BN3，则 BN? ? ? ， AN?t? tt? ? ? ? ? h? ? ， ABDC， ECGABC， AMBEGC90， AMBEGC， ? t? ? ?t 宋t ? ? ? h ? ?，
24、设 CGa，则 EG?a， 第 15页（共 25页） ABB+ABB+BAB180， ABB+ABC+CBC180， 又ABBABBABC， BABCBC， ANBEGC90， ANBBGE， ?t tt ? tt ?t ? h? ? ? ? ? h? ?， BC4，BB1， BC3，BG3+a， ?t? ? ? h? ?，解得 a? ? h? CG? ? h?，EG? ? h? ?， EC?宋t?t ?t? ? h? ?t ? ? h? ? ? ? 故答案为：? ? 法二、如图，连接 DD， 由旋转可知，BABDAD，ABAB3，ADAD4， BABDAD， AB：BBAD：DD3：1，AD
25、DABBB， DD? ? ?， 又DABCB，BABB， DB，即点 D，D，C在同一条直线上， DC? ? ?， 又CECB，DECBEC， CEBCED， BE：DECE：CEBC：DC，即 BE：DECE：CE3：? ?， 设 CEx，BEy， x： （4y）y： （3x）3：? ?， 第 16页（共 25页） x? ? ? 故答案为：? ? 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤） 17 （7 分）解不等式 1+
26、2（x1）3，并在数轴上表示解集 【解答】解：1+2（x1）3， 去括号，得 1+2x23 移项、合并同类项，得 2x4 化系数为 1，得 x2 表示在数轴上为： 18 （7 分）解方程 ? th t h ? ?h 【解答】解：方程两边同乘（x+1） （x1） ，得 2（x1）+x21x（x+1） ， 解得 x3 经检验 x3 是原方程的根， 原方程的解 x3 19 （7 分）计算? ? ?t? ? ? ?t? t ? ?t? ? ? ? ? 【解答】解：? ? ?t? ? ? ?t? t ? ?t? ? ? ? ? ? ?t? ? ? ?t? t ? ?t? ? ? ? ?t? ?t? ?
27、? ? 第 17页（共 25页） ? ? ?t? ? ? ? ? ? ?t? 20 （8 分）如图，AC 与 BD 交于点 O，OAOD，ABODCO，E 为 BC 延长线上一点， 过点 E 作 EFCD，交 BD 的延长线于点 F （1）求证AOBDOC； （2）若 AB2，BC3，CE1，求 EF 的长 【解答】 （1）证明：在AOB 和DOC 中， ?th ?宋h ?ht ? ?h宋 h? ? h? ， AOBDOC（AAS） ； （2）解：由（1）得：AOBDOC， ABDC2， BC3，CE1， BEBC+CE4， EFCD， BCDBEF， ?宋 ? ? t宋 t?， 即 ? ?
28、? ? ?， 解得：EF? ? ? 21 （8 分）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查通过简单 随机抽样，获得了 100 个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排 列，其中部分数据如表： 序号1225265051757699100 第 18页（共 25页） 月均 用水 量/t 1.31.34.54.56.46.8111325.628 （1）求这组数据的中位数已知这组数据的平均数为 9.2t，你对它与中位数的差异有什 么看法？ （2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按 1.5 倍价格 收费若要使 75%的家庭水费支出不受影响，你
29、觉得这个标准应该定为多少？ 【解答】解： （1）共有 100 个数，按大小顺序排列后第 50，51 个数据分别是 6.4，6.8， 所以中位数为： （6.4+6.8）26.6； 已知这组数据的平均数为 9.2t， 从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约 用水观念，少数家庭用水比较浪费， 答：这组数据的中位数是 6.6； （2）10075%75， 第 75 个家庭去年的月均用水量为 11t， 所以为了鼓励节约用水，要使 75%的家庭水费支出不受影响，即要使 75 户的家庭水费支 出不受影响，故家庭月均用水量应该定为 11t 答：这个标准应该定为 11t 22
30、（8 分）不透明的袋子中装有 2 个红球、1 个白球，这些球除颜色外无其他差别 （1）从袋子中随机摸出 1 个球，放回并摇匀，再随机摸出 1 个球求两次摸出的球都是 红球的概率 （2）从袋子中随机摸出 1 个球，如果是红球，不放回再随机摸出 1 个球；如果是白球， 放回并摇匀，再随机摸出 1 个球两次摸出的球都是白球的概率是 h ? 【解答】解： （1）画树状图如图： 共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有 4 种， 第 19页（共 25页） 两次摸出的球都是红球的概率为? ?； （2）由题意得：第一次摸出白球的概率为h ?，第二次摸出白球的概率为 h ?， 两次摸出的球都是白
31、球的概率为h ? ? h ? ? h ?， 故答案为：h ? 23 （8 分）如图，为了测量河对岸两点 A，B 之间的距离，在河岸这边取点 C，D测得 CD 80m，ACD90，BCD45，ADC1917，BDC5619设 A， B，C，D 在同一平面内，求 A，B 两点之间的距离 （参考数据：tan19170.35，tan56191.50 ） 【解答】解：过 B 作 BECD 于 E，过 A 作 AFBE 于 F，如图： BCD45， BCE 是等腰直角三角形， 设 CEx，则 BEx， CD80m， DE（80 x）m， RtBDE 中，BDC5619， tan5619? t? ?，即 ?
32、h? ?1.5， 解得 x48（m） ， 第 20页（共 25页） BECE48m， RtACD 中，ADC1917，CD80m， tan1917? ?宋 宋?，即 ?宋 ?h ?0.35， 解得 AC28m， ACD90，BECD 于 E，AFBE， 四边形 ACEF 是矩形， AFCE48m，EFAC28m， BFBEEF20m， RtABF 中，AB?t t?t ?h?52（m） ， 答：A，B 两点之间的距离是 52m 24 （8 分）甲、乙两人沿同一直道从 A 地去 B 地甲比乙早 1min 出发，乙的速度是甲的 2 倍在整个行程中，甲离 A 地的距离 y1（单位：m）与时间 x（单
33、位：min）之间的函数 关系如图所示 （1）在图中画出乙离 A 地的距离 y2（单位：m）与时间 x 之间的函数图象； （2）若甲比乙晚 5min 到达 B 地，求甲整个行程所用的时间 【解答】解： （1）如图： （2）设甲的速度是 vm/min，乙整个行程所用的时间为 tmin， 由题意得：2vt（t+1+5）v， 第 21页（共 25页） 解得：t6， 6+1+512（min） ， 答：甲整个行程所用的时间为 12min 25 （8 分）如图，已知 P 是O 外一点用两种不同的方法过点 P 作O 的一条切线 要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明 【解答
34、】解：方法一：如图 1 中，连接 OP，以 OP 为直径作圆交O 于 D，作直线 PD， 直线 PD 即为所求 方法二：作 P 点关于点 O 的对称点 P，以 PO 为半径作圆 O，连接 PP，设原来的圆 O 半径为 r，以 AB（即 2r）的长度为半径，P为圆心画圆，交弧 PP于点 Q，连接 PQ， 交于原来的圆 O 于点 D，点 D 即为切点（中位线能证明 OD 是半径且垂直 PQ） 第 22页（共 25页） 26 （10 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（2，1） ， （2，3）两点 （1）求 b 的值； （2）当 c1 时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1 （3）
35、设（m，0）是该函数的图象与 x 轴的一个公共点当1m3 时，结合函数的图 象，直接写出 a 的取值范围 【解答】解： （1）把（2，1） ， （2，3）代入 yax2+bx+c 中， 得： h ? ? ?t ? ? ? ? ?t ?t ?， 两式相减得44b， b1； （2）把 b1 代入得：14a+2+c， a? ?h? ? ， 顶点的纵坐标? ? ? ? ? t h ?th ? ? t h t h ?th ? h， c1， c+10， 下面证明对于任意的正数，a，b，都有 a+b? ? ?， ? ? ? ? t ? ? ? ? ? h， a+b? ? ?，当 ab 时取等号， ? t h
36、 t h ?th ? h ? ? ? t h? ? h ?th ? h ?1， 第 23页（共 25页） 该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1 （3）由题意得：am2m+c0， 且 c14a， am2m14a0， 14a（14a）1+4a+16a2， 若1m2，此时有 a0， 且ht ? ? ?， 解得 a0， a0， 若 2m3，此时有 a0， 且ht ? ? ?， 解得 a ? ?， 综上a0 或 ? ? ? 27 （9 分）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图，圆锥的母线长为 12cm，B 为母线 OC 的中点，点 A 在底面圆周上，?宋 ? 的长为 4cm在图所示的圆
37、锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路 径，并标出它的长（结果保留根号） （2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成O 是圆锥的顶点，点 A 在圆 柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为 l，圆柱的高为 h 蚂蚁从点 A 爬行到点 O 的最短路径的长为l+h（用含 l，h 的代数式表示） 设? ?的长为 a，点 B 在母线 OC 上，OBb圆柱的侧面展开图如图所示，在图中 画出蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路 第 24页（共 25页） 【解答】解： （1）如图中连接 AO，AC，AB设AOCn ?宋 ?的长4， ?h? h?h ?4，
38、 n60， COA60， OAOC， AOC 是等边三角形， OBBC6， ABOC， AB?h? ht?h? ?6 ? 最短的路径是线段 AB，最短路径的长为 6 ? （2）蚂蚁从点 A 爬行到点 O 的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为 h+l 故答案为：h+l 蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径的示意图如图，最短路径为 AB， 思路： 、过点 O 作 OFAD 于 F，交 AB 于 G，此时，点 G 在扇形的弧上， 第 25页（共 25页） 、设 CGx，则宋t ?的长为 x，进而求出BOG 的度数， 、再过点 B 作 BEOF 于 E，用三角函数求出 OE，BE，得出 FH，即可求出 AH， 、求出 EF，进而求出 BH， 、在 RtABH 中，利用勾股定理建立 AB 关于 x 的方程，求解最小值
