2021年江苏省扬州市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 30页） 2021 年江苏省扬州市中考数学试卷年江苏省扬州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中分，在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）实数 100 的倒数是（） A100B100C ? ? D? ? ? 2 （3 分）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（） A五棱锥B五棱柱C六棱锥D六棱柱

2、3 （3 分）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（） A3 天内将下雨 B打开电视，正在播新闻 C买一张电影票，座位号是偶数号 D没有水分，种子发芽 4 （3 分）不论 x 取何值，下列代数式的值不可能为 0 的是（） Ax+1Bx21C ? ? D （x+1）2 5 （3 分）如图，点 A、B、C、D、E 在同一平面内连接 AB、BC、CD、DE、EA，若BCD 100，则A+B+D+E（） A220B240C260D280 6 （3 分）如图，在 44 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一个 格点 C，使得ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是（）

3、 第 2页（共 30页） A2B3C4D5 7 （3 分）如图，一次函数 yx?的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，把直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 30交 x 轴于点 C，则线段 AC 长为（） A ? ?B3 ?C2?D ? ? 8 （3 分）如图，点 P 是函数 y? ? ? （k10，x0）的图象上一点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为点 A、B，交函数 y? ? ? （k20，x0）的图象于点 C、D，连接 OC、OD、CD、AB，其中 k1k2下列结论：CDAB；SOCD? ? ? ；S DCP? ? ? ，其中正确的是（） ABCD 二、填空题（本大

4、题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.不需写出解答过程，请把答案直不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 第 3页（共 30页） 9 （3 分）2021 年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中 输入“扬州世界园艺博览会”约有 3020000 个相关结果，数据 3020000 用科学记数法表 示为 10 （3 分）计算：2021220202 11（3 分） 在平面直角坐标系中， 若点 P （1m， 52m） 在第二象限， 则整数 m 的值为 12 （3 分）已知一组数据：

5、a、4、5、6、7 的平均数为 5，则这组数据的中位数是 13 （3 分）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬 州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题： “今有良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天 走 240 里，慢马每天走 150 里，慢马先走 12 天，试问快马几天追上慢马？答：快马 天追上慢马 14 （3 分）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为 10cm 的正方形，该果罐侧面积为 cm2 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 D

6、EBC， 垂足为点 E，连接 CD，若 CD5，BC8，则 DE 16 （3 分）如图，在 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 EC 平分BED，若EBC30，BE 10，则 ABCD 的面积为 第 4页（共 30页） 17 （3 分）如图，在ABC 中，ACBC，矩形 DEFG 的顶点 D、E 在 AB 上，点 F、G 分 别在 BC、 AC 上， 若 CF4， BF3， 且 DE2EF， 则 EF 的长为 18 （3 分）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列： 图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，将其中所有能被 3 整除的数按从小到大 的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第

7、33 个数为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤）必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算或化简： （1） （? ? ?） 0+| ? ?3|+tan60 （2） （a+b）（? ? ? ?） 20 （8 分）已知方程组 ? i ? r ? ? i ? ? 的解也是关于 x、y 的方程 ax+y4 的一个解，求 a 的值 21 （8 分）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程” ，某校开展“每日健身操”活动，为了解 学生对

8、“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结 果绘制成如下尚不完整的统计图表： 第 5页（共 30页） 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度人数 A非常喜 欢 50 人 B比较喜 欢 m 人 C无所谓n 人 D不喜欢16 人 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是； （2）扇形统计图中表示 A 程度的扇形圆心角为，统计表中 m； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校 2000 名学生中大约有多少名学生喜欢“每日 健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢） 22 （8 分）一张圆桌旁设有 4 个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙 2 人等可能

9、地坐到、中的 2 个座位上 （1）甲坐在号座位的概率是； （2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率 第 6页（共 30页） 23 （10 分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率 比原先提高了 20%，现在生产 240 万剂疫苗所用的时间比原先生产 220 万剂疫苗所用的 时间少 0.5 天问原先每天生产多少万剂疫苗？ 24 （10 分）如图，在ABC 中，BAC 的角平分线交 BC 于点 D，DEAB，DFAC （1）试判断四边形 AFDE 的形状，并说明理由； （2）若BAC90，且 AD2 ?，求四边形 AFDE 的面积 25 （10 分）如图

10、，四边形 ABCD 中，ADBC，BAD90，CBCD，连接 BD，以点 B 为圆心，BA 长为半径作B，交 BD 于点 E （1）试判断 CD 与B 的位置关系，并说明理由； （2）若 AB2 ?，BCD60，求图中阴影部分的面积 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（ 1，0） 、B（3，0） ，与 y 轴交于点 C 第 7页（共 30页） （1）b，c； （2）若点 D 在该二次函数的图象上，且 SABD2SABC，求点 D 的坐标； （3）若点 P 是该二次函数图象上位于 x 轴上方的一点，且 SAPCSAPB，直接写出点

11、P 的坐标 27 （12 分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段 BC2，使用作图工具作BAC30，尝试操作后思考： （1）这样的点 A 唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以 BC 为弦 的圆弧上（点 B、C 除外） ，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 该弧所在圆的半径长为； ABC 面积的最大值为； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示 的弓形内部，我们记为 A，请你利用图 1

12、 证明BAC30 （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 ABCD 的边 长 AB2，BC3，点 P 在直线 CD 的左侧，且 tanDPC? ? ? 线段 PB 长的最小值为； 若S PCD? ? ? S PAD，则线段PD长 第 8页（共 30页） 为 28 （12 分）甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对 话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元，那么 50 辆汽车可以全部租出如果 每辆汽车的月租费每增加 50 元，那么将少租出 1 辆汽车另外，公司为每辆租出的汽车 支付月维护费 200 元 乙公司经理：

13、我公司每辆汽车月租费 3500 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付 月维护费共计 1850 元 说明：汽车数量为整数；月利润月租车费月维护费；两公司月利润差月 利润较高公司的利润月利润较低公司的利润 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司 租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； （2）求两公司月利润差的最大值； （3）甲公司热心公益事业，每租出 1 辆汽车捐出 a 元（a0）给慈善机构，如果捐款后 甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时，甲公司 剩余的月

14、利润与乙公司月利润之差最大，求 a 的取值范围 第 9页（共 30页） 2021 年江苏省扬州市中考数学试卷年江苏省扬州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中分，在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）实数 100 的倒数是（） A100B100C ? ? D? ? ? 【解答】解：100 的倒数为 ?

15、 ?， 故选：C 2 （3 分）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（） A五棱锥B五棱柱C六棱锥D六棱柱 【解答】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形， 则该几何体为五棱锥， 故选：A 3 （3 分）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（） A3 天内将下雨 B打开电视，正在播新闻 C买一张电影票，座位号是偶数号 D没有水分，种子发芽 【解答】解：A、3 天内将下雨，是随机事件； B、打开电视，正在播新闻，是随机事件； C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件； D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件； 故选：D 4 （3 分）不论 x 取何值，

16、下列代数式的值不可能为 0 的是（） 第 10页（共 30页） Ax+1Bx21C ? ? D （x+1）2 【解答】解：A、当 x1 时，x+10，故不合题意； B、当 x1 时，x210，故不合题意； C、分子是 1，而 10，则 ? ? ?0，故符合题意； D、当 x1 时， （x+1）20，故不合题意； 故选：C 5 （3 分）如图，点 A、B、C、D、E 在同一平面内连接 AB、BC、CD、DE、EA，若BCD 100，则A+B+D+E（） A220B240C260D280 【解答】解：连接 BD， BCD100， CBD+CDB18010080， A+ABC+E+CDE360CBD

17、CDB36080280， 故选：D 6 （3 分）如图，在 44 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 AB，在网格中再找一个 格点 C，使得ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是（） 第 11页（共 30页） A2B3C4D5 【解答】解：如图：分情况讨论： AB 为等腰直角ABC 底边时，符合条件的 C 点有 0 个； AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰时，符合条件的 C 点有 3 个 故共有 3 个点， 故选：B 7 （3 分）如图，一次函数 yx?的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，把直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 30交 x 轴于点 C，则线段 AC 长

18、为（） A ? ?B3 ?C2?D ? ? 【解答】解：一次函数 yx?的图像与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， 令 x0，则 y?，令 y0，则 x?， 则 A（?，0） ，B（0， ?） ， 则OAB 为等腰直角三角形，ABO45， 第 12页（共 30页） AB? ? ? ?2， 过点 C 作 CDAB，垂足为 D， CADOAB45， ACD 为等腰直角三角形，设 CDADx， AC? t?x， 旋转， ABC30， BC2CD2x， BD?t? t?x， 又 BDAB+AD2+x， 2+x?x， 解得：x? 1， AC?x?（ ? 1）? ?， 故选：A 8 （3 分）如图，点

19、P 是函数 y? ? ? （k10，x0）的图象上一点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为点 A、B，交函数 y? ? ? （k20，x0）的图象于点 C、D，连接 OC、OD、CD、AB，其中 k1k2下列结论：CDAB；SOCD? ? ? ；S DCP? ? ? ，其中正确的是（） 第 13页（共 30页） ABCD 【解答】解：PBy 轴，PAx 轴，点 P 在 i ? ? ? 上，点 C，D 在 i ? ? ? 上， 设 P（m，? ?） ， 则 C（m，? ?） ，A（m，0） ，B（0， ? ?） ，令 ? ? ? ? ? ， 则 ? ? ? ? ，即 D（? ?

20、 ，? ?） ， PC? ? ? ? ? ? ? ? ? ，PD? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即? ? ? ?t ?， 又DPCBPA， PDCPBA， PDCPBC， CDAB，故正确； PDC 的面积? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ，故正确； SOCDS四边形OAPBSOCASDPC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故错误； 故选：B 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.不需写出解答过程，请把答案直不

21、需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 9 （3 分）2021 年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中 第 14页（共 30页） 输入“扬州世界园艺博览会”约有 3020000 个相关结果，数据 3020000 用科学记数法表 示为3.02106 【解答】解：将 3020000 用科学记数法表示为 3.02106 故答案为：3.02106 10 （3 分）计算：20212202024041 【解答】解：2021220202 （2021+2020） （20212020） 40411 4041 故答案为：4041 11（3 分）

22、 在平面直角坐标系中， 若点 P （1m， 52m） 在第二象限， 则整数 m 的值为2 【解答】解：由题意得： ? ? ? ? ? ? ? b ?， 解得：? ? ?， 整数 m 的值为 2， 故答案为：2 12 （3 分）已知一组数据：a、4、5、6、7 的平均数为 5，则这组数据的中位数是5 【解答】解：这组数据的平均数为 5， 则?r ? ? ?， 解得：a3， 将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7， 观察数据可知最中间的数是 5， 则中位数是 5 故答案为：5 13 （3 分）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬 州，该书是中国较早的数学著作之

23、一，书中记载一道问题： “今有良马日行二百四十里， 驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天 走 240 里，慢马每天走 150 里，慢马先走 12 天，试问快马几天追上慢马？答：快马20 天追上慢马 【解答】解：设快马行 x 天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日， 第 15页（共 30页） 依题意，得：240 x150（x+12） ， 解得：x20， 快马 20 天追上慢马， 故答案为：20 14 （3 分）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为 10cm 的正方形，该果罐侧面积为 100cm2 【解答】解：由题意得圆柱的底面直径为 10cm，高为 1

24、0cm， 侧面积1010100(cm2) 故答案为：100 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DEBC， 垂足为点 E，连接 CD，若 CD5，BC8，则 DE3 【解答】解:ACB90,DEBC, DEAC, 点 D 是 AB 的中点， E 是 BC 的中点,AB2CD10, AC2DE, BC8, AC? ?t? ?6, DE3 第 16页（共 30页） 故答案为 3 16 （3 分）如图，在 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 EC 平分BED，若EBC30，BE 10，则 ABCD 的面积为50 【解答】解：过点 E 作

25、EFBC，垂足为 F， EBC30，BE10， EFBE5， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DECBCE， 又 EC 平分BED，即BECDEC， BCEBEC， BEBC10， 四边形 ABCD 的面积BCEF10550， 故答案为：50 17 （3 分）如图，在ABC 中，ACBC，矩形 DEFG 的顶点 D、E 在 AB 上，点 F、G 分 别在 BC、AC 上，若 CF4，BF3，且 DE2EF，则 EF 的长为 ? ? 第 17页（共 30页） 【解答】解：DE2EF，设 EFx，则 DE2x， 四边形 DEFG 是矩形， GFAB， CGFCAB， ? ? ? t?

26、 t? ? ? ? ? ? r，即 ? ? ? ? r， AB? r? ? ， AD+BEABDE? r? ? ? ? ? ? ? ?， ACBC， 在ADG 和BEF 中， ? ? ? ? ?t? ? ? t? ， ADGBEF（AAS） ， ADBE? ? ? ?， 在BEF 中，BE2+EF2BF2， 即? ? ? ? ? ?， 解得：x? ? ? 或? ? ? （舍） ， EF? ? ? ， 故答案为：? ? 18 （3 分）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列： 第 18页（共 30页） 图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，将其中所有能被 3 整除的数按从小到大 的顺序重新排列

27、成一组新数据，则新数据中的第 33 个数为1275 【解答】解：第个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第个图形中的黑色圆点的个数为：? ? ?3， 第个图形中的黑色圆点的个数为：? ? ?6， 第个图形中的黑色圆点的个数为：? ? ?10， 第 n 个图形中的黑色圆点的个数为? ? ， 则这列数为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91， 其中每 3 个数中，都有 2 个能被 3 整除， 332161， 163+250， 则第 33 个被 3 整除的数为原数列中第 50 个数，即? ? ?1275， 故答案为：1275 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有

28、 10 小题，共小题，共 96 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤）必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算或化简： （1） （? ? ?） 0+| ? ?3|+tan60 （2） （a+b）（? ? ? ?） 【解答】解： （1）原式? ? ? ? ? 4； （2）原式? ? ? ? ? 第 19页（共 30页） ? ? ? ? ? ab 20 （8 分）已知方程组 ? i ? r ? ? i ? ? 的解也是关于 x、y 的方程 ax+y4 的一个解，求 a 的值 【解答】解：方程组 ?

29、 i ? r ? ? i ? ? ， 把代入得：2(y1)+y7， 解得：y3，代入中， 解得：x2， 把 x2，y3 代入方程 ax+y4 得，2a+34， 解得：a? ? ? 21 （8 分）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程” ，某校开展“每日健身操”活动，为了解 学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结 果绘制成如下尚不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度人数 A非常喜 欢 50 人 B比较喜 欢 m 人 C无所谓n 人 D不喜欢16 人 根据以上信息，回答下列问题： 第 20页（共 30页） （1）本次调查的样本容量是200；

30、（2）扇形统计图中表示 A 程度的扇形圆心角为90，统计表中 m94； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校 2000 名学生中大约有多少名学生喜欢“每日 健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢） 【解答】解： （1）168%200， 则样本容量是 200； （2） ? ? ?36090， 则表示 A 程度的扇形圆心角为 90； 200（18%20%? ? ? ?100%）94， 则 m94； （3）? ? ? ? ?1440 名， 该校 2000 名学生中大约有 1440 名学生喜欢“每日健身操”活动 22 （8 分）一张圆桌旁设有 4 个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙 2 人等可

31、能 地坐到、中的 2 个座位上 （1）甲坐在号座位的概率是 ? ? ； （2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率 【解答】解： （1）丙坐了一张座位， 甲坐在号座位的概率是? ?； （2）画树状图如图： 第 21页（共 30页） 共有 6 种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有 4 种， 甲与乙相邻而坐的概率为? ? ? ? ? 23 （10 分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率 比原先提高了 20%，现在生产 240 万剂疫苗所用的时间比原先生产 220 万剂疫苗所用的 时间少 0.5 天问原先每天生产多少万剂疫苗？ 【解答】解：设原

32、先每天生产 x 万剂疫苗， 由题意可得： ? ?r? ?h? ? ? ? ， 解得：x40， 经检验：x40 是原方程的解， 原先每天生产 40 万剂疫苗 24 （10 分）如图，在ABC 中，BAC 的角平分线交 BC 于点 D，DEAB，DFAC （1）试判断四边形 AFDE 的形状，并说明理由； （2）若BAC90，且 AD2 ?，求四边形 AFDE 的面积 【解答】解： （1）四边形 AFDE 是菱形，理由是： DEAB，DFAC， 四边形 AFDE 是平行四边形， AD 平分BAC， FADEAD， DEAB， EDAFAD， 第 22页（共 30页） EDAEAD， AEDE， 平

33、行四边形 AFDE 是菱形； （2）BAC90， 四边形 AFDE 是正方形， AD? ? ?， AFDFDEAE? ? ? ? ?2， 四边形 AFDE 的面积为 224 25 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，BAD90，CBCD，连接 BD，以点 B 为圆心，BA 长为半径作B，交 BD 于点 E （1）试判断 CD 与B 的位置关系，并说明理由； （2）若 AB2 ?，BCD60，求图中阴影部分的面积 【解答】解： （1）过点 B 作 BFCD，垂足为 F， ADBC， ADBCBD， CBCD， CBDCDB， ADBCDB 在ABD 和FBD 中， ? ? ? ?

34、? ? ? ? ， ABDFBD（AAS） ， BFBA，则点 F 在圆 B 上， 第 23页（共 30页） CD 与B 相切； （2）BCD60，CBCD， BCD 是等边三角形， CBD60 BFCD， ABDDBFCBF30， ABF60， ABBF? ? ?， ADDFABtan302， 阴影部分的面积SABDS扇形ABE ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（ 1，0） 、B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）b2，c3； （2）若点 D 在该二次函

35、数的图象上，且 SABD2SABC，求点 D 的坐标； （3）若点 P 是该二次函数图象上位于 x 轴上方的一点，且 SAPCSAPB，直接写出点 P 的坐标 第 24页（共 30页） 【解答】解： （1）点 A 和点 B 在二次函数 yx2+bx+c 图像上， 则 ? ? ? ? ? i ? ? ? i，解得： ? ? ? i ? ?， 故答案为：2，3； （2）连接 BC，由题意可得： A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ，yx22x3， SABC? ? ? ? ? ? ? ?6， SABD2SABC，设点 D（m，m22m3） ， ? ? ? ? ?|yD|26，即? ? ?4

36、|m22m3|26， 解得：m? ? ?或 ? ?，代入 yx22x3， 可得：y 值都为 6， D（? ?，6）或（? ?，6） ； （3）设 P（n，n22n3） ， 点 P 在抛物线位于 x 轴上方的部分， n1 或 n3， 第 25页（共 30页） 当点 P 在点 A 左侧时，即 n1， 可知点 C 到 AP 的距离小于点 B 到 AP 的距离， SAPCSAPB，不成立； 当点 P 在点 B 右侧时，即 n3， APC 和APB 都以 AP 为底，若要面积相等， 则点 B 和点 C 到 AP 的距离相等，即 BCAP， 设直线 BC 的解析式为 ykx+p， 则 ? ? ? ? ?

37、? ，解得： ? ? ? ? ?， 则设直线 AP 的解析式为 yx+q，将点 A（1，0）代入， 则1+q0，解得：q1， 则直线 AP 的解析式为 yx+1，将 P（n，n22n3）代入， 即 n22n3n+1， 解得：n4 或 n1（舍） ， n22n35， 点 P 的坐标为（4，5） 27 （12 分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段 BC2，使用作图工具作BAC30，尝试操作后思考： （1）这样的点 A 唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以 BC 为弦 的圆弧上（点

38、B、C 除外） ，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 第 26页（共 30页） 该弧所在圆的半径长为2； ABC 面积的最大值为? ?； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示 的弓形内部，我们记为 A，请你利用图 1 证明BAC30 （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 ABCD 的边 长 AB2，BC3，点 P 在直线 CD 的左侧，且 tanDPC? ? ? 线段 PB 长的最小值为 r? ? ； 若S PCD? ? ? S PAD，则线段PD长为 r ?

39、? 【解答】解： （1）设 O 为圆心，连接 BO，CO， BCA30， BOC60，又 OBOC， OBC 是等边三角形， OBOCBC2，即半径为 2； ABC 以 BC 为底边，BC2， 当点 A 到 BC 的距离最大时，ABC 的面积最大， 如图，过点 O 作 BC 的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D， BECE1，DOBO2， OE? ?t?， DE? ?， ABC 的最大面积为? ? ? ? ? ? ? ? ?； 第 27页（共 30页） （2）如图，延长 BA，交圆于点 D，连接 CD， 点 D 在圆上， BDCBAC， BACBDC+ACD， BACBDC， BACBA

40、C，即BAC30； （3）如图，当点 P 在 BC 上，且 PC? ? ?时， PCD90，ABCD2，ADBC3， tanDPC? t? ?t ? ? ?，为定值， 连接 PD，设点 Q 为 PD 中点，以点 Q 为圆心，? ?PD 为半径画圆， 当点 P 在优弧 CPD 上时，tanDPC? ? ?，连接 BQ，与圆 Q 交于 P， 此时 BP即为 BP 的最小值，过点 Q 作 QEBE，垂足为 E， 点 Q 是 PD 中点， 点 E 为 PC 中点，即 QE? ? ?CD1，PECE? ? ?PC? ? ?， BEBCCE3? ? ? ? ?， BQ?t? tt? r ? ， PD?t?

41、 ?t? ? ?， 第 28页（共 30页） 圆 Q 的半径为? ? ? ? ? ? ? ?， BPBQPQ? r? ? ，即 BP 的最小值为 r? ? ； AD3，CD2，SPCD? ? ?SPAD， 则t? ? ? ? ?， PAD 中 AD 边上的高PCD 中 CD 边上的高， 即点 P 到 AD 的距离和点 P 到 CD 的距离相等， 则点 P 到 AD 和 CD 的距离相等，即点 P 在ADC 的平分线上，如图， 过点 C 作 CFPD，垂足为 F， PD 平分ADC， ADPCDP45， CDF 为等腰直角三角形，又 CD2， CFDF? ? ? ?， tanDPC? t? ?

42、? ? ?， PF? ? ? ? ， PDDF+PF? ? ? ? ? r ? ? 28 （12 分）甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对 话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元，那么 50 辆汽车可以全部租出如果 每辆汽车的月租费每增加 50 元，那么将少租出 1 辆汽车另外，公司为每辆租出的汽车 支付月维护费 200 元 第 29页（共 30页） 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付 月维护费共计 1850 元 说明：汽车数量为整数；月利润月租车费月维护费；两公司月利润差月 利润较高公司的

43、利润月利润较低公司的利润 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是48000元；当每个公司 租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等； （2）求两公司月利润差的最大值； （3）甲公司热心公益事业，每租出 1 辆汽车捐出 a 元（a0）给慈善机构，如果捐款后 甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时，甲公司 剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）（5010）50+3000102001048000 元， 当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公

44、司的月利润是 48000 元； 设每个公司租出的汽车为 x 辆， 由题意可得：（50 x)50+3000 x200 x3500 x1850， 解得：x37 或 x1（舍） ， 当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等； （2）设两公司的月利润分别为 y甲，y乙，月利润差为 y， 则 y甲（50 x)50+3000 x200 x， y乙3500 x1850， 当甲公司的利润大于乙公司时，0 x37， yy甲y乙（50 x)50+3000 x200 x(3500 x1850) 50 x2+1800 x+1850， 当 x? ? ? ?18 时，利润差最大，且为 18050 元； 当乙

45、公司的利润大于甲公司时，37x50， yy乙y甲3500 x1850(50 x)50+3000 x+200 x 50 x21800 x1850， 对称轴为直线 x? ? ? ?18， 当 x50 时，利润差最大，且为 33150 元； 第 30页（共 30页） 综上：两公司月利润差的最大值为 33150 元； （3）捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为 y50 x2+1800 x+1850ax50 x2+(1800a)x+1850， 对称轴为直线 x? ? ? ， x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时，月利润之差最大， ?h? ? ? ?rh?， 解得：50a150