1、第 1页（共 32页） 2021 年内蒙古包头市、巴彦淖尔市、锡林郭勒盟、乌兰察布市年内蒙古包头市、巴彦淖尔市、锡林郭勒盟、乌兰察布市 中考数学试卷中考数学试卷 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题只有一个正确选项，请将每小题只有一个正确选项，请将 答题卡上对应题目的答案标号涂黑。答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 1 （3 分）据交通运输部报道，截至 2020 年底，全国共有城市新能源公交车 46.61 万辆，位 居全球第一，将 46.61 万用科学记数法表示为 4.66110n，则 n 等于（） A6B5C4D3
2、2 （3 分）下列运算结果中，绝对值最大的是（） A1+（4）B （1）4C （5） 1 D ? 3 （3 分）已知线段 AB4，在直线 AB 上作线段 BC，使得 BC2，若 D 是线段 AC 的中点， 则线段 AD 的长为（） A1B3C1 或 3D2 或 3 4 （3 分）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2 只，那么取出的鞋是同一双的概 率为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 5 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB?，BC2，以点 A 为圆心，AC 的 长为半径画弧，交 AB 于点 D，交 AC 于点 C，以点 B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交
3、AB 于点 E，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积为（） A8B4C2? ? ? D1? ? ? 6 （3 分）若 x? ?1，则代数式 x22x+2 的值为（） A7B4C3D32 ? 7 （3 分）定义新运算“” ，规定：aba2b若关于 x 的不等式 xm3 的解集为 x 1，则 m 的值是（） A1B2C1D2 第 2页（共 32页） 8 （3 分）如图，直线 l1l2，直线 l3交 l1于点 A，交 l2于点 B，过点 B 的直线 l4交 l1于点 C若350，1+2+3240，则4 等于（） A80B70C60D50 9 （3 分）下列命题正确的是（） A在函数 y? ? ?
4、t中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 B若 a0，则 1+a1a C垂直于半径的直线是圆的切线 D各边相等的圆内接四边形是正方形 10 （3 分）已知二次函数 yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b） ，则一 次函数 ybxac 的图象不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 11 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，DBC 和ABC 关于直线 BC 对称，连接 AD， 与 BC 相交于点 O，过点 C 作 CECD，垂足为 C，AD 相交于点 E，若 AD8，BC6， 则?晦? ? 的值为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 12 （3 分）如
5、图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上，OC 边在 y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（4，2） ，反比例函数 y? ? t（x0）的图象与 BC 交于点 D，与对角线 OB 交于点 E，与 AB 交于点 F，连接 OD，DE，EF，DF下列结论： sinDOCcosBOC；OEBE；SDOESBEF；OD：DF2：3 第 3页（共 32页） 其中正确的结论有（） A4 个B3 个C2 个D1 个 二二、填空题填空题：本大题共有本大题共有 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分.请把答案填在答题卡上对应的横线请把答案填在答题卡上对应的横线 上。
6、上。 13 （3 分）因式分解：?t ? ? ?ax+a 14 （3 分）化简：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15 （3 分）一个正数 a 的两个平方根是 2b1 和 b+4，则 a+b 的立方根为 16 （3 分）某人 5 次射击命中的环数分别为 5，10，7，x，10若这组数据的中位数为 8， 则这组数据的方差为 17 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 B 作 BDCB，垂足为 B，且 BD 3，连接 CD，与 AB 相交于点 M，过点 M 作 MNCB，垂足为 N若 AC2，则 MN 的 长为 18 （3 分）如图，在 ABCD 中，AD12，以 AD
7、为直径的O 与 BC 相切于点 E，连接 OC若 OCAB，则 ABCD 的周长为 第 4页（共 32页） 19 （3 分）如图，BD 是正方形 ABCD 的一条对角线，E 是 BD 上一点，F 是 CB 延长线上 一点，连接 CE，EF，AF若 DEDC，EFEC，则BAF 的度数为 20 （3 分）已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）与 y 轴 交于点 C，点 D（4，y）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当 BE+DE 的值最 小时，ACE 的面积为 三三、解答题解答题：本大题共有本大题共有 6 小题小题，共共 60 分分。请将必要的
8、文字说明请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写计算过程或推理过程写 在答题卡的对应位置。在答题卡的对应位置。 21 （8 分）为了庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了学党史知识竞赛参加知识竞 赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为 20 名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图 表（如图） ，已知竞赛成绩满分为 100 分，统计表中 a，b 满足 b2a请根据所给信息， 解答下列问题： 甲组 20 名学生竞赛成绩统计表 成绩（分）708090100 人数3ab5 （1）求统计表中 a，b 的值； （2）小明按以下方法计算甲组 20 名学生竞赛成绩的平均分是： （70+80+90+100）
9、4 85（分） 根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并 计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由 第 5页（共 32页） 22 （8 分）某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C，D 两个观测点，如图测得 AC 长为? ? ? km，CD 长为? ?（ ? ? ?）km，BD 长为? ?km， ACD60，CDB135（A、B、C、D 在同一水平面内） （1）求 A、D 两点之间的距离； （2）求隧道 AB 的长度 23 （10 分）小刚家到学校的距离是 1800 米某天早上，小
10、刚到学校后发现作业本忘在家 中，此时离上课还有 20 分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原 路返回学校 已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了 4.5 分钟， 且骑自行车的平均速度 是跑步的平均速度的 1.6 倍 （1）求小刚跑步的平均速度； （2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在上课前赶回学校？请说 明理由 24 （10 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，以 AD 为直径的O 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过点 F 作 FGAB，垂足为 H，交 ?于点 G，交 AD 于点 M，连 接 AG，DE，DF （1）求证
11、：GAD+EDF180； （2）若ACB45，AD4，tanABC2，求 HF 的长 第 6页（共 32页） 25 （12 分）如图，已知ABC 是等边三角形，P 是ABC 内部的一点，连接 BP，CP （1）如图 1，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 Q，交 AC 于点 R，当点 P 在?t ?上时， 连接 AP，在 BC 边的下方作BCDBAP，CDAP，连接 DP，求CPD 的度数； （2）如图 2，E 是 BC 边上一点，且 EC3BE，当 BPCP 时，连接 EP 并延长，交 AC 于点 F，若 ?AB4BP，求证：4EF3AB； （3）如图 3，M 是 AC 边上一点，当
12、 AM2MC 时，连接 MP若CMP150，AB 6a，MP?a，ABC 的面积为 S1，BCP 的面积为 S2，求 S1S2的值（用含 a 的 代数式表示） 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+4x 经过坐标原点，与 x 轴正半轴 交于点 A，点 M（m，n）是抛物线上一动点 （1）如图 1，当 m0，n0，且 n3m 时， 求点 M 的坐标； 若点 B（? ? ，y）在该抛物线上，连接 OM，BM，C 是线段 BM 上一动点（点 C 与点 M，B 不重合） ，过点 C 作 CDMO，交 x 轴于点 D，线段 OD 与 MC 是否相等？请说明 理由； （2）如图 2，
13、该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K，点 E（x，? ?）在对称轴上，当 m2，n 0，且直线 EM 交 x 轴的负半轴于点 F 时，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 EM 于点 N， G 为 y 轴上一点，点 G 的坐标为（0，? ? ） ，连接 GF若 EF+NF2MF，求证：射线 FE 平分AFG 第 7页（共 32页） 第 8页（共 32页） 2021 年内蒙古包头市、巴彦淖尔市、锡林郭勒盟、乌兰察布市年内蒙古包头市、巴彦淖尔市、锡林郭勒盟、乌兰察布市 中考数学试卷中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题小题，
14、每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题只有一个正确选项，请将每小题只有一个正确选项，请将 答题卡上对应题目的答案标号涂黑。答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 1 （3 分）据交通运输部报道，截至 2020 年底，全国共有城市新能源公交车 46.61 万辆，位 居全球第一，将 46.61 万用科学记数法表示为 4.66110n，则 n 等于（） A6B5C4D3 【解答】解：因为 46.61 万4661004.661105， 所以将 46.61 万用科学记数法表示为 4.66110n，则 n 等于 5 故选：B 2 （3 分）下列运算结果中，绝对值最大的是（） A1+（4）B （1）4C （
15、5） 1 D ? 【解答】解：因为|1+（4）|3|3，|（1）4|1|1，|（5） 1|? ?|? ? ?，| ?| |2|2， 且? ? 123， 所以绝对值最大的是选项 A 故选：A 3 （3 分）已知线段 AB4，在直线 AB 上作线段 BC，使得 BC2，若 D 是线段 AC 的中点， 则线段 AD 的长为（） A1B3C1 或 3D2 或 3 【解答】解：根据题意分两种情况， 如图 1， AB4，BC2， ACABBC2， D 是线段 AC 的中点， AD? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 如图 2， 第 9页（共 32页） AB4，BC2， ACAB+BC6， D 是线段
16、AC 的中点， AD? ? ? ? ? ? ?63 线段 AD 的长为 1 或 3 故选：C 4 （3 分）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2 只，那么取出的鞋是同一双的概 率为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：两双不同的鞋用 A、a、B、b 表示，其中 A、a 表示同一双鞋，B、b 表示同 一双鞋， 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为 4， 所以取出的鞋是同一双的概率? ? ? ? ? ? 故选：A 5 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB?，BC2，以点 A 为圆心，AC 的 长为半径画弧，交 AB 于
17、点 D，交 AC 于点 C，以点 B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积为（） 第 10页（共 32页） A8B4C2? ? ? D1? ? ? 【解答】 解： 根据题意可知 AC? ? ? ? ?1， 则 BEBFADAC1， 设Bn，Am， ACB90， B+A90，即 n+m90， S 阴 影 部 分SABC（S扇 形EBF+S扇 形DAC）? ? ? ? ? ? ? ?（ ? ? ? ? ? ） 1? ? ? ?1? ? ?， 故选：D 6 （3 分）若 x? ?1，则代数式 x22x+2 的值为（） A7B4C3D32 ? 【解
18、答】解：x? ?1， x1?， （x1）22，即 x22x+12， x22x1， x22x+21+23 故选：C 7 （3 分）定义新运算“” ，规定：aba2b若关于 x 的不等式 xm3 的解集为 x 1，则 m 的值是（） A1B2C1D2 【解答】解aba2b， xmx2m xm3， x2m3， x2m+3 第 11页（共 32页） 关于 x 的不等式 xm3 的解集为 x1， 2m+31， m2 故选：B 8 （3 分）如图，直线 l1l2，直线 l3交 l1于点 A，交 l2于点 B，过点 B 的直线 l4交 l1于点 C若350，1+2+3240，则4 等于（） A80B70C6
19、0D50 【解答】解：如图， l1l2， 1+3180， 1+2+3240， 2240（1+3）60， 3+2+5180，350， 51802370， l1l2， 4570， 故选：B 9 （3 分）下列命题正确的是（） A在函数 y? ? ?t中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 B若 a0，则 1+a1a 第 12页（共 32页） C垂直于半径的直线是圆的切线 D各边相等的圆内接四边形是正方形 【解答】解：A、在函数 y? ? ?t中 k? ? ? 0，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故原命 题错误，不符合题意； B、若 a0，则 1+a1a，故原命题错误，不符合题意； C、
20、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，故原命题错误，不符合题意； D、各边相等的圆内接四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意， 故选：D 10 （3 分）已知二次函数 yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b） ，则一 次函数 ybxac 的图象不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：点（1，b）在第一象限 b0 b0 二次函数 yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b） bab+c a+c0 a0 ac0 一次函数 ybxac 的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限 故选：C 11 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，DBC
21、 和ABC 关于直线 BC 对称，连接 AD， 与 BC 相交于点 O，过点 C 作 CECD，垂足为 C，AD 相交于点 E，若 AD8，BC6， 则?晦? ? 的值为（） 第 13页（共 32页） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：DBC 和ABC 关于直线 BC 对称， ACCD，ABBD， ABAC， ACCDABBD， 四边形 ABDC 是菱形， ADBC，AODO4，BOCO3，ACODCO， BD?晦 ? ?晦? ? ? ? ?5， CECD， DCO+ECO90CAO+ACO， CAOECO， tanECO? 晦 ?晦 ? ?晦 晦， 晦 ? ? ? ?， E
22、O? ? ?， AE? ? ?， ?晦? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故选：D 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上，OC 边在 y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（4，2） ，反比例函数 y? ? t（x0）的图象与 BC 交于点 D，与对角线 OB 交于点 E，与 AB 交于点 F，连接 OD，DE，EF，DF下列结论： sinDOCcosBOC；OEBE；SDOESBEF；OD：DF2：3 其中正确的结论有（） 第 14页（共 32页） A4 个B3 个C2 个D1 个 【解答】解：矩形 OABC 中， B（4，2） ，
23、 OA4，OC2， 由勾股定理得：OB? ?2 ?， 当 y2 时，2? ? t， x1， D（1，2） ， CD1， 由勾股定理得：OD? ?， sinDOC? ? 晦? ? ? ? ? ? ? ， cosBOC? ? ? ? ? ? ? ， sinDOCcosBOC， 故正确； 设 OB 的解析式为：ykx（k0） ， 把（4，2）代入得：4k2， k? ? ?， y? ? ?x， 当? ?x? ? t时，x2， E（2，1） ， E 是 OB 的中点， OEBE， 第 15页（共 32页） 故正确； 当 x4 时，y? ? ?， F（4，? ?） ， BF2? ? ? ? ? ?， SB
24、EF? ? ? ? ? ?（42）? ? ?， SDOE? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 41? ? ? ? ? ?， SDOESBEF， 故正确； 由勾股定理得：DF? ? ? ? ? ? ? ? ， OD?， 晦? ? ? ? ? ? ? ， 即 OD：DF2：3 故正确； 其中正确的结论有，共 4 个 故选：A 二二、填空题填空题：本大题共有本大题共有 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分.请把答案填在答题卡上对应的横线请把答案填在答题卡上对应的横线 上。上。 13 （3 分）因式分解：?t ? ? ?ax+aa（? ?
25、x+1） 2 【解答】解：原式a（? ?x 2+x+1）a（? ?x+1） 2， 故答案为：a（? ?x+1） 2 14 （3 分）化简：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 【解答】解：原式? ? ?（m+2） 第 16页（共 32页） ? ? ? 1 故答案为 1 15 （3 分）一个正数 a 的两个平方根是 2b1 和 b+4，则 a+b 的立方根为2 【解答】解：一个正数 a 的两个平方根是 2b1 和 b+4， 2b1+b+40， b1 b+41+43， a9 a+b9+（1）8， 8 的立方根为 2， a+b 的立方根为 2 故答案为：2 16 （3 分）某人 5 次射击命
26、中的环数分别为 5，10，7，x，10若这组数据的中位数为 8， 则这组数据的方差为3.6 【解答】解：根据题意，数据 5，10，7，x，10 的中位数为 8， 则有 x8， 这组数据的平均数为? ?（5+10+7+8+10）8， 则这组数据的方差 S2? ? ?58） 2+（108）2+（78）2+（88）2+（108）23.6， 故答案为：3.6 17 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 B 作 BDCB，垂足为 B，且 BD 3，连接 CD，与 AB 相交于点 M，过点 M 作 MNCB，垂足为 N若 AC2，则 MN 的 长为 ? ? 【解答】解：ACB90，BDCB
27、，MNCB， 第 17页（共 32页） ACMNBD，CNMCBD， MACMBD，MCAMDBCMN， MACMBD，CMNCDB， ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， MN? ? ? 故答案为：? ? 18 （3 分）如图，在 ABCD 中，AD12，以 AD 为直径的O 与 BC 相切于点 E，连接 OC若 OCAB，则 ABCD 的周长为24+6 ? 【解答】解：连接 OE，过点 C 作 CFAD 交 AD 于点 F， 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，ADBC，ADBC， EOD+OEC180， O 与 BC
28、相切于点 E， OEBC， OEC90 EOD90， CFAD， 第 18页（共 32页） CFO90， 四边形 OECF 为矩形， FCOE， AD 为直径，AD12， FCOEOD? ? ?AD6， OCAB，CFAD， OF? ? ?OD3， 在 RtOFC 中，由勾股定理得， OC2OF2+FC232+6245， ABOC3 ?， ABCD 的周长为 12+12+3 ? ?3 ? ?24+6 ?， 故答案为：24+6 ? 19 （3 分）如图，BD 是正方形 ABCD 的一条对角线，E 是 BD 上一点，F 是 CB 延长线上 一点，连接 CE，EF，AF若 DEDC，EFEC，则BA
29、F 的度数为22.5 【解答】解：如右图，连接 AE， BD 为正方形 ABCD 的对角线， BDC45， DEDCAD， DECDCE? ? ? ?67.5， DCB90， BCE90DCE9067.522.5， EFEC， FEC180EFCECF18022.522.5135， BEC180DEC18067.5112.5， 第 19页（共 32页） BEF135112.522.5， ADDE，ADE45， AED? ? ? ?67.5， BEF+AED22.5+67.590， AEF1809090， 在ADE 和EDC 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ADEEDC（SAS）
30、， AEEC， AEEF， 即AEF 为等腰直角三角形， AFE45， AFBAFE+BFE45+22.567.5， ABF90， BAF90AFB9067.522.5， 故答案为：22.5 20 （3 分）已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）与 y 轴 交于点 C，点 D（4，y）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当 BE+DE 的值最 小时，ACE 的面积为4 【解答】解：当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23，则 A（1，0） ，B（3， 0） ， 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x0 时，yx22x33，则 C（0，3）
31、 ， 当 x4 时，yx22x35，则 D（4，5） ， 第 20页（共 32页） 连接 AD 交直线 x1 于 E，交 y 轴于 F 点，如图， BE+DEEA+DEAD， 此时 BE+DE 的值最小， 设直线 AD 的解析式为 ykx+b， 把 A（1，0） ，D（4，5）代入得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ? ? ?， 直线 AD 的解析式为 yx+1， 当 x1 时，yx+12，则 E（1，2） ， 当 x0 时，yx+11，则 F（0，1） ， SACESACF+SECF? ? ? ?41? ? ? ?414 故答案为 4 三三、解答题解答题：本大题共
32、有本大题共有 6 小题小题，共共 60 分分。请将必要的文字说明请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写计算过程或推理过程写 在答题卡的对应位置。在答题卡的对应位置。 21 （8 分）为了庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了学党史知识竞赛参加知识竞 赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为 20 名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图 表（如图） ，已知竞赛成绩满分为 100 分，统计表中 a，b 满足 b2a请根据所给信息， 解答下列问题： 甲组 20 名学生竞赛成绩统计表 成绩（分）708090100 人数3ab5 第 21页（共 32页） （1）求统计表中 a，b 的值； （2）小明
33、按以下方法计算甲组 20 名学生竞赛成绩的平均分是： （70+80+90+100）4 85（分） 根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并 计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由 【解答】解： （1）每组学生均为 20 名， a+b203512（名） ， b2a， a4，b8； （2）小明的计算不正确， 正确的计算为：? ? ?87.5（分） ； （3）竞赛成绩较好的是甲组， 理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分： 100 ? ? ?90 ? ? ?80 ? ? ?70 ? ? ?10+22.5+20+2880.5（
34、分） ， 80.587.5， 竞赛成绩较好的是甲组 22 （8 分）某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C，D 两个观测点，如图测得 AC 长为? ? ? km，CD 长为? ?（ ? ? ?）km，BD 长为? ?km， ACD60，CDB135（A、B、C、D 在同一水平面内） （1）求 A、D 两点之间的距离； （2）求隧道 AB 的长度 第 22页（共 32页） 【解答】解： （1）过 A 作 AECD 于 E，如图所示： 则AECAED90， ACD60， CAE906030， CE? ? ?AC? ? ? ?（km） ，AE?CE? ? ?
35、?（km） ， DECDCE? ? ?（ ? ? ?）? ? ? ? ? ? ? ?（km） ， AEDE， ADE 是等腰直角三角形， AD?AE? ? ? ? ? ? ? ? ? （km） ； （2）由（1）得：ADE 是等腰直角三角形， AD?AE? ? ? ? （km） ，ADE45， CDB135， ADB1354590， AB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3（km） ， 即隧道 AB 的长度为 3km 23 （10 分）小刚家到学校的距离是 1800 米某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家 第 23页（共 32页） 中，此时离上课还有 20 分钟，于是他立即按原路跑步
36、回家，拿到作业本后骑自行车按原 路返回学校 已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了 4.5 分钟， 且骑自行车的平均速度 是跑步的平均速度的 1.6 倍 （1）求小刚跑步的平均速度； （2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在上课前赶回学校？请说 明理由 【解答】解： （1）设小刚跑步的平均速度为 x 米/分，则小刚骑自行车的平均速度为 1.6x 米/分， 根据题意，得? ?t?t ? ?t? ? ? t ， 解得：x150， 经检验，x150 是所列方程的根， 所以小刚跑步的平均速度为 150 米/分 （2）由（1）得小刚跑步的平均速度为 150 米/分， 则小刚跑步所用时
37、间为 180015012（分） ， 骑自行车所用时间为 124.57.5（分） ， 在家取作业本和取自行车共用了 3 分， 小刚从开始跑步回家到赶回学校需要 12+7.5+322.5（分） 又22.520， 所以小刚不能在上课前赶回学校 24 （10 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，以 AD 为直径的O 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过点 F 作 FGAB，垂足为 H，交 ?于点 G，交 AD 于点 M，连 接 AG，DE，DF （1）求证：GAD+EDF180； （2）若ACB45，AD4，tanABC2，求 HF 的长 第 24页（共 32页） 【解
38、答】 （1）证明：由题可知AGFADF（同弧所对的圆周角相等） ， GFAB，AD 为圆的直径， AGF+GAE90，ADF+FAD90， GAEFAD， GAE+DAEFAD+DAE，即GADEAF， 四边形 AEDF 是圆的内接四边形， EAF+EDF180， GAD+EDF180 （2）解：如图， 连接 OF， AD 是圆的直径，且 AD 是ABC 的高，GFAB， AEDADBAHMAFD90， AHMADB， t t? ? ? ?， tanABC? ? ? ?2， t t? ?2， 第 25页（共 32页） ACB45， DACADFAFO45， AOF90， 在 RtAHM 与 R
39、tFOM 中：AMHFMO（对顶角） ， AHMFOM， 晦 晦? ? t t? ?2， AD4， OFOA2， 晦 晦? ?2，解得 OM1，AMOAOM1， 设 HMx，则 AH2x， 在AHM 中有：AH2+HM2AM2， 即（2x）2+x21，解得 x1? ? ? ，x2? ? ? （舍去） ， AH? ? ? ? ， OFOA2， AF2 ?， 在 RtAHF 中，有：AH2+HF2AF2， 即（? ? ? ）2+HF2（2 ?）2， 解得 HF? ? ? ? ，或 HF? ? ? ? （舍去） ， 故 HF 的长为? ? ? 25 （12 分）如图，已知ABC 是等边三角形，P 是
40、ABC 内部的一点，连接 BP，CP （1）如图 1，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 Q，交 AC 于点 R，当点 P 在?t ?上时， 连接 AP，在 BC 边的下方作BCDBAP，CDAP，连接 DP，求CPD 的度数； （2）如图 2，E 是 BC 边上一点，且 EC3BE，当 BPCP 时，连接 EP 并延长，交 AC 于点 F，若 ?AB4BP，求证：4EF3AB； （3）如图 3，M 是 AC 边上一点，当 AM2MC 时，连接 MP若CMP150，AB 6a，MP?a，ABC 的面积为 S1，BCP 的面积为 S2，求 S1S2的值（用含 a 的 代数式表示） 第 2
41、6页（共 32页） 【解答】解： （1）如图 1，连接 BD， ABC 是等边三角形， ABBC，ABC60， 在BAP 和BCD 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， BAPBCD（SAS） ， BPBD，ABPCBD， ABP+PBC60， CBD+PBC60， 即PBD60， BDP 是等边三角形， BPD60， BC 是O 的直径， BPC90， CPDBPCBPD906030； （2）如图 2，连接 AP 交 BC 于 D， ABC 是等边三角形， ABACBC，ABCACB60， BPCP， ADBC，BDCD? ? ?BC? ? ?AB， ADABsinABCABsin6
42、0? ? ? AB， 第 27页（共 32页） ?AB4BP， BP? ? ? AB， PD? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB， PD? ? ?AD，即点 P 是 AD 的中点， EC3BE， BE? ? ?BC，BC4BE， BD? ? ?BC， BE? ? ?BD，即点 E 是 BD 的中点， EP 是ABD 的中位线， EFAB， CEFCBA， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 4EF3AB； （3）如图 3，过点 A 作 ADBC 于点 D，过点 P 作 PEBC 于点 E，交 AC 于点 F，作 PHAC 于点 H， 由（2）得：AD? ? ? AB3 ?a，
43、ACB60，BCACAB6a， CMP150， PMF180CMP18015030， CHP90， PHPMsinPMF?asin30? ? ? a， MHPMcosPMF?acos30? ? ?a， EFBC， CEF90， CFE90ACB906030， CFEPMF， PFPM?a， 第 28页（共 32页） FHPFcosPFH?acos30? ? ?a， AM2MC， CM? ? ?AC? ? ? ?6a2a， CFCM+MH+HF5a， EFCFsinACB5asin60? ? ? ? a， PEEFPF? ? ? ? a?a? ? ? ? a， S1S2SABCSBCP? ? ?
44、BCAD? ? ?BCPE? ? ?BC （ADPE） ? ? ? ?6a （3 ?a? ? ? ? a） ? ? ? ? a2 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+4x 经过坐标原点，与 x 轴正半轴 交于点 A，点 M（m，n）是抛物线上一动点 （1）如图 1，当 m0，n0，且 n3m 时， 第 29页（共 32页） 求点 M 的坐标； 若点 B（? ? ，y）在该抛物线上，连接 OM，BM，C 是线段 BM 上一动点（点 C 与点 M，B 不重合） ，过点 C 作 CDMO，交 x 轴于点 D，线段 OD 与 MC 是否相等？请说明 理由； （2）如图 2，该抛
45、物线的对称轴交 x 轴于点 K，点 E（x，? ?）在对称轴上，当 m2，n 0，且直线 EM 交 x 轴的负半轴于点 F 时，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 EM 于点 N， G 为 y 轴上一点，点 G 的坐标为（0，? ? ） ，连接 GF若 EF+NF2MF，求证：射线 FE 平分AFG 【解答】解（1）点 M（m，n）在抛物线 yx2+4x 上， nm2+4m（） ， n3m（） ， 联立（） （）解得， ? ? ? ? ? ? （舍去）或 ? ? ? ? ? ? ， M（1，3） ； ODMC，理由： 如图 1，点 B（? ? ，y）在该抛物线 yx2+4x 上， y（? ?
46、）2+4 ? ? ? ? ?， B（? ? ，? ?） ， 由知，M（1，3） ， 直线 BM 的解析式为 y? ? ?x? ? ? ， 第 30页（共 32页） 令 y0，则? ? ?x? ? ? ?0， x5， 延长 MB 交 x 轴于 P， P（5，0） ， OP5， M（1，3） ， PM? ? ? ? ?5OP， POMPMO， CDMO， PDCPOM，PCDPMO， PDCPCD， PDPC， POPDPMPC， ODMC； （2）抛物线 yx2+4x（x2）2+4， E（2，? ?） ， 令 y0，则x2+4x0， x0 或 x4， A（4，0） ， ANx 轴， 点 N 的横
47、坐标为 4， 由图知，NFEF+EM+MN，MFEF+EM， EF+NF2MF， EF+EF+EM+MN2（EF+EM） ， MNEM， 过点 M 作 HMx 轴于 H， MH 是梯形 EKAN 的中位线， M 的横坐标为 3， 第 31页（共 32页） 点 M 在抛物线上， 点 M 的纵坐标为32+433， M（3，3） ， 点 E（2，? ?） ， 直线 EF 的解析式为 y? ? ?x+1， 令 y0，则? ?x+10， x? ? ?， F（? ? ?，0） ， OF? ? ?， 令 y0，则 y1， 记直线 EF 与 y 轴的交点为 L， L（0，1） ， OL1， G（0，? ? ） ， OG? ? ? ， LGOGOL? ? ? ， 根据勾股定理得，FG?晦? 晦? ? ? ? ? ? ? ? ?， 过点 L 作 LQFG 于 Q， SFLG? ? ?FGLQ? ? ?LGOF， LQ? ?晦 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1OL， OLFA，LQFG， FE 平分AFG， 即射线 FE 平分AFG 第 32页（共 32页）
