1、第 1页（共 25页） 2021 年广西北海市南宁市、崇左市、来宾市、钦州市、防城港年广西北海市南宁市、崇左市、来宾市、钦州市、防城港 市、北部湾经济区中考数学试卷市、北部湾经济区中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是分，在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合要求的，用符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 ） 1 （3 分）下列各数是有理数的是（） AB ?C ? ?D0 2 （3 分）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（） AB
2、CD 3 （3 分）如图，小明从 A 入口进入博物馆参观，参观后可从 B，C，D 三个出口走出，他 恰好从 C 出口走出的概率是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 4 （3 分）我国天问一号火星探测器于 2021 年 5 月 15 日成功着陆火星表面经测算，地球 跟火星最远距离约 400000000 千米，其中数据 400000000 科学记数法表示为（） A4109B40107C4108D0.4109 5 （3 分）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（） 第 2页（共 25页） A这一天最低温度是4 B这一天 12 时温度最高 C最高温比最低温高 8 D0 时至
3、 8 时气温呈下降趋势 6 （3 分）下列运算正确的是（） Aa2a3a5B （a2）3a5Ca6a2a3D3a22aa2 7 （3 分）平面直角坐标系内与点 P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（） A （3，4）B （3，4）C （3，4）D （4，3） 8 （3 分） 如图， O 的半径 OB 为 4， OCAB 于点 D， BAC30， 则 OD 的长是 （） A ?B ?C2D3 9 （3 分）函数 y2x+1 的图象不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 10 （3 分） 九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首” ，书中记载：今有三人共 车，二车空；二人共车，九人
4、步问：人与车各几何？译文：若 3 人坐一辆车，则两辆 车是空的；若 2 人坐一辆车，则 9 人需要步行，问：人与车各多少？设有 x 辆车，人数 为 y，根据题意可列方程组为（） A ? a ?ib ? ? a ?ib r B ? a ?iib ? ? a ?ib r 第 3页（共 25页） C ? a ?ib ? ? a ?ib r D ? a ?iib ? ? a ?ib r 11 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AD：ABa?：1，点 E，F 分别在 AD，BC 上，把纸 片如图沿 EF 折叠，点 A，B 的对应点分别为 A，B，连接 AA并延长交线段 CD 于 点 G，则? ?t的值
5、为（ ） A ? ? B? ? C? ? D ? ? 12 （3 分）定义一种运算：a*ba ?，? ? ? ?，? ，则不等式（2x+1）*（2x）3 的解集是 （） Ax1 或 x ? ? B1x ? ? Cx1 或 x1Dx ? ?或 x1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分。 ） 13 （3 分）要使分式 ? ib?有意义，则 x 的取值范围是 14 （3 分）分解因式：a24b2 15 （3 分）如图，从楼顶 A 处看楼下荷塘 C 处的俯角为 45，看楼下荷塘 D 处的俯角为 60，已知楼高 AB 为 30 米，则荷塘
6、的宽 CD 为米（结果保留根 号） 16 （3 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委 将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然 后再按演讲内容占 50%，演讲能力占 40%，演讲效果占 10%，计算选手的综合成绩（百 分制） 小婷的三项成绩依次是 84，95，90，她的综合成绩是 第 4页（共 25页） 17 （3 分）如图，从一块边长为 2，A120的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在 以 A 为圆心的圆上（阴影部分） ，且圆弧与 BC，CD 分别相切于点 E，F，将剪下来的扇 形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是
7、 18 （3 分）如图，已知点 A（3，0） ，B（1，0） ，两点 C（3，9） ，D（2，4）在抛物线 y x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D 的对应点分别为 C，D当四边形 ABC D的周长最小时，抛物线的解析式为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 19 （6 分）计算：23（b ? ? b1）（13） 20 （6 分）解分式方程： i ib? a i ?ib? b1 21 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，BD，连接 AC （1）求证：ABCC
8、DA； （2）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 E（不要求写作法，保留作图痕迹） ； （3）在（2）的条件下，已知四边形 ABCD 的面积为 20，AB5，求 CE 的长 22 （8 分）某水果公司以 10 元/kg 的成本价新进 2000 箱荔枝，每箱质量 5kg，在出售荔枝 前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取 20 箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位： kg）如下： 第 5页（共 25页） 4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7 4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0 整理数据： 质量（kg）4
9、.54.64.74.84.95.0 数量（箱）217a31 分析数据： 平均数众数中位数 4.75bc （1）直接写出上述表格中 a，b，c 的值 （2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的 结果，任意选择其中一个统计量，估算这 2000 箱荔枝共损坏了多少千克？ （3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保 留一位小数）？ 23 （8 分） 【阅读理解】如图，l1l2，ABC 的面积与DBC 的面积相等吗？为什么？ 解：相等在ABC 和DBC 中，分别作 AEl2，DFl2，垂足分别为 E，F AEFDFC90， AEDF
10、 l1l2， 四边形 AEFD 是平行四边形， AEDF 又 SABCa ? ?BCAE，SDBCa ? ?BCDF SABCSDBC 【类比探究】如图，在正方形 ABCD 的右侧作等腰CDE，CEDE，AD4，连接 AE，求ADE 的面积 解：过点 E 作 EFCD 于点 F，连接 AF 请将余下的求解步骤补充完整 【拓展应用】如图，在正方形 ABCD 的右侧作正方形 CEFG，点 B，C，E 在同一直线 上，AD4，连接 BD，BF，DF，直接写出BDF 的面积 第 6页（共 25页） 24 （10 分）2022 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳 台滑雪训练场
11、的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x 轴，过跳台终点 A 作水平线的 垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线 C1：yab ? ?x 2b? ?x+1 近似表示滑雪场 地上的一座小山坡， 某运动员从点 O 正上方 4 米处的 A 点滑出， 滑出后沿一段抛物线 C2： yab ? ?x 2+bx+c 运动 （1）当运动员运动到离 A 处的水平距离为 4 米时，离水平线的高度为 8 米，求抛物线 C2的函数解析式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ； （2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直 距离为 1 米？ （3）当运动员运动到坡顶正上方，且
12、与坡顶距离超过 3 米时，求 b 的取值范围 25 （10 分）如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，BC14，AD8，BD6，点 E 是 AD 上一动点（不与点 A，D 重合） ，在ADC 内作矩形 EFGH，点 F 在 DC 上，点 G， H 在 AC 上，设 DEx，连接 BE （1）当矩形 EFGH 是正方形时，直接写出 EF 的长； （2）设ABE 的面积为 S1，矩形 EFGH 的面积为 S2，令 ya ? ?，求 y 关于 x 的函数解析 式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ； （3）如图，点 P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点 P 的直线 l 分别与
13、x 轴正半轴，y 轴正半轴交于 M，N 两点，求OMN 面积的最小值，并说明理由 第 7页（共 25页） 26 （10 分）如图，已知 AD，EF 是O 的直径，AD6 ?，O 与 OABC 的边 AB，OC 分别交于点 E，M，连接 CD 并延长，与 AF 的延长线交于点 G，AFEOCD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 GF1，求 cosAEF 的值； （3）在（2）的条件下，若ABC 的平分线 BH 交 CO 于点 H，连接 AH 交O 于点 N， 求?t ?t的值 第 8页（共 25页） 2021 年广西北海市南宁市、崇左市、来宾市、钦州市、防城港年广西北海市南宁市、崇左市
14、、来宾市、钦州市、防城港 市、北部湾经济区中考数学试卷市、北部湾经济区中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是分，在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合要求的，用符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 ） 1 （3 分）下列各数是有理数的是（） AB ?C ? ?D0 【解答】解：0 是有理数 故选：D 2 （3 分）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（） ABCD 【解答】解：由该几何体的主视图
15、可知，该几何体是 故选：C 3 （3 分）如图，小明从 A 入口进入博物馆参观，参观后可从 B，C，D 三个出口走出，他 恰好从 C 出口走出的概率是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：小明恰好在 C 出口出来的概率为? ?， 第 9页（共 25页） 故选：B 4 （3 分）我国天问一号火星探测器于 2021 年 5 月 15 日成功着陆火星表面经测算，地球 跟火星最远距离约 400000000 千米，其中数据 400000000 科学记数法表示为（） A4109B40107C4108D0.4109 【解答】解：4000000004108， 故选：C 5 （3 分）如图是
16、某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（） A这一天最低温度是4 B这一天 12 时温度最高 C最高温比最低温高 8 D0 时至 8 时气温呈下降趋势 【解答】 解： 从图象可以看出， 这一天中的最高气温是大概 14 时是 8， 最低气温是4， 从 0 时至 4 时及 14 时至 24 时，这天的气温在逐渐降低，从 4 时至 14 时，这天的气温在 逐渐升高， 故 A 正确，B，D 错误； 这一天中最高气温与最低气温的差为 12， 故 C 错误； 故选：A 6 （3 分）下列运算正确的是（） Aa2a3a5B （a2）3a5Ca6a2a3D3a22aa2 【解答】解：Aa2a3a5，
17、故此选项符合题意； B （a2）3a6，故此选项不合题意； Ca6a2a4，故此选项不合题意； 第 10页（共 25页） D3a22a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意 故选：A 7 （3 分）平面直角坐标系内与点 P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（） A （3，4）B （3，4）C （3，4）D （4，3） 【解答】解：点 P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（3，4） 故选：B 8 （3 分） 如图， O 的半径 OB 为 4， OCAB 于点 D， BAC30， 则 OD 的长是 （） A ?B ?C2D3 【解答】解：连接 OA， OCAB，BAC30， ACO903060，
18、 OAOC， AOC 为等边三角形， OCAB， ODa ? ?OC2， 故选：C 9 （3 分）函数 y2x+1 的图象不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：k20，图象过一三象限，b10，图象过第二象限， 直线 y2x+1 经过一、二、三象限，不经过第四象限 故选：D 第 11页（共 25页） 10 （3 分） 九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首” ，书中记载：今有三人共 车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若 3 人坐一辆车，则两辆 车是空的；若 2 人坐一辆车，则 9 人需要步行，问：人与车各多少？设有 x 辆车，人数 为 y，根据题
19、意可列方程组为（） A ? a ?ib ? ? a ?ib r B ? a ?iib ? ? a ?ib r C ? a ?ib ? ? a ?ib r D ? a ?iib ? ? a ?ib r 【解答】解：设共有 y 人，x 辆车， 依题意得： ? a ?iib ? ? a ?ib r 故选：B 11 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AD：ABa?：1，点 E，F 分别在 AD，BC 上，把纸 片如图沿 EF 折叠，点 A，B 的对应点分别为 A，B，连接 AA并延长交线段 CD 于 点 G，则? ?t的值为（ ） A ? ? B? ? C? ? D ? ? 【解答】解：过点 F 作
20、 FHAD 于点 H，设 AG 与 EF 交于点 O，如图所示： 由折叠 A 与 A对应易知：AOE90， EAO+AEO90， EAO+AGD90， AEOAGD，即FEHAGD， 又ADGFHE90， 第 12页（共 25页） ADGFHE， ? ?t a t? ? a ?t ? a ? ? a ? ? ， 故选：A 12 （3 分）定义一种运算：a*ba ?，? ? ? ?，? ，则不等式（2x+1）*（2x）3 的解集是 （） Ax1 或 x ? ? B1x ? ? Cx1 或 x1Dx ? ?或 x1 【解答】解：由新定义得 ?ib ? ? ? b i ?ib ? 或 ?ib ? b
21、 i ? b i? ， 解得 x1 或 x1 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分。 ） 13 （3 分）要使分式 ? ib?有意义，则 x 的取值范围是 x2 【解答】解：当分母 x20，即 x2 时，分式 ? ib?有意义 故答案为：x2 14 （3 分）分解因式：a24b2（a+2b） （a2b） 【解答】解：a24b2（a+2b） （a2b） 故答案为： （a+2b） （a2b） 15 （3 分）如图，从楼顶 A 处看楼下荷塘 C 处的俯角为 45，看楼下荷塘 D 处的俯角为 60，已知楼高 AB 为 30 米，
22、则荷塘的宽 CD 为（3010 ?）米（结果保留根号） 【解答】解：由题意可得，ADB60，ACB45，AB30m， 在 RtABC 中， ACB45， ABBC， 第 13页（共 25页） 在 RtABD 中， ADB60， BDa ? ? AB10 ?（m） ， CDBCBD（3010 ?）m， 故答案为： （3010 ?） 16 （3 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委 将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然 后再按演讲内容占 50%，演讲能力占 40%，演讲效果占 10%，计算选手的综合成绩（百 分制）
23、小婷的三项成绩依次是 84，95，90，她的综合成绩是89 分 【解答】解：小婷的综合成绩为 8450%+9540%+9010%89（分） ， 故答案为：89 分 17 （3 分）如图，从一块边长为 2，A120的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在 以 A 为圆心的圆上（阴影部分） ，且圆弧与 BC，CD 分别相切于点 E，F，将剪下来的扇 形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 ? ? 【解答】解：连接 AC、AE，如图， 四边形 ABCD 为菱形， BACa ? ?BADa ? ? ?12060，ABBC， ABC 为等边三角形， 圆弧与 BC 相切于 E， AEBC， BECE1， AEa
24、?t?b t?a?b ?a?， 设圆锥的底面圆半径为 r， 根据题意得 2ra ? ? ? ，解得 ra ? ? ， 第 14页（共 25页） 即圆锥的底面圆半径为 ? ? 故答案为 ? ? 18 （3 分）如图，已知点 A（3，0） ，B（1，0） ，两点 C（3，9） ，D（2，4）在抛物线 y x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D 的对应点分别为 C，D当四边形 ABC D的周长最小时，抛物线的解析式为y（xb ? ?） 2 【解答】解：过 C、D 作 x 轴平行线，作 A 关于直线 y4 的对称点 A，过 A作 AECD， 且 AECD，连接 BE 交直线 y9 于 C，过 C作 C
25、DCD，交直线 y4 于 D，如图： 作图可知：四边形 AECD 和四边形 CDDC 是平行四边形， AECD，CDCD，且 AECD，CDCD， CDAE 且 CDAE， 第 15页（共 25页） 四边形 AECD是平行四边形， ADEC， A 关于直线 y4 的对称点 A， ADAD， ECAD， BEBC+ECBC+AD，即此时 BC+AD转化到一条直线上，BC+AD最小，最小值为 BE 的长度， 而 AB、CD 为定值， 此时四边形 ABCD的周长最小， A（3，0）关于直线 y4 的对称点 A， A（3，8） ， 四边形 AECD 是平行四边形，C（3，9） ，D（2，4） ， E（
26、2，13） ， 设直线 BE 解析式为 ykx+b，则 ? a ? b ? ? ab ?b ?， 解得 ? ab ? ? ? a ? ? ， 直线 BE 解析式为 yab ? ? xb ? ? ， 令 y9 得 9ab ? ? xb ? ? ， xab ? ?， C（b ? ?，9） ， CCab ? ? b（3）a ? ?， 即将抛物线 yx2向右移? ?个单位后，四边形 ABCD的周长最小， 此时抛物线为 y（xb ? ?） 2， 故答案为：y（xb ? ?） 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文
27、字说明、证明过程或演算步骤。 ） 19 （6 分）计算：23（b ? ? b1）（13） 第 16页（共 25页） 【解答】解：原式8 ? ? ?（2） 4（2） 2 20 （6 分）解分式方程： i ib? a i ?ib? b1 【解答】解：去分母得：3xx+3x+3， 解得：x3， 检验：当 x3 时，3（x+1）0， 分式方程的解为 x3 21 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，BD，连接 AC （1）求证：ABCCDA； （2）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 E（不要求写作法，保留作图痕迹） ； （3）在（2）的条件下，已知四边形 ABCD 的面积为 20
28、，AB5，求 CE 的长 【解答】 （1）证明：ABCD， ACDCAB， 在ABC 和CDA 中， t a? ?t a ? ? a ? ， ABCCDA（AAS） ； （2）解：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 E，如图： （3）解：由（1）知：ABCCDA， 第 17页（共 25页） 四边形 ABCD 的面积为 20， SABCSCDA10， ? ?ABCE10， AB5， CE4 22 （8 分）某水果公司以 10 元/kg 的成本价新进 2000 箱荔枝，每箱质量 5kg，在出售荔枝 前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取 20 箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位： kg）如下： 4
29、.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7 4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0 整理数据： 质量（kg）4.54.64.74.84.95.0 数量（箱）217a31 分析数据： 平均数众数中位数 4.75bc （1）直接写出上述表格中 a，b，c 的值 （2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的 结果，任意选择其中一个统计量，估算这 2000 箱荔枝共损坏了多少千克？ （3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保 留一位小数）？ 【解答】解： （1
30、）a20217316， 分析数据：样本中，4.7 出现的次数最多；故众数 b 为 4.7， 将数据从小到大排列，找最中间的两个数为 4.7，4.8，故中位数 ca ?b? ? a4.75， a6，b4.7，c4.75； （2）选择众数 4.7， 这 2000 箱荔枝共损坏了 2000（54.7）600（千克） ； （3）1020005（20005600）10.7（元） ， 第 18页（共 25页） 答：该公司销售这批荔枝每千克定为 10.7 元才不亏本 23 （8 分） 【阅读理解】如图，l1l2，ABC 的面积与DBC 的面积相等吗？为什么？ 解：相等在ABC 和DBC 中，分别作 AEl2
31、，DFl2，垂足分别为 E，F AEFDFC90， AEDF l1l2， 四边形 AEFD 是平行四边形， AEDF 又 SABCa ? ?BCAE，SDBCa ? ?BCDF SABCSDBC 【类比探究】如图，在正方形 ABCD 的右侧作等腰CDE，CEDE，AD4，连接 AE，求ADE 的面积 解：过点 E 作 EFCD 于点 F，连接 AF 请将余下的求解步骤补充完整 【拓展应用】如图，在正方形 ABCD 的右侧作正方形 CEFG，点 B，C，E 在同一直线 上，AD4，连接 BD，BF，DF，直接写出BDF 的面积 【解答】解： 【类比探究】过点 E 作 EFCD 于点 F，连接 A
32、F， 四边形 ABCD 是正方形， ADCD4，ADC90， DECE，EFCD， DFCFa ? ?CD2，ADCEFD90， ADEF， SADESADF， SADEa ? ? ?ADDFa ? ? ?424； 第 19页（共 25页） 【拓展应用】如图，连接 CF， 四边形 ABCD 和四边形 CGFE 都是正方形， BDC45，GCF45， BDCGCF， BDCF， SBDFSBCD， SBDFa ? ?BCBC8 24 （10 分）2022 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳 台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x 轴，过跳台终点 A 作水
33、平线的 垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线 C1：yab ? ?x 2b? ?x+1 近似表示滑雪场 地上的一座小山坡， 某运动员从点 O 正上方 4 米处的 A 点滑出， 滑出后沿一段抛物线 C2： yab ? ?x 2+bx+c 运动 （1）当运动员运动到离 A 处的水平距离为 4 米时，离水平线的高度为 8 米，求抛物线 C2的函数解析式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ； （2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直 距离为 1 米？ （3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 3 米时，求 b 的取值范围 【解答】解： （1）
34、由题意可知抛物线 C2：yab ? ?x 2+bx+c 过点（0，4）和（4，8） ，将其 第 20页（共 25页） 代入得： ? a ? ? ab ? ? ? ?b ?b ?，解得： ? a ? ? ? a ? ， 抛物线 C2的函数解析式为：yab ? ?x 2b? ?x+4； （2） 设运动员运动的水平距离为 m 米时， 运动员与小山坡的竖直距离为 1 米， 依题意得： b ? ?m 2b? ?m+4（b ? ?m 2b? ?m+1）1， 整理得： （m12） （m+4）0， 解得：m112，m24（舍去） ， 故运动员运动的水平距离为 12 米时，运动员与小山坡的竖直距离为 1 米；
35、（3）C1：yab ? ?x 2b? ?x+1ab ? ?（x7） 2b? ?， 当 x7 时，运动员到达坡顶， 即b ? ? ?72+7b+43b ? ?， 解得：b ? ? 25 （10 分）如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，BC14，AD8，BD6，点 E 是 AD 上一动点（不与点 A，D 重合） ，在ADC 内作矩形 EFGH，点 F 在 DC 上，点 G， H 在 AC 上，设 DEx，连接 BE （1）当矩形 EFGH 是正方形时，直接写出 EF 的长； （2）设ABE 的面积为 S1，矩形 EFGH 的面积为 S2，令 ya ? ?，求 y 关于 x 的函数解析 式（不要
36、求写出自变量 x 的取值范围） ； （3）如图，点 P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点 P 的直线 l 分别与 x 轴正半轴，y 轴正半轴交于 M，N 两点，求OMN 面积的最小值，并说明理由 【解答】解： （1）设 EFm 第 21页（共 25页） BC14，BD6， CDBCBD1468， AD8， ADDC8， ADBC， ADC90， ACa?AD8 ?， 四边形 EFGH 是正方形， EHFGGHEFm，EHGFGH90， AHEFGC90， DACC45， AEHEAH45，GFCC45， AHEHm，CGFGm， 3m8 ?， ma ? ? ? ， EFa ?
37、 ? ? （2）四边形 EFGH 是矩形， EFAC， DEFDAC，DFEC， DACC， DEFDFE， DEDFx，DADC8， AECF8x， EHa ? ? AEa ? ? （8x） ，EFa?DEa?x， ya ? ? a ? ?i?bi? ?i? ? ?i?bi? a ? i， ya ? i（0 x8） 第 22页（共 25页） （3）如图中，由（2）可知点 P 在 ya ? i上， 当 OP 最小时，点 P 在第一象限的角平分线时，此时 P（ ?， ?） ， 当直线 MNOP 时，OMN 的面积最小， 此时 OMON2 ?， MON 的面积的最小值a ? ? ?2 ? ?2 ?
38、 a6 26 （10 分）如图，已知 AD，EF 是O 的直径，AD6 ?，O 与 OABC 的边 AB，OC 分别交于点 E，M，连接 CD 并延长，与 AF 的延长线交于点 G，AFEOCD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 GF1，求 cosAEF 的值； （3）在（2）的条件下，若ABC 的平分线 BH 交 CO 于点 H，连接 AH 交O 于点 N， 求?t ?t的值 第 23页（共 25页） 【解答】 （1）证明：四边形 OABC 是平行四边形， OCAB， DOCOAE， OAOE， OAEAEF， DOCAEF， EF 是O 的直径， EAF90， AFE+AEF90
39、， AFE+DOC90， AFEOCD， OCD+DOC90， ODC90， ODCD， CD 是O 的切线； （2）连接 DF，如图： AD 是O 的直径， ADF+DAF90， 第 24页（共 25页） CD 是O 的切线， G+DAF90， ADFG， 又DAFGAD， ADFAGD， ? ? a ? ?t， AD6 ?，GF1， ? ? ? a ? ? ?b?， 解得 AF8 或 AF9（舍去） ， 在 RtAEF 中，AEa?b ?a?b ?a2 ?， cosAEFa ? ? a ? ?； （3）延长 CO 交 AF 于 K，连接 MN、MF，如图： EF 是O 直径， EAF90，
40、 OCAB， CKA90，即 OKAF， EFAD6 ?，AF8， FO3 ?，FKAK4， RtOKF 中，OKa?b ?a?， G+OAF90，OFA+AEF90， 且OAFOFA， GAEF， tanGtanAEF， 第 25页（共 25页） 即? t? a ? ?， ? ?bt? a ? ?，即 ? ? a ? ? ?， 解得 CK10 ?， BH 平分ABC，OCAB， CBHABHCHB， CHBCOA3 ?， MHCKOKOMCH10 ? b? b3 ? b3 ? a3 ?， KHOK+OM+MH7 ?， 在 RtAKH 中，AHa?b ?t?a?b i? ?a?， 而MNHMFAa ? ?MOAa ? ?ABCABH， 且MHNHAB， MNHHBA， ?t ?t a ?t ?t a ? ? ? a ? ?
